- 1 -
2020 年银川九中、石嘴山三中、三校联考
（理科）数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条
形码粘贴区。
2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字
体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.已知集合 ，则
A. B. C. D.
2.若 为实数，则复数 在复平面内对应的点在
A．第一象限 B．第二象限 C．实轴上 D．虚轴上
3.已知 a，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且 ， ，则
“ ”是“ ”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知 为第二象限角, ,则 等于
A．- B．- C． D．
{ 1,1},A = - 2{ | 2 0, }B x x x x Z= + − < ∈ A B =
{ 1}− { 1,1}− { 1,0,1}− { 1,0,1,2}−
a ( )( )1z a i ai= + +
a β⊂ bα β =
//a α / /a b
α 3
3cossin =+ αα α2cos
5
3
5
9
5
9
5
3- 2 -
5.在 中， 为 的中点，且 ，则 的值为
A、 B、 C、 D、
6.如图所示,虚线部分是四个象限的角平分线,实线部分是函数
的部分图象,则 可能是
A． B．
C． D．
7. 七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正
方形和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，
其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，
故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取
自阴影部分的概率为
A． B． C． D．
8.将函数 的图象向右平移 ( >0)个单位,再将图象上每一点横坐标缩
短到原来的 倍,所得图象关于直线 对称,则 的最小正值为
A． B． C． D．
9.设 是数列 的前 项和，若 ， ，则数列
Rt ABC∆ D BC AB 6 AC 8= =， BCAD⋅
28− 28 14− 14
)(xfy = )(xf
xxsin xxcos
xx cos2 xx sin2
5
16
11
32
7
16
13
32
)42sin(2)(
π+= xxf ϕ ϕ
1
2 4
π=x ϕ
π
8
3π
8
3π
4
π
2
nS { }nb n 2n
n na S+ = ( )*
2 12 2 Nnb
n na a n+ += − ∈ 1
nnb
- 3 -
的前 99 项和为
A． B． C． D．
10.已知函数 ，若 .且 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
11. 是双曲线 的右焦点，过点 向 的一条渐近线引垂线，垂
足为 ，交另一条渐近线于点 ，若 ，则 的离心率是
A． B． C． D．
12.设函数 ( ∈R)满足 , ,且当 ∈[0,1]时, .
又函数 ,则函数 在[- , ]上的零点个数为
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13. 的展开式的第 3 项为
14.《周髀算经》中一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、
谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春
分的日影子长的和是 尺，芒种的日影子长为 尺，则冬至的日影子长为
15.已知三棱锥 的四个顶点均在同一个球面上，底面 满 ，
，若该三棱锥体积的最大值为 3．则其外接球的体积为
16.如图所示,已知椭圆 E 经过点 A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点 F 1,F2 在 x 轴上,离心率 e= .
直线 是∠F1AF2 的平分线，则椭圆 E 的方程是 , 所在的的直线方程是
97
98
98
99
99
100
100
101
( ) | ln |f x x= 0 a b< < ( ) ( )f a f b= 2a b+
(2 2, )+∞ )2 2, +∞ (3, )+∞ [ )3,+∞
F ( )2 2
2 2: 1 0, 0x yC a ba b
− = > > F C
A B 2AF FB= C
2 3
3
14
3 2 2
)(xf x )()( xfxf =− )2()( xfxf −= x 3)( xxf =
|)cos(|)( xxxg π= )()()( xfxgxh −= 1
2
3
2
71( )7x x
−
P ABC− ABC∆ 6BA BC= =
2ABC
π∠ =
1
2
l l- 4 -
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第 22、23 为选考题，考生根据要求作答。
17. (本小题满分 12 分)
如图，CM，CN 为某公园景观湖胖的两条木栈道，∠MCN=120°，现拟在两条木栈道的 A，B 处
设置观景台，记 BC= ，AC=b，AB=c（单位：百米）
（1）若 ，b，c 成等差数列，且公差为 4，求 b 的值；
（2）已知 AB=12，记∠ABC=θ，试用θ表示观景路线 A-C-B 的长，
并求观景路线 A-C-B 长的最大值．
18. (本小题满分 12 分)
如图，在三棱柱 侧面 ．
(1)求证：平面 平面 ；
a
a
1 1 1ABC A B C AB− ⊥中， 1 1 1,BCC B AC AB=
1ABC ⊥ 1AB C- 5 -
(2)若 ，求二面角 的余弦值．
19.(本小题满分 12 分)
绿水青山就是金山银山．某山村为做好水土保持，退耕还林，在本村的山坡上种植水果，并
推出山村游等旅游项目．为预估今年 7 月份游客购买水果的情况，随机抽样统计了去年 7 月
份 100 名游客的购买金额．分组如下： ， ， ，得到如图所示的频
率分布直方图：
（1）请用抽样的数据估计今年 7 月份游客人均购买水果的金额（同一组中的数据用该组区间
中点作代表）．
（2）若把去年 7 月份购买水果不低于 80 元的游客，称为“水果达人”． 填写下面列联表，并
根据列联表判断是否有 95%的把握认为“水果达人”与性别有关系？
（3）为吸引顾客，商家特推出两种促销方案．方案一：每满 80 元可立减 10 元；方案二：金
水果达人 非水果达人 合计
男 10
女 30
合计
12, 60AB BC BCC= = ∠ =
1 1B AC B− −
[0,20) [20,40) [100,120]- 6 -
额超过 80 元可抽奖三次，每次中奖的概率为 ,且每次抽奖互不影响，中奖 1 次打 9 折，中
奖 2 次打 8 折，中奖 3 次打 7 折．若每斤水果 10 元，你打算购买 12 斤水果，请从实际付款
金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案．
附：参考公式和数据： ， .临界值表：
2.072 2.706 3.841 6.635 7.879
0.150 0.100 0.050 0.010 0.005
20.(本小题满分 12 分)
已知抛物线 ： 上一点 到其焦点 的距离为 10.
（1）求抛物线 的方程；
（2）设过焦点 的直线 与抛物线 交于 ， 两点，且抛物线在， 两点处的切线分别交 轴于 ，
两点，求 的取值范围.
21.(本小题满分 12 分)
已知函数 ，其中常数 ．
（1）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
（2）若 ，且 时，求证： ．
请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分。
1
2
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +
0k
2
0( )P K k≥
2( ) xf x e ax= − a R∈
(0, )x∈ +∞ ( ) 0f x > a
1a = [0, )x∈ +∞ 2( ) 4 14f x x x> + −- 7 -
22.(本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，曲线 的参数方程是 （ 为参数）以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系， ， 为曲线 上两点，且 ，设射线 ：
.
（1）求曲线 的极坐标方程；
（2）求 的最小值.
23.(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲
已知函数 .
（1）若 恒成立，求实数 的最大值 ；
（2）在（1）成立的条件下，正数 满足 ，证明： .
xOy C
cos
2 sin
x
y
ϕ
ϕ
= =
ϕ
x A B C OA OB⊥ OA
0 2
πθ α α = <
2
⇔ <
xea x
0x >
2( )
xeg x x
=
2
'
4 3
2 ( 2)( )
x x xe x e x e xg x x x
− ⋅ −= =
' ( ) 0 2g x x> ⇒ > ' ( ) 0 0 2g x x< ⇒ < <
∴ ( )g x (0,2) (2, )+∞
∴ 2
min( ) (2) 4
eg x g= =
∴ 2
4
ea <
1a = 2( ) 4 14f x x x> + − 22 4 14 0xe x x⇔ − − + >
0x ≥
2( ) 2 4 14xp x e x x= − − + ∴ ' ( ) 4 4xp x e x= − −
∴ ' ( )p x (0,ln 4) (ln 4, )+∞
' (0) 3p = − ' 2 ' 3(2) 12 0, (3) 16 0p e p e= − < = − >
∴ 0 (2, 3)x ∈ 0'
0 0( ) 4 4 0xp x e x= − − =- 14 -
在 单调递减，在 单调递增，...................10 分
，
， ，
恒成立，...............................12 分
22、【详解】
（1）将曲线 的参数方程化为直角坐标方程： ，.............2 分
将 ， 代入可得 ，
化简得 ： ..........................................5 分
（2）由题意知，射线 的极坐标方程为 或 ，
∴ ，
，..........................................7 分
∴
，
∴ ( )p x 0(0, )x 0( , )x +∞
∴ 0 2 2
min 0 0 0( ) 2 4 14 2 18xp x e x x x= − − + = − +
0 (2, 3)x ∈ 0 2 2
min 0 0 0( ) 2 4 14 2 18xp x e x x x= − − + = − + (0,10)∈
∴ 2( ) 2 4 14xp x e x x= − − + 0>
C
2
2 12
y x+ =
cosx ρ θ= siny ρ θ= 2
2( sin ) ( cos ) 12
ρ θ ρ θ+ =
C 2
2
2
1 cos
ρ θ= +
OB 2
πθ α= +
2
πθ α= −
1 2
2
1 cosOA ρ α= = +
2 2
2
1 sinOB ρ α= = +
( )( )2 2 2 2
2 2 2
1 cos 1 sin 1 cos 1 sin
OA OB α α α α
= ⋅ =+ + + +
⋅
2 2
2 4
1 cos 1 sin 3
2
α α =+ + +≥- 15 -
当且仅当 ，即 时， 取最小值 ........10 分
23、【详解】
（1）法一：由已知可得 ，........................2 分
所以 ，
所以只需 ，解得 ，
∴ ，所以实数 的最大值 .............................5 分
（2）证明：法一：综合法
∵ ，
∴ ，
∴ ，当且仅当 时取等号，①.............................7 分
又∵ ，∴ ，
∴ ，当且仅当 时取等号，②........................9 分
2 21 cos 1 sinα α+ = +
4
πα = OA OB⋅ 4
3
( )
1 2 , 0
1,0 1
2 1, 1
x x
f x x
x x
−
2a b ab+ ≥ ( )2 2 24a b a b+ ≥
2 2 2 22 4a b ab a b+ + ≥
2 2a b M+ = 2 22 2 4ab a b+ ≥
( )22 1 0ab ab− − ≤
( )( )2 1 1 0ab ab+ − ≤ 2 1 0ab + > 1ab ≤
2 22 2a b ab= + ≥ 1ab ≤
2a b ab+ ≥
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