数 学(文史类)
(考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分)
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试
卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.已知集合 A＝{x|y＝ }，B＝{－2，－1，0，1，2，3}，则 A∩B＝
A.{－2，－1，0，1，2} B.{0，1，2，3} C.{1，2，3} D.{2，3}
2.若 i 为虚数单位，则复数 z＝－sin －icos ，则 z 在复平面内对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.“实数 x>1”是“log2x>0”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中 A>0，ω>0，|φ|< )的图象如图，则此函数表达式为
A.f(x)＝3sin(2x＋ ) B.f(x)＝3sin( x＋ )
C.f(x)＝3sin(2x－ ) D.f(x)＝3sin( x－ )
5.已知 m，n 是两条不重合的直线，α 是一个平面，则下列命题中正确的是
A.若 m//α，n//α，则 m//n B.若 m//α，n α，则 m//n
C.若 m⊥n，m⊥α，则 n//α D.若 m⊥α，n//α，则 m⊥n
1
1x −
2
3
π 2
3
π
2
π
4
π 1
2 4
π
4
π 1
2 4
π
⊂6.已知实数 x，y 满足约束条件 ，则 z＝2x＋y 的最大值为
A.－1 B.2 C.7 D.8
7.已知 a，b，c 分别是△ABC 三个内角 A，B，C 的对边，acosC＋ csinA＝b＋c，则 A＝
A. B. C. D.
8.《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化。右图是一个八卦图，包含乾、
坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦(每一卦由三个爻组成，其中“ ”表示一个阳爻，
“ ”表示一个阴爻)。若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰
有两个阴爻的概率为
A. B. C. D.
9.如图，平面四边形 ACBD 中，AB⊥BC，AB⊥DA，AB＝AD＝1，BC＝ ，现将△ABD
沿 AB 翻折，使点 D 移动至点 P，且 PA⊥AC，则三棱锥 P－ABC 的外接球的表面积为
A.8π B.6π C.4π D.
10.设 F1，F2 是双曲线 C： 的左，右焦点，O 是坐标原点，过点 F2
作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P。若|PF1|＝ |OP|，则 C 的离心率为
1 0
3 3 0
0
x y
x y
y
− + ≥
− − ≤
≥
3
6
π
4
π
3
π 2
3
π
1
3
1
2
2
3
3
4
2
8 2
3
π
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > >
6A. B. C.2 D.3
11.函数 f(x)＝ax－2 与 g(x)＝ex 的图象上存在关于直线 y＝x 对称的点，则 a 的取值范围是
A.(－∞， ] B.(－∞， ] C.(－∞，e] D.(－∞，e2]
12.已知抛物线 C：y2＝4x 和点 D(2，0)，直线 x＝ty－2 与抛物线 C 交于不同两点 A，B，直线
BD 与抛物线 C 交于另一点 E。给出以下判断：
①直线 OB 与直线 OE 的斜率乘积为－2；
②AE//y 轴；
③以 BE 为直径的圆与抛物线准线相切
其中，所有正确判断的序号是
A.①②③ B.①② C.①③ D.②③
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.已知平面向量 a＝(m，2)，b＝(1，3)，且 b⊥(a－b)，则向量 a 与 b 的夹角的大小为 。
14.某中学举行了一次消防知识竞赛，将参赛学生的成绩进行整理后分为 5 组，绘制如图所示
的频率分布直方图，记图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五组，已知第二组
的频数是 80，则成绩在区间[80，100]的学生人数是 。
15.已知 sin(α＋ )＝ ，且 0，等比数列{bn}满足 b1＝a1，b2＝a2，b3＝a5。
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)若数列{cn}满足 ＝an＋1，求{cn}的前 n 项和 Sn。
19.(本小题满分 12 分)
如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，∠BAD＝60°，△PAD 是边长为 2 的正
三角形，PC＝ ，E 为线段 AD 的中点。
(1)求证：平面 PBC⊥平面 PBE；
(2)是否存在满足 (λ>0)的点 F，使得 VB－PAE＝ VD－PFB?若存在，求出 λ 的值；若
不存在，请说明理由。
20.(本小题满分 12 分)
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
31 2
1 2 3
n
n
c cc c
b b b b
+ + +⋅⋅⋅+
10
PF FCλ= 3
4已知椭圆 C 的中心在坐标原点 O，其短半轴长为 1，一个焦点坐标为(1，0)，点 A 在椭圆 C 上，
点 B 在直线 y＝ 上，且 OA⊥OB。
(1)证明：直线 AB 与圆 x2＋y2＝1 相切；
(2)求△AOB 面积的最小值。
21.(本小题满分 12 分)
已知函数 f(x)＝ex－xlnx＋ax，f'(x)为 f(x)的导数，函数 f'(x)在 x＝x0 处取得最小值。
(1)求证：lnx0＋x0＝0；
(2)若 x≥x0 时，f(x)≥1 恒成立，求 a 的取值范围。
(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题
记分。
22.(本小题满分 10 分)选修 4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 ，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建
立极坐标系，设点 A 在曲线 C2：ρsinθ＝1 上，点 B 在曲线 C3：θ＝－ (ρ>0)上，且△AOB
为正三角形。
(1)求点 A，B 的极坐标；
(2)若点 P 为曲线 C1 上的动点，M 为线段 AP 的中点，求|BM|的最大值。
23.(本小题满分 10 分)选修 4－5：不等式选讲
已知函数 f(x)＝|2x＋1|。
(1)解不等式：f(x)＋f(x－2)≤6；
(2)求证：f(x＋a2)－f(x－1)≤|x＋2a2＋3|＋|x＋2a－a2|。
2
cos
sin
x
y
θ
θ
=
=
6
π
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