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部分学校高三阶段性诊断考试试题
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上
2．回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标
号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题
时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 则
2．设复数 z 满足 z 则 的虚部是
A．3
2 B．3
2i C．-3
2 D. -3
2i
3．在正项等比数列 中，若 则
A．16 B．8 C．4 D．2
4．当 ，方 表示的轨迹不可能是
A．两条直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
5．已知
6．在平行四边形 ABCD 中 若 AE 交 BD 于点 M，则AM=
A．
B．
1{ | 1}A x x
= < , { || 1| 2},B x x= − < A B =
( ). 1,3A − ( ). 1,1B − ( ) ( ) ( ) ( ). 1,0 0,1 . 1,0 1,3C D− −
( )1 2 ,i i⋅ − = + z
{ }na 3 7 4,a a = ( ) 52 a− =
5,3 6
π πα ∈ 时 2 2cos sin 1x yα α+ =程
1 1
2 3
4
1 1log 2, ,2 3a b c = = =
.A a c b< <
.B a b c< <
.C c a b< <
.D c b a< <
, 3 ,DE EC=
1 2
3 3AM AB AD= +
3 4
7 7AM AB AD= +
2 1. 3 3C AM AB AD= + 7．某学校甲、乙、丙、丁四人竞选校学生会主席职位，在竞选结果出来前，
甲、乙、丙、丁四人对竞选结果做了如下预测：
甲说：丙或丁竞选成功;乙说：甲和丁均未竞选上：
丙说：丁竞选成功;丁说：丙竞选成功
若这四人中有且只有 2 人说的话正确，则成功竞选学生会主席职位的是
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．已知函数 是定义在(-π
2
，π
2)上的奇函数．当 时，
则不等式 的解集为
A.(.π
4,π
2)B．(-.π
4,π
2)C． D．
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个
选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选
错的得 0 分.
9．设[x]表示不小于实数 x 的最小整数，则满足关于 x 的不等式
的解可以为
A．
B．3
C．-4.5
D．-5
10．已知动点 P 在双曲线 C ： 上，双曲线 C 的左右焦点分别为
下列结论正确的是
A．C 的离心率为 2
B．C 的渐近线方程为
C．动点 P 到两条渐近线的距离之积为定值
D．当动点 P 在双曲线 C 的左支上时， 的最大值为1
4
2 5. 7 7D AM AB AD= +
( )f x 0, 2x
π ∈
( ) ( )tan 0,f x f x x′+ > ( )cos sin 02x f x x f x
π ⋅ + + ⋅ − >
,04
π − ,2 4
π π − −
2 12 0x x[ ] +[ − ]
10
2
2 13
yx − =
21, sF F
3
3y x= ±
1
2
2
| |
| |
PF
PF11．华为 5G 通信编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法，如：
,其中 .
已知定义在 R 上不恒为 0 的函数 对任意 有：
且满足 则
是偶函数 是奇函数
12．向体积为 1 的正方体密闭容器内注入体积为 的液体，旋转容
器，下列说法正确的是
A．当 时，容器被液面分割而成的两个几何体完全相同
液面都可以成正三角形形状
C．当液面与正方体的某条对角线垂直时，液面面积的最大值为3
4 3
D．当液面恰好经过正方体的某条对角线时，液面边界周长的最小值为 2 5
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
13．已知 ，则 ▲
14．设随机变量 若实数 a 满足 则 a 的
值是▲
15．已知抛物线 C ： 的焦点是 F，点 M 是其准线 l 上一点，线段 MF
交抛物线 C 于点 N．当 时，△NOF 的面积是▲
16．用 MI 表示函数 y = s i n x 在闭区间 I 上的最大值．若正实数 a 满足
则 ▲
a 的取值范围是▲(本题第一空 2 分，第二空 3 分)
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤
17．(10 分)
下面给出有关 的四个论断：
( ) ( ) 1 12
1 2 1 2
21 22
b bc c a a b b
= × 1 1 11 2 21 2 1 12 2 22,c a b a b c a b a b= + = +
( ),f x ,a b R∈
( ) ( ) ( )1 2 ) 1 1( 1 1by y f a f b a
− + = × −
( ) 1 2 ,f ab y y= +
( ) ( ) ( ). 0 0 . 1 1 .A f B f C f x= − = ( ).D f x
( )0 1x x< <
1
2x =
( ). 0,1 ,B x∀ ∈
( )cos 2cos2
π α α π + = − cos2α =
( )~ 4,9 ,Nζ ( ) ( )3 2 2 1 ,P a P aξ ζ< + = > −
21
8y x=
2
3MN MF=
[ ] [ ]0, ,23 2a a aM M [ ]0,aM =
ABC
3
2ABCS =
① ； 2 2 2 12 2
ab ac a c c
+ = + =② ； ③ 或 3.b =④以其中的三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命
题：
若▲,则▲(用序号表示)并给出证明过程：
18．(12 分)
已知数列 为“二阶等差数列”，即当 时，数列{bn}为等差
数列
(1)求数列 的通项公式;
(2)求数列 的最大值
19．(12 分)
新生儿某疾病要接种三次疫苗免疫(即 0、1、6 月龄)，假设每次接种之间互不
影响，每人每次接种成功的概率相等为了解新生儿该疾病疫苗接种剂量与接种
成功之间的关系，现进行了两种接种方案的临床试验： 1 0 μg /次剂量组与 2 0
μg / 次剂量组，试验结果如下：
(1)根据数据说明哪种方案接种效果好?并判断能否有 99．9%的把握认为该疾病
疫苗接种成功与两种接种方案有关?
(2)以频率代替概率，若选用接种效果好的方案，参与该试验的 1000 人的成功
人数比此剂量只接种一次的成功人数平均提高多少人.
参考公式： ,其中
参考附表：
{ }na ( )*
1n n na a b n+ − = ∈N
1 5325, 67, 101.a a a= = =
{ }nb
{ }na
( )
( )( )( )( )
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + .n a b c d= + + +20．(12 分)
在四棱柱 中，已知底面 ABCD 为等腰梯形，AB∥CD，
，M,N 分别是棱 AB,B1C1 的中点
(1)证明：直线 MN∥平面 ;
(2)若 平面 ABCD，且 ,求经过点 A，M，N 的平面 与平面
所成二面角的正弦值.
21．(12 分)
已知椭圆 E ： 的左右焦点分别为 F1，F2，离心率是 3
2
，P
为椭圆上的动点．当 取最大值时 的面积是 3
(1)求椭圆的方程：
(2)若动直线 l 与椭圆 E 交于 A，B 两点，且恒有 是否存在一个以原
点 O 为圆心的定圆 C，使得动直线 l 始终与定圆 C 相切?若存在，求圆 C 的方
程，若不存在，请说明理由
22．(12 分)
已知函数
(1)若函数 在区间 上单调递减，求实数 a 的取值范围；
(2)当 时，求证：
(3)若函数 有两个极值点 x1，x2，求证： 为自然对数的底数)
1 1 11ABCD A B C D−
11
2CD CB AB= = =
11ACC A
1D C ⊥ 1 3D C = 1A MN
1 1ACC A
( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > >
1 2F PF∠ 1 2, PF F∆
0,OA OB⋅ =
( ) 2.lnf x x x x ax= + −
( )f x [1, )+∞
)2,( *n n≥ ∈N 2 2 2
1 1 11 1 1 ;2 3 en
+ + +
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