2020届天津市和平区高考二模数学试题（解析版）

2020 届天津市和平区高考二模数学试题 一､选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设复数 的共轭复数为 ，且 ，则复数 在复平面内对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】 根据已知条件求出 a=1，再根据复数的运算法则求解复数 ，即可得到其在复平面内的点所在象限. 【详解】 ， = ， 所以对应点位于第一象限. 故选：A 【点睛】此题考查复数的概念和基本运算以及几何意义，关键在于根据复数的运算法则准确求解. 2.设 ，则“ ”是“ ”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 分别求解三次不等式和绝对值不等式确定 x 的取值范围，然后考查充分性和必要性是否成立即可. 【详解】由 可得 ， 由 可得 ， 据此可知“ ”是“ ”的必要而不充分条件. 故选 B. 【点睛】本题主要考查不等式的解法，充分性与必要性的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求 ( )2z a i a R= + ∈ z 2z z+ = 2 z ai− 2 z ai− 2 2 1z z a a+ = = ⇒ = ( )5 21 2 2 2 5 iz i ai i ++= =− − 2 5 5 5 5 i+ x∈R 3 1x < 1 1 2 2x − < 3 1x < 1x < 1 1 2 2x − < 0 1x< < 3 1x < 1 1 2 2x − > c b a> > b a c> > a b c> > 1 11 11 ln ln log ln34 3e e a c= < = < = = 1 0 11 10 3 3 e b    < =        < = c a b> > 1 2 3 1 0.5 0.2 2 0.2 0.4 0.18 0.3 0.24 0.36 0.3,0.4 0.5 0.2 0.2 0.4 0.3 0.4 0.3P = × + × + × = ABC∆ A B C a b c 1a = 2 3c = sin sin 3b A a B π = −   sinC = A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】 利用两角差的正弦公式和边角互化思想可求得 ，可得出 ，然后利用余弦定理求出 的值， 最后利用正弦定理可求出 的值. 【详解】 ， 即 ，即 ， ， ，得 ， ， . 由余弦定理得 ， 由正弦定理 ，因此， . 故选：B. 【点睛】本题考查三角形中角的正弦值的计算，考查两角差的正弦公式、边角互化思想、余弦定理与正弦 定理的应用，考查运算求解能力，属于中等题. 6.已知双曲线 的右焦点为 ，圆 （ 为双曲线的半焦距）与双曲线 的 一条渐近线交于 两点，且线段 的中点 落在另一条渐近线上，则双曲线 的方程是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【 3 7 21 7 21 12 57 19 3tan 3B = 6B π= b sinC 3 1sin sin cos sin3 2 2b A a B a B a B π = − = −   3 1sin sin sin cos sin sin2 2A B A B A B= − 3sin sin 3sin cosA B A A= sin 0A > 3sin 3 cosB B∴ = 3tan 3B = 0 B π< < 6B π∴ = 2 2 32 cos 1 12 2 1 2 3 72b a c ac B= + − = + − × × × = sin sin c b C B = 12 3sin 212sin 77 c BC b × = = = 2 2 2: 1( 0)3 x yC aa − = > F 2 2 2x y c+ = c C ,A B AF M C 2 2 14 3 x y− = 22 13 3 yx − = 2 2 12 3 x y− = 2 2 13 yx − = 【分析】 渐近线过圆心，代入求出渐近线，点 在圆 上，得 ，由 中点 及线段 的中点 ，由中位线得渐近线与 平行，建立方程组求解. 【详解】不妨设双曲线 的一条渐近线方程为 ，代入圆 ，得 ，则 ， 所以 .易知点 在圆 上，所以 ，得 ，即 ①.因为线段 的中点 落在另一条渐近线上，且 ，所以， 与该渐 近线垂直，所以该渐近线与 平行，得 ②.解①②组成的方程组，得 ，所以双曲 线 的方程为 . 故选：D. 【点睛】本题考查利用双曲线的几何性质求双曲线方程. 求双曲线方程的思路: (1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在 轴上或 轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根 据条件确定关于 的方程组，解出 ，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也 有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)． (2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是设双曲线的一 般方程为 求解． 7.把函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，若函数 是偶函数，则实数 的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出 的解析式，再求出 的解析式，根据三角函数图象的对称性可求实数 满足 (c,0)F 2 2 2x y c+ = AF BF⊥ AB O AF M BF C 3y xa = 2 2 2x y c+ = x a= ± 3y = ± ( , 3), ( , 3)A a B a− − (c,0)F 2 2 2x y c+ = AF BF⊥ 1AF BFk k⋅ = − 3 3 1c a a c ⋅ = −+ − AF M | | | |OA OF c= = AF BF 3 3 a c a = −− 1, 2a c= = C 2 2 13 yx − = x y a b c， ， 2 2a b， ( )2 2 1 0mx ny mn m 5 12 π 5 6 π 6 π 12 π ( )g x ( )( )0g x m m− > m 的等式，从而可求其最小值. 【详解】 的图象向右平移 个单位长度， 所得图象对应的函数解析式为 ， 故 . 令 ， ，解得 ， 因为 为偶函数，故直线 为其图象的对称轴， 令 ， ，故 ， ， 因为 ，故 ，当 时， . 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数的图象变换以及三角函数的图象性质，注意平移变换是对自变量 做加减，比 如把 的图象向右平移 1 个单位后，得到的图象对应的解析式为 ， 另外，如果 为正弦型函数 图象的对称轴，则有 ，本题属于中档 题． 8.已知 、 ， ，则当 取最小值时， 值为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由 得出 ，进而可得出 ，利用基本不等式求出 的值，利用等号成立的条件求得 ，进而可得出 的值. 【详解】由 得， ， . 的 ( ) sin 2 ( 0)6f x A x A π = − ≠   4 π ( ) 2sin 2 sin 22 6 3g x A x A x π π π   = − − = −       ( ) 2sin 2 2 3g x m A x m π − = − −   22 2 3 2x m k π ππ− − = + k Z∈ 7 12 2 kx m π π= + + k Z∈ ( )y g x m= − 0x = 07 12 2 π π+ + =km k Z∈ 7 12 2 km π π= − − k Z∈ 0m > 2k ≤ − 2k = − min 5 12m π= x ( )2y f x= ( ) ( )2 1 2 2y f x f x= − = −   x m= ( ) ( )sinf x A x= +ω ϕ ( ) = ±f m A a 0b > 21 ba b a  − =   1a b + 2 2 1a b + 2 2 2 3 4 21 ba b a  − =   2 2 1 2a ba b b a + = + 21 4a ba b b a  + = +   21a b  +   2b a= 2 2 1a b + 2 2 2 1 1 2a ba ab b b a  − = + − =   2 2 1 2a ba b b a + = + ，等号成立时 ，即 ， 此时 . 故选：C. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，同时要注意等号成立的条件，考查计算能力，属于中等题. 9.已知函数 ，函数 g(x)＝f(1－x)－kx＋k－ 恰有三个不同的零点，则 k 的取 值范围是(  ) A. (－2－ ，0]∪ B. (－2＋ ，0]∪ C. (－2－ ，0]∪ D. (－2＋ ，0]∪ 【答案】D 【解析】 【分析】 g(x)＝f(1－x)－kx＋k－ 恰有三个不同的零点，即方程 f(1－x)＝k(x－1)＋ 恰有 3 个不同实根，令 1 －x＝t，则方程 f(t)＝－kt＋ 恰有三个不同实根，即函数 y＝f(x)与 y＝－kx＋ 的图象恰有 3 个不同 交点，数形结合即可求解. 【详解】∵g(x)＝f(1－x)－kx＋k－ 恰有 3 个不同零点，∴方程 f(1－x)＝k(x－1)＋ 恰有 3 个不同 实根，令 1－x＝t，则方程 f(t)＝－kt＋ 恰有三个不同实根，即函数 y＝f(x)与 y＝－kx＋ 的图象恰 有 3 个不同交点，画出函数图象如下图： 当－k＝0 即 k＝0 时有三个交点，当 y＝－kx＋ 与 f(x)＝x2＋2x＋1(x (1,0)F A B A B l C D | | 4 | |AF BF= p = CDF P | | 4 | |AF BF= AB AB AB CDF∆ 【详解】解：抛物线 的焦点为 ， 所以 ， 所以 ； 如图所示， 过点 作 ，交直线 于点 ， 由抛物线的定义知 ， ， 且 ， 所以 ， ， 所以 ， ， 可知： ， 所以直线 的斜率为 ， 设直线 的方程为 ，点 ， ， 由 ， 消去 整理得 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ； 所以 的面积为 ， 2 2 ( 0)y px p= > (1,0)F 12 p = 2P = B BM l∥ AC M | | | |AF AC= | | | |BF BD= | | 4 | |AF BF= | | 3| |AM BF= | | 5| |AB BF= 3| | | |5AM AB= 4 | |BM BF= AFx BAM∠ = ∠ AB 4tan 3 BMk BAM AM = ∠ = = AB 4 ( 1)3y x= − ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 2 4 ( 1)3 4 y x y x  = −  = y 24 17 4 0x x− + = 1 2 17 4x x+ = 1 2 25| | 4AB x x p= + + = 25 4| | | |sin 54 5CD AB BAM= ∠ = × = CDF∆ 1 5 2 52 × × = 故答案为：2；5. 【点睛】本题考查抛物线的方程与性质的应用问题，涉及联立方程组、韦达定理、焦点弦和三角形面积的 计算问题． 15.已知平行四边形 的面积为 ， ， 为线段 的中点.则 _______ ； 若 为线段 上的一点，且 ，则 的最小值为___________. 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 由平行四边形 的面积为 ，可得 ，再由数量的定义可求出 的值； 由已知得 ，然后根据 三点共线即可得 ，从而得出 ，得 ，然后利用基本不等式即可求出 的最小值. 【详解】解：因为平行四边形 的面积为 ， 所以 ，得 ， 所以 ， 如图，连接 ，则 , 所以 因为 三点共线， 所以 ，得 ， 所以 ， 所以 ABCD 9 3 2 3 πBAD∠ = E BC AD DC⋅ =  F DE 5 6AF AB ADλ= +   AF 9− 5 ABCD 9 3 18AB AD⋅ =  AD DC⋅  5 1( )6 2AF AE ADλ λ= + −   , ,E F D 1 3 λ = 1 5 3 6AF AB AD= +   2 2 21 5( ) ( ) 53 6AF AB AD= + −   AF ABCD 9 3 2sin 9 33AB AD π⋅ =  18AB AD⋅ =  2cos 93AD DC AD AB AD AB π⋅ = ⋅ = ⋅ = −      AE 1 1,2 2BE AD AE AB AD= = +     1 5 1 5 1( ) ( ) ( )2 6 2 6 2AF AB AD AD AE ADλ λ λ λ= + + − = + −      , ,E F D 5 1 16 2 λ λ+ − = 1 3 λ = 1 5 3 6AF AB AD= +   当且仅当 ，即 时取等号， 所以 最小值为 ， 故答案为： ； 【点睛】此题考查了向量加法、数乘的几何意义，三角形的面积公式，向量数量积的运算，基本不等式的 应用，考查了计算能力，属于中档题. 三､解答题：本大题共 5 小题，共 75 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.为了进一步激发同学们的学习热情，某班级建立了数学､英语两个学习兴趣小组，两组的人数如下表所示： 组别 性别 数学 英语 男 5 1 女 3 3 现采用分层抽样的方法(层内采用简单随机抽样)从两组中共抽取 3 名同学进行测试. （1）求从数学组抽取的同学中至少有 1 名女同学的概率； （2）记 ξ 为抽取的 3 名同学中男同学的人数，求随机变量 ξ 的分布列和数学期望. 【答案】（1） .（2）分布列答案见解析，数学期望 【解析】 【分析】 （1）两小组的总人数之比为 8∶4，确定分层抽样的比值,即数学组抽取 2 人,英语组抽取 1 人.数学组至少有 1 名女同学的情况有：1 名男同学､1 名女同学和 2 名女同学两种情况.利用古典概型的概率计算公式即可得出 结果. （2）由题意可知，ξ 的所有可能取值为 0，1，2，3,根据题意可知需满足数学组抽取 2 人,英语组抽取 1 人, 根据男生的人数进行分类讨论即可求得对应的概率,进而得出结果. 【详解】（1）两小组的总人数之比为 8∶4=2∶1，共抽取 3 人， 所以数学组抽取 2 人，英语组抽取 1 人. 从数学组抽取的同学中至少有 1 名女同学的情况有：1 名男同学､1 名女同学和 2 名女同学两种情况. 的 2 2 2 2 21 25 5 2 1 5 1 5cos ( ) ( ) 5 2 5 59 36 9 3 3 6 3 6AF AB AD AB AD AB AD AB AD π= + + ⋅ = + − ≥ × × × − =         1 5 3 6AB AD=  5 3 52AB AD= =  AF 5 9− 5 9 14 3 2 所以所求概率 . （2）由题意可知，ξ 的所有可能取值为 0，1，2，3 分布列为： 0 1 2 3 【点睛】本题考查古典概型概率的计算,考查离散型随机变量的分布列和期望,属于中档题. 17.在如图所示的几何体中，四边形 为平行四边形， ， 平面 ， ， ， ，且 是 的中点. （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求二面角 的大小； （Ⅲ）在线段 上是否存在一点 ，使得 与 所成的角为 ？ 若存在，求出 的长度；若不存 在，请说明理由. 1 1 2 3 5 3 2 8 9 14 C C CP C += = 2 1 3 3 2 1 8 4 9( 0) 112 C CP C C ξ = = ⋅ = 1 1 1 2 1 3 5 3 3 1 2 1 2 1 8 4 8 4 48 3( 1) 112 7 C C C C CP C C C C ξ = = ⋅ + ⋅ = = 1 1 2 11 3 5 5 31 2 1 2 1 8 4 8 4 45( 2) 112 C C C CCP C C C C ξ = = ⋅ + ⋅ = 2 1 5 1 2 1 8 4 10 5( 3) 112 56 C CP C C ξ = = ⋅ = = P 9 112 3 7 45 112 5 56 9 3 45 5 3( ) 0 1 2 3112 7 112 56 2E ξ = × + × + × + × = ABCD 90ABD °∠ = EB ⊥ ABCD , 2EF AB AB = 3, 1EB EF= = 13BC = M BD EM  ADF D AF B− − EB P CP AF 30 BP 【答案】（Ⅰ）证明见解析． （Ⅱ） ． （Ⅲ）不存在点 ；理由见解析． 【解析】 【分析】 （Ⅰ）建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量 ，证明 ，即可证明 平面 ． （Ⅱ）根据平面 的法向量 ，求得平面 的一个法向量 ，利用向量的夹角公式即可求得二 面角 的值． （Ⅲ）假设存在这样的 P，设出 P 点坐标，根据向量的夹角关系求出 P 的坐标，根据 P 的位置即可判断出 不存在． 【详解】（Ⅰ）证明：因为 平面 ， ，故以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 由已知可得各点坐标为 ， 设平面 的一个法向量是 由 得 令 ，则 又因为 ， 所以 ，又 平面 ，所以 平面 60 P ADF n EM ⊥ n EM  ADF ADF n EBAF BD D AF B− − EB ⊥ ABD AB BD⊥ B B xyz− (0,0,0), (0,2,0), (3,0,0)B A D (3, 2,0), (0,0, 3)C E− 3, (0,1, 3), ,0,02F M      3 ,0, 3 , (3, 2,0), (0, 1, 3)2EM AD AF = − = − = −      ADF ( , , )x y z=n 0 0 n AD n AF  ⋅ =  ⋅ =   3 2 0 3 0 x y y z − =− + = y=3 (2,3, 3)=n 3 ,0, 3 (2,3, 3) 3 0 3 02EM n  ⋅ = − ⋅ = + − =    EM ⊥ n EM ⊂ ADF EM  ADF （Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面 的一个法向量是 . 因为 平面 ，所以 又因为 ，所以 平面 . 故 是平面 的一个法向量. 所以 ，又二面角 为锐角， 故二面角 的大小为 （Ⅲ）假设在线段 上存在一点 ，使得 与 所成的角为 不妨设 ，则 所以 由题意得 化简得 解得 因为 ，所以无解 即在线段 上不存在点 ，使得 与 所成的角为 【点睛】本题考查了空间向量在证明线面平行、面面夹角及线线夹角中的应用，建立空间直角坐标系，即 可利用向量数量积的坐标运算求解或证明，属于中档题． 18.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 的离心率为 ，且过点 . 为 椭圆的右焦点， 为椭圆上关于原点对称的两点，连接 分别交椭圆于 两点. ⑴求椭圆的标准方程； ⑵若 ，求 的值； ⑶设直线 ， 的斜率分别为 ， ，是否存在实数 ，使得 ，若存在，求出 的值；若 不存在，请说明理由. ADF (2,3, 3)=n EB ⊥ ABD EB BD⊥ AB BD⊥ BD ⊥ EBAF (3,0,0)BD = EBAF 1cos , 2| || | BDBD BD ⋅= =nn n   D AF B− − D AF B− − 60 EB P CP AF 30 (0,0, )(0 3)P t t≤ ≤ (3, 2, ), (0, 1, 3)PC t AF= − − = −  2 | | | 2 3 |cos , | | | | 2 13 PC AF tPC AF PC AF t ⋅ −= = ⋅ +      2 2 3 3 22 13 t t − = + 4 3 35t− = 35 0 4 3 t = − < 0 3t≤ ≤ EB P CP AF 30 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 1 2 31 2     ， F ,A B ,AF BF ,C D AF FC= BF FD AB CD 1k 2k m 2 1k mk= m 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 试题分析：（1） ；（2）由椭圆对称性，知 ，所以 ，此时直线 方程为 ，故 ． （3）设 ，则 ，通过直线和椭圆方程，解 得 ， ， 所 以 ， 即 存 在 ． 试题解析： （1）设椭圆方程为 ，由题意知： 解之得： ，所以椭圆方程为： （2）若 ，由椭圆对称性，知 ，所以 ， 此时直线 方程为 ， 由 ，得 ，解得 （ 舍去）， 2 2 14 3 x y+ = 7 3 5 3m = 2 2 14 3 x y+ = 31, 2A     31, 2B − −   BF 3 4 3 0x y− − = ( )1 1 7 13 317 BF FD − −= = − 0 0, )A x y（ ( )0 0,B x y− − 0 0 0 0 0 0 8 5 3 8 5, (5 2 5 2 5 2 x y xC Dx x x  − − +  − − +  ， 0 0 3 )5 2 y x+ 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 3 3 5 2 5 2 5 5 8 5 8 5 3 3 5 2 5 2 y y x x yk kx x x x x −−+ −= = =+ −−+ − 5 3m = 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2 2 1 2 1 9 14 c a a b  =  + = 2 3 a b = = 2 2 14 3 x y+ = AF FC= 31, 2A     31, 2B − −   BF 3 4 3 0x y− − = 2 2 3 4 3 0, 1,4 3 x y x y − − = + = 27 6 13 0x x− − = 13 7x = 1x = − 故 ． （3）设 ，则 ， 直线 的方程为 ，代入椭圆方程 ，得       ， 因为 是该方程的一个解，所以 点的横坐标 ， 又 在直线 上，所以 ， 同理， 点坐标为 ， ， 所以 ， 即存在 ，使得 ． 19.已知数列 是公差不为 0 的等差数列， ，数列 是等比数列，且 ， ， ， 数列 的前 n 项和为 ． （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求 的前 n 项和 ； （3）若 对 恒成立，求 的最小值． 【答案】（1） ；（2） ；（3） 【解析】 ( )1 1 7 13 317 BF FD − −= = − 0 0, )A x y（ ( )0 0,B x y− − AF ( )0 0 11 yy xx = −− 2 2 14 3 x y+ = ( ) 2 2 2 0 0 0 015 6 8 15 24 0x x y x x− − − + = 0x x= C 0 0 8 5 5 2C xx x −= − ( ),c CC x y ( )0 0 11 yy xx = −− ( )0 0 0 0 311 5 2C c y yy xx x −= − =− − D 0 0 8 5(5 2 x x + + 0 0 3 )5 2 y x+ 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 3 3 5 2 5 2 5 5 8 5 8 5 3 3 5 2 5 2 y y x x yk kx x x x x −−+ −= = =+ −−+ − 5 3m = 2 1 5 3k k= { }na 1 3 2a = { }nb 1 1b a= 2 3b a= − 3 4b a= { }nb nS { }nb , 5 8 , 6 n n n b nc a n ≤=  ≥ { }nc nT 1 n n A S BS ≤ − ≤ *n∈N B A− 13 2 n nb  = − × −   2 11 , 52 6 54 87 , 632 n n n T n n n   − − ≤    =  − + − ≥ 17 12 【分析】 （1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，根据 ， ， ，列方程 组解方程组可得； （2）分 和 讨论，求 ； （3）令 ，由单调性可得 ，由题意可得 ，易得 的 最小值． 【详解】解：（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ， 则由题意可得 ，解得 或 ， ∵数列 是公差不为 0 的等差数列， ， ∴数列 的通项公式 ； （2）由（1）知 ， 当 时， ， 当 时， ， 综合得： { }na d { }nb q 1 1b a= 2 3b a= − 3 4b a= 5n ≤ 6n ≥ nT 1 n n t SS= − min max 7 5,12 6tt = − = 7 5, [ , ]12 6 A B − ⊆   B A− { }na d { }nb q 2 3 322 2 3 332 2 d q d q  + = −  + = 1 2 3 8 q d  = −  = − 1 0 q d = −  = { }na 1 2q∴ = − { }nb 13 2 n nb  = − × −   3 3 15 3( 1)( )2 8 8n na n −= + − − = 5n ≤ 1 2 3 112 2 111 21 2 n n n nT b b b   − −        = − −   = + + + =  − −    6n ≥ 5 6 7n nT T a a a= + + + 5 2 6 3 15 3( )( 5)( )( 5)1 33 6 54 878 81 2 2 32 2 32 n n na a n n n − −+ −+ − − + − = − − + = + =   2 11 , 52 6 54 87 , 632 n n n T n n n   − − ≤    =  − + − ≥ （3）由（1）可知 ， 令 ， ，∴ 随着 的增大而增大， 当 为奇数时， 在奇数集上单调递减， ， 当 为偶数时， 在偶数集上单调递增， ， ， 对 恒成立， ， ∴ 的最小值为 ． 【点睛】本题考查等比数列和等差数列的综合应用，涉及恒成立和函数的单调性及分类讨论的思想，属中 档题 20.已知函数 为自然对数的底数）． （1）求函数 的值域； （2）若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围； （3）证明： ． 【答案】（1） ；（2） ；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）先对函数求导，判断出函数单调性，进而可得出值域； 3 112 2 111 21 2 n n nS   − −       = = − −    − −   1 n n t SS= − 0nS > t nS n 11 2 n nS  = +    3 51, , 0,2 6n tS    ∈ ∈      n 11 2 n nS  = −   3 7,1 , ,04 12nS t   ∈ ∈ −      min max 7 5,12 6t t∴ = − = 1 n n A S BS ≤ − ≤ *n∈N 7 5, [ , ]12 6 A B ∴ − ⊆   B A− 5 7 17 6 12 12  − − =   ( ) 0 2 x xf x e e sinx x e π = − ∈  ， ， （ ( )f x ( ) ( 1)(1 sin )f x k x x− − 0 2x π ∈  ， k 1 21 3( ) 12 2 xe x− − − +＞ [ ]0,1 2 1 12 ek π π− ≤ ≤ − （2）先由题意，将问题转化为 对任意 恒成立，构造函数 ，对函 数 求导，用导数方法判断其单调性，求其最小值，即可得出结果. （3）令 ，对函数 求导，用导数方法研究其单调性，求其最小值，只需最 小值大于 0 即可. 【详解】（1）因为 ， 所以 ， ∵ ，∴ ， ∴ ，所以 ， 故函数 在 上单调递减，函数 的最大值为 ； 的最小值为 ， 所以函数 的值域为 ． （2）原不等式可化为 …（*）， 因为 恒成立，故（*）式可化为 ． 令 ，则 ， 当 时， ，所以函数 在 上单调递增，故 ，所以 ； 当 时，令 ，得 ， 所以当 时， ；当 时， ． 所以当 ，即 时，函数 成立； ( 1)xe k x≥ − 0 2x π ∈  ， ( ) xg x e kx k= − + ( )g x ( ) 1 21 3( ) 12 2 xh x e x−= + − − ( )h x ( ) x xf x e e sinx= − ( ) ( (1 sin cos ) 1 2 sin( )4cos )x x x xf x e e sinx x e ex x x π′ = − +  − − = −= +   0 2x π ∈  ， 3 4 4 4x π π π + ∈  ， 2 4 2sin x π + ≥   ( ) 0f x′ ≤ ( )f x 0 2 π    ， ( )f x ( ) 10 1 0f = − = ( )f x 2 2 02 2f e e sin π ππ π  = − =   ( )f x [ ]0,1 ) ( 1)(1 sin(1 )xe sinx k x x− ≥ − − 1 sin 0x− ≥ ( 1)xe k x≥ − ( ) xg x e kx k= − + ( ) xg x e k′ = − 0k ≤ ( ) 0xg x e k′ = − > ( )g x 0 2 π    ， ( ) (0) 1 0g x g k≥ = + ≥ 1 0k− ≤ ≤ 0k > ( ) 0xg x e k′ = − = lnx k= (0,ln )x k∈ ( ) 0xg x e k′ = − < (ln , )x k∈ +∞ ( ) 0xg x e k′ = − > 2lnk π＜ 20 k e π < < min( ) (ln ) 2 ln 0g x g k k k k= = − > 当 ，即 时，函数 在 上单调递减， ，解得 综上， ． （3）令 ，则 ． 由 ，故存在 ，使得 ， 即 ． 所以，当 时， ；当 时， ． 故当 时，函数 有极小值，且是唯一的极小值， 故函数 ， 因为 ，所以 ， 故 ， 即 ． 【点睛】本题主要考查导数的应用，用导数的方法研究函数单调性、最值、以及由不等式恒成立求参数的 问题，属于常考题型. 2lnk π≥ 2k e π ≥ ( )g x 0 2 π    ， 2( ) 02 2ming x g e k k ππ π = = − + ≥   2 2 12 ee k π π π≤ ≤ − 2 1 12 ek π π− ≤ ≤ − ( ) 1 21 3( ) 12 2 xh x e x−= + − − ( ) 1 3 2 xh x e x−′ = + − 1 1 2 41 3 31 0 02 4 4h e h e − −   ′ ′= − = −      ＜ ， ＞ 0 1 3 2 4x ， ∈   ( )0 0h x′ = 0 1 0 3 2 xe x− = − 0( , )x x∈ −∞ ( ) 0h x′ < 0( , )x x∈ +∞ ( ) 0h x′ > 0x x= ( )h x ( ) 0 1 2 2 min 0 0 0 0 1 3 3 1 3( ) ( ) 1 ( ) ( ) 12 2 2 2 2 xh x h x e x x x−= = + − − = − − + − − 2 2 0 0 1 3 3 1 3( ) 12 2 2 2 5 2 2x x   = − − − = − −      0 1 3 2 4x ， ∈   2 2 0 1 5 3 1 3 5 3 1( ) ( ) 02 2 2 2 4 2 2 32x − − − − => > ( ) 1 21 3( ) 1 02 2 xh x e x−= + − − > 1 21 3( ) 12 2 xe x− − − +>