安徽省合肥市2020届高三第三次教学质量检测数学试题理科 含答案及评分标准

2020 年三模理科试题 第 1 页 共 8 页 合肥市 2020 届高三第三次教学质量检测 数学试题(理科) (考试时间：120 分钟 满分：150 分) 第Ⅰ卷 (60 分) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.已知 为实数集，集合 ， ，则 A. B. C. D. 2.若复数 在复平面内对应的点关于原点对称， ，则 A.-2 B. C.2 D. 3.在新冠肺炎疫情联防联控期间，某居委会从辖区内 A，B，C 三个小区志愿者中各选取 2 人，随机安 排到这三个小区，协助小区保安做好封闭管理和防控宣传工作.若每个小区安排 2 人，则每位志愿者不安 排在自己居住小区，且每个小区安排的志愿者来自不同小区的概率为 A. B. C. D. 4.已知双曲线 ( ， )的顶点到渐近线的距离为 ，则该双曲线的离心率为 A. B.2 C. D. 5.“关于 的方程 有实数解”的一个充分不必要条件是 A. B. C. D. 6.已知 ，则 A. B. C. D. 7.公元前 1650 年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所 得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，第一人分得玉米 A. 斗 B. 斗 C. 斗 D. 斗 8.已知 三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，则 的最 小值为 A. B.3 C. D.4 9.某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测 量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均 分成两束后射出，并在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光.当被 测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同；当横向速度不为 零时，反射光相对探测光会发生频移 ，其中 为测速仪 测得被测物体的横向速度， 为激光波长， 为两束探测光线夹角 的一半，如图.若激光测速仪安装在距离高铁 1 处，发出的激光波 长为 1550 ( )，测得某时刻频移为 (1/h)， 则该时刻高铁的速度约等于 A.320km/h B.330km/h C.340km/h D.350km/h R { }0 2A x x= < < { }3B x x= < ( )R A B = { }2 3x x< < { }2 3x x≤ < { }0 3x x x< ≤ 2 a 2 3 3 2 2 3 3 x ( )2 1 2x xa + = 1 13 a< < 1 2a ≥ 2 13 a< < 1 12 a≤ < 3tan 3 2 πα + =   3sin cos 3 cos sin α α α α + = − 1 9 3 9 1 3 3 3 9 10 70 8 8 1 × − 10 10 10 10 8 8 7 × − 9 10 10 10 8 8 7 × − 8 10 10 10 8 8 7 × − ABC∆ A B C a b c 2 cosa b c B+ = 2b c a b  +    2 2 2 3 2 sin p vf ϕ λ= v λ ϕ m nm 91nm 10 m−= 99.030 10×2020 年三模理科试题 第 2 页 共 8 页 10. 在长方体 中， ， ， 为棱 的中点，动点 满足 ，则点 的轨迹与长方体的面 的交线长等于 A. B. C. D. 11.已知不等式 对一切正数 都成立，则实数 的 取值范围是 A. B. C. D. 12.在矩形 中， ， ，点 分别为直线 上 的动点， 交 于点 .若 ， ( )，矩形 的对称中心 关于直线 的对称点是点 ，则 的周长为 A.12 B.16 C. D. 第Ⅱ卷 (90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题—第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22 题、 第 23 题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.把答案填在答题卡上的相应位置. 13.某高中各年级男、女生人数统计如下表： 年级 性别 高一 高二 高三 男生 592 563 520 女生 528 517 按年级分层抽样，若抽取该校学生 80 人中，高二学生有 27 人，则上表中 . 14.在 的展开式中， 的系数为 . 15.已知数列 中 ，数列 的前 项和 .若数列 的前 项和 对于 都成立，则实数 的最小值等于 . 16.已知三棱锥 的三条侧棱 两两垂直，其长度分别为 .点 在底面 内的射影为 ，点 所对面的面积分别为 .在下列所给的命题中，正确 的有 .(请写出所有正确命题的编号) ①三棱锥 外接球的表面积为 ； ② ； ③ ； ④若三条侧棱与底面所成的角分别为 ，则 ； ⑤ 若 点 是 面 内 一 个 动 点 ， 且 与 三 条 侧 棱 所 成 的 角 分 别 为 ， 则 . 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 ( ). ⑴求函数 的值域； ⑵若方程 在区间 上恰有两个实数解，求 的取值范围. 1 1 1 1ABCD A B C D− 6AB AD= = 1 2AA = M BC P APD CPM∠ = ∠ P 1 1DCC D 2 3 π π 4 3 π 2π ( )1 ln 1xe x m x x− − > − +   x m 3 e −∞  ， 2 e −∞  ， ( ] 1−∞， ( ]e−∞， ABCD 4AB = 4 3BC = G H， BC CD， AH DG P 2DH DCλ=  1 2CG CBλ=  0 1λ< < ABCD M AD N PMN∆ 24λ 32λ a a = 544x x  − +   2x { }na na n= { }nb n 2 1n nS = − n n a b       n nT M< *n N∀ ∈ M A BCD− AB AC AD， ， a b c， ， A BCD O A B C D， ， ， A B C DS S S S， ， ， A BCD− ( )2 2 2a b c π+ + 2 A BCO DS S S∆⋅ = 3 3 3 3 A B C DS S S S< + + 1 1 1 α β γ， ， 2 2 2 1 1 1sin sin sin 1α β γ+ + = M BCD AM 2 2 2 α β γ， ， 2 2 2 2 2 2cos cos cos 1α β γ+ + = ( ) ( )cos sin 3 cosf x x x xω ω ω= + 0ω > ( )f x ( ) 3 2f x = [ ]0 π， ω 人数2020 年三模理科试题 第 3 页 共 8 页 18.(本小题满分 12 分) 如图，边长为 2 的等边 所在平面与菱形 所在平面互 相垂直， ， 为线段 的中点. ⑴求证：平面 ⊥平面 ； ⑵求点 到平面 的距离. 19.(本小题满分 12 分) 某市积极贯彻落实国务院《“十三五”节能减排综合工作方案》，空气质量明显改善.该市生态环境 局统计了某月(30 天)空气质量指数，绘制成如下频率分布直方图. 已知空气质量等级与空气质量指数对照如下表： ⑴根据频率分布直方图估计，在这 30 天中，空气质量等级为 优或良的天数； ⑵根据体质检查情况，医生建议：当空气质量指数高于 90 时， 市民甲不宜进行户外体育运动；当空气质量指数高于 70 时，市民 乙不宜进行户外体育运动(两人是否进行户外体育运动互不影响). ①从这 30 天中随机选取 2 天，记乙不宜进行户外体育运动， 且甲适宜进行户外体育运动的天数为 ，求 的分布列和数学期 望； ②以一个月空气质量指数分布的频率代替每天空气质量指数 分布的概率(假定每天空气质量指数互不影响)，甲、乙两人分别随 机选择 3 天和 2 天进行户外体育运动，求甲恰有 2 天，且乙恰有 1 天不宜进行户外体育运动的概率. 20.(本小题满分 12 分) 已知函数 ( 为自然对数的底数)，其中 . ⑴试讨论函数 的单调性； ⑵证明： . 21.(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 中，已知点 是椭圆 ： 上的动点，不经过点 的直线 交椭圆 于 ， 两点. ⑴若直线 经过坐标原点，证明：直线 与直线 的斜率之积为定值； ⑵若 ，直线 与直线 交于点 ，试判断动点 的轨迹与直线 的位置关系， 并说明理由. 空气质 量指数 (0，50](50，100] (100，150] (150，200] (200，300] 300 以上 空气质 量等级 一级 (优) 二级 (良) 三级 (轻度污染) 四级 (中度污染) 五级 (重度污染) 六级 (严重污染) ABC∆ 1 1A ACC 1 13AC AC= M AC 1BMC 1 1A BC C 1 1A BC X X ( ) x xf x e e ax−= − − e a R∈ ( )f x ( ) 2 2 1 3 2 ln 2 1 n i n n i i n n= − −> +∑ xOy P E 2 2 14 x y+ = P l E A B l PA PB 0OA OB OP+ + =    l PO Q Q PA2020 年三模理科试题 第 4 页 共 8 页 请考生在第 22、23 题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题 目计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线 的参数方程为 ( 为参数， ).以坐标原点为极点， 以 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系.曲线 的极坐标方程为 ，直线 与曲线 交于 ， 两点. ⑴求曲线 的直角坐标方程和直线 的极坐标方程； ⑵过原点且与直线 垂直的直线 ，交曲线 于 ， 两点，求四边形 面积的最大值. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲 已知函数 的最小值为 . ⑴求 的值； ⑵若 ，证明： . m cos sin x t y t α α =  = t 0 α π≤ < x E 2 +2 cos 3 0ρ ρ θ − = m E A C E m m n E B D ABCD ( ) 2 2 1f x x x= − − + m m 0a b c m+ + + = 2 2 2 2 4 2 0a b c b c+ + − + + ≥2020 年三模理科试题 第 5 页 共 8 页 合肥市 2020 届高三第三次教学质量检测数学试题(理科) 参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.480 14.-960 15.4 16.①②④⑤ 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分. 17.(本小题满分 12 分) 解:(1) . 由 得， 的值域是 .……………………………5 分 (2)∵ ，∴ ， 由正弦函数的图像可知， 在区间 上恰有两个实数解，必须 ， 解得 . ………………………………12 分 18.(本小题满分 12 分) 解：(1)∵四边形 是菱形，∴ ， 又∵ ，∴ ，∴ 是等边三角形. ∵点 为线段 的中点，∴ . 又∵ ∥ ，∴ . ∵在等边 中， ， 由 ∥ 可得， . 又∵ ，∴ ， ∵ 平面 ，∴平面 ⊥平面 .……………………………5 分 (2)∵ ，平面 ABC⊥平面 ，且交线为 AC， ∴ ，∴直线 ， ， 两两垂直. 以点 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为坐 标轴建立空间直角坐标系，如图， 则 ， ， ， ， ∴ ， ， . 设平面 的一个法向量为 ， ∴ ， ∴ . 令 ， 得 ， 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A C D C B C B D A C A ( ) ( ) ( )1 3cos sin 3 cos sin 2 1 cos22 2f x x x x x xω ω ω ω ω= + = + + 3sin 2 3 2x πω = + +   1 sin 2 13x πω − ≤ + ≤   ( )f x 3 31 12 2  − +    ， 0 x π≤ ≤ 2 23 3 3x π π πω ωπ≤ + ≤ + ( ) 3 2f x = [ ]0 π， 2 2 33 ππ ωπ π≤ + < 5 4 6 3 ω≤ < 1 1A ACC 1 1AC AC⊥ 1 13AC AC= 1 =60ACC∠  1ACC∆ M AC 1C M AC⊥ AC 1 1AC 1 1 1C M AC⊥ ABC∆ BM AC⊥ AC 1 1AC 1 1BM AC⊥ 1BM C M M= 1 1 1AC BMC⊥ 平面 1 1AC ⊂ 1 1A BC 1BMC 1 1A BC BM AC⊥ 1 1A ACC 1 1BM ACC A⊥ 平面 MB MC 1MC M MB MC 1MC ( )3 0 0B ，， ( )1 0 0 3C ，， ( )1 0 2 3A −， ， ( )0 1 0C ，， ( )1 1 0 2 0AC = ，， ( )1 3 0 3BC = − ，， ( )1 0 1 3CC = − ， ， 1 1A BC ( )n x y z= ，， 1 1 1 0 0 AC n BC n  ⋅ = ⋅ =     0 3 3 0 y x z =− + = 1x = ( )1 0 1n = ，，2020 年三模理科试题 第 6 页 共 8 页 ∴ ，即点 C 到平面 的距离为 . ………………………………12 分 19.(本小题满分 12 分) 解:(1)由频率分布直方图可得，空气质量指数在(90，110]的天数为 2 天，所以估计空气质量指数在(90， 100]的天数为 1 天，故在这 30 天中空气质量等级属于优或良的天数为 28 天.……………………3 分 (2)①在这 30 天中，乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数共 6 天， ∴ ， ， ， ∴ 的分布列为 ∴ . …………………………………8 分 ②甲不宜进行户外体育运动的概率为 ，乙不宜进行户外体育运动的概率为 ， ∴ . ………………………………12 分 20.(本小题满分 12 分) 解：(1) . 当 时， ， 在 上单调递增； 当 时，由 得 ，∴ . 当 时， ， 当 时， . ∴ 在 和 上单调递增， 在 上单调递减.………………………………5 分 (2)由(1)知，当 时， 在 上单调递增， ∴ 在 上单调递增. 当 时， ，即 ， ∴当 时， ， ∴ . ………………………………12 分 21.(本小题满分 12 分) 0 1 2 1 3 6 22 CC n d n ⋅ = = =    1 1A BC 6 2 ( ) 2 24 2 30 920 145 CP X C = = = ( ) 1 1 6 24 2 30 481 145 C CP X C ⋅= = = ( ) 2 6 2 30 12 29 CP X C = = = X 92 48 1 20 1 2145 145 29 5EX = × + × + × = 1 10 3 10 2 2 1 3 2 1 9 3 7 567 10 10 10 10 50000P C C = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =   ( ) x xf x e e a−′ = + − 2a ≤ ( ) 2 0x xf x e e a a−′ = + − ≥ − ≥ ( )f x R 2a > ( ) 0f x′ = 2 4 2 x a ae ± −= 2 4ln 2 a ax ± −= 2 24 4ln ln2 2 a a a ax    − − + −   ∈ −∞ + ∞      ， ， ( ) 0f x′ > 2 24 4ln ln2 2 a a a ax  − − + − ∈   ， ( ) 0f x′ < ( )f x 2 4ln 2 a a − − −∞   ， 2 4ln 2 a a + − + ∞   ， 2 24 4ln ln2 2 a a a a − − + −    ， 2a = ( ) 2x xf x e e x−= − − R ( ) ( ) 1ln 2lng x f x x xx = = − − ( )0 + ∞， 2n Z n∈ ≥且 1 12ln 1 2ln1 01n nn − − > − − = 2 1 2lnn nn − > 2n Z n∈ ≥且 2 1 2 1 1 ln 1 1 1n n n n n > = −− − + ( ) 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 21ln 1 3 2 4 1 1 2 1 2 n 1 n i n n i i n n n n n= − −> − + − + + − = + − − =− + + +∑  X P 92 145 48 145 1 292020 年三模理科试题 第 7 页 共 8 页 解: 设点 ， ， . (1)∵直线 经过坐标原点，∴ . ∵ ，∴ . 同理得 . ∴ . ∴直线 与直线 的斜率之积为定值. ……………………………5 分 (2)∵ ，∴ . 设 ，则 . 由 ，得 ， ∴动点 的轨迹方程为 . ……………………………8 分 设直线 与直线 交于点 ，则点 为线段 的中点，且 ， 当 时，∵ ， ，∴ ， ∴直线 的方程为 ，整理得 . 将 代入动点 的轨迹方程得， (※). 将 代入(※)，整理得 . ∵ ，∴直线 与动点 的轨迹相切. 当 时，直线 的方程为 ，∴直线 与动点 的轨迹相切. 综上可知，直线 与动点 的轨迹相切. ……………………………12 分 22.(本小题满分 10 分) (1)曲线 的直角坐标方程为 ， 直线 的极坐标方程为 ( ). ………………………………5 分 (2)设点 ， 的极坐标分别为 ， . 由 得， ，∴ ， ， ∴ .同理得 . ∵ ， 当且仅当 ，即 时，等号成立， ∴四边形 面积的最大值为 7. ………………………………10 分 23.(本小题满分 10 分) ( )0 0P x y， ( )1 1A x y， ( )2 2B x y， l 2 1 2 1x x y y= − = −， 0 2 20 14 x y+ = 0 2 2 01 4 xy = − 1 2 2 11 4 xy = − 00 11 0 1 0 1 0 1 0 1 22 22 2 2 0 1 0 1 2 2 2 2 2 2 0 1 0 1 1 1 4 44 4 1 4PA PB xx xx y yy y y yk k x x x x x x x x x x    − −− − −      −− +    ⋅ = ⋅ = = = = −− + − − − PA PB 0OA OB OP+ + =    2OP OQ= −  ( )Q x y， 0 0 2 2 x x y y = −  = − 0 2 20 14 x y+ = 2 24 1x y+ = Q 2 24 1x y+ = OB PA M M PA 2 2 2 2 x yM  − −  ， 2 0y ≠ 0 2 20 14 x y+ = 1 2 21 14 x y+ = 1 0 1 0 2 1 0 1 0 2 1 4 4PA y y x x xk x x y y y − += = − ⋅ = −− + PA 2 2 2 22 4 2 y x xy xy  + = − +   2 2 2 4 x xy y += − 2 2 2 4 x xy y += − Q ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 24 4 4 1 0x y x x x y+ + + − = 2 22 2 14 x y+ = 2 2 2 24 4 0x x x x+ + = 2 2 2 216 16 0x x∆ = − = PA Q 2 0y = PA 1x = ± PA Q PA Q E ( )2 2+1 4x y+ = m θ α= Rρ ∈ A C ( )1 ρ α， ( )2 ρ α， 2 = +2 cos 3 0 θ α ρ ρ θ   − = 2 +2 cos 3 0ρ ρ α − = 1 2 2cosρ ρ α+ = − 1 2 3ρ ρ = − 2 1 2 2 cos 3AC ρ ρ α= − = + 22 sin 3BD α= + 2 2 2 21 2 cos 3 sin 3 cos 3 sin 3 72ABCDS AC BD α α α α= ⋅ = + ⋅ + ≤ + + + = 2 2cos 3 sin 3α α+ = + 3 4 4 π πα = 或 ABCD2020 年三模理科试题 第 8 页 共 8 页 (1) ， 根据函数图象得， 的最小值为-2， ∴ . ………………………………5 分 (2)由(1)知， ， ∴ ， ∴ ， 当且仅当 ， ，即 ， ， 时等号成立， ∴ . ………………………………10 分 ( ) 3 1 2 2 1 1 3 1 1 3 1 x x f x x x x x x x − < − = − − + = − − ≤