2020 年三模理科试题 第 1 页 共 8 页
合肥市 2020 届高三第三次教学质量检测
数学试题(理科)
(考试时间：120 分钟 满分：150 分)
第Ⅰ卷 (60 分)
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1.已知 为实数集，集合 ， ，则
A. B. C. D.
2.若复数 在复平面内对应的点关于原点对称， ，则
A.-2 B. C.2 D.
3.在新冠肺炎疫情联防联控期间，某居委会从辖区内 A，B，C 三个小区志愿者中各选取 2 人，随机安
排到这三个小区，协助小区保安做好封闭管理和防控宣传工作.若每个小区安排 2 人，则每位志愿者不安
排在自己居住小区，且每个小区安排的志愿者来自不同小区的概率为
A. B. C. D.
4.已知双曲线 ( ， )的顶点到渐近线的距离为 ，则该双曲线的离心率为
A. B.2 C. D.
5.“关于 的方程 有实数解”的一个充分不必要条件是
A. B. C. D.
6.已知 ，则
A. B. C. D.
7.公元前 1650 年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所
得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，第一人分得玉米
A. 斗 B. 斗 C. 斗 D. 斗
8.已知 三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，则 的最
小值为
A. B.3 C. D.4
9.某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测
量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均
分成两束后射出，并在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光.当被
测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同；当横向速度不为
零时，反射光相对探测光会发生频移 ，其中 为测速仪
测得被测物体的横向速度， 为激光波长， 为两束探测光线夹角
的一半，如图.若激光测速仪安装在距离高铁 1 处，发出的激光波
长为 1550 ( )，测得某时刻频移为 (1/h)，
则该时刻高铁的速度约等于
A.320km/h B.330km/h C.340km/h D.350km/h
R { }0 2A x x= < < { }3B x x= < ( )R A B =
{ }2 3x x< < { }2 3x x≤ < { }0 3x x x< ≤
2
a
2 3 3
2
2 3
3
x ( )2 1 2x xa + =
1 13 a< < 1
2a ≥ 2 13 a< < 1 12 a≤ <
3tan 3 2
πα + =
3sin cos
3 cos sin
α α
α α
+ =
−
1
9
3
9
1
3
3
3
9
10
70 8
8 1
×
−
10
10 10
10 8
8 7
×
−
9
10 10
10 8
8 7
×
−
8
10 10
10 8
8 7
×
−
ABC∆ A B C a b c 2 cosa b c B+ =
2b c
a b
+
2 2 2 3
2 sin
p
vf
ϕ
λ= v
λ ϕ
m
nm 91nm 10 m−= 99.030 10×2020 年三模理科试题 第 2 页 共 8 页
10. 在长方体 中， ， ， 为棱 的中点，动点 满足
，则点 的轨迹与长方体的面 的交线长等于
A. B. C. D.
11.已知不等式 对一切正数 都成立，则实数 的
取值范围是
A. B. C. D.
12.在矩形 中， ， ，点 分别为直线 上
的动点， 交 于点 .若 ， ( )，矩形
的对称中心 关于直线 的对称点是点 ，则 的周长为
A.12 B.16 C. D.
第Ⅱ卷 (90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题—第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22 题、
第 23 题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.把答案填在答题卡上的相应位置.
13.某高中各年级男、女生人数统计如下表：
年级
性别 高一 高二 高三
男生 592 563 520
女生 528 517
按年级分层抽样，若抽取该校学生 80 人中，高二学生有 27 人，则上表中 .
14.在 的展开式中， 的系数为 .
15.已知数列 中 ，数列 的前 项和 .若数列 的前 项和 对于
都成立，则实数 的最小值等于 .
16.已知三棱锥 的三条侧棱 两两垂直，其长度分别为 .点 在底面
内的射影为 ，点 所对面的面积分别为 .在下列所给的命题中，正确
的有 .(请写出所有正确命题的编号)
①三棱锥 外接球的表面积为 ；
② ； ③ ；
④若三条侧棱与底面所成的角分别为 ，则 ；
⑤ 若 点 是 面 内 一 个 动 点 ， 且 与 三 条 侧 棱 所 成 的 角 分 别 为 ， 则
.
三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(本小题满分 12 分)
已知函数 ( ).
⑴求函数 的值域；
⑵若方程 在区间 上恰有两个实数解，求 的取值范围.
1 1 1 1ABCD A B C D− 6AB AD= = 1 2AA = M BC P
APD CPM∠ = ∠ P 1 1DCC D
2
3
π π 4
3
π
2π
( )1 ln 1xe x m x x− − > − + x m
3
e −∞ ，
2
e −∞ ， ( ] 1−∞， ( ]e−∞，
ABCD 4AB = 4 3BC = G H， BC CD，
AH DG P 2DH DCλ= 1
2CG CBλ= 0 1λ< <
ABCD M AD N PMN∆
24λ 32λ
a
a =
544x x
− +
2x
{ }na na n= { }nb n 2 1n
nS = − n
n
a
b
n nT M<
*n N∀ ∈ M
A BCD− AB AC AD， ， a b c， ， A
BCD O A B C D， ， ， A B C DS S S S， ， ，
A BCD− ( )2 2 2a b c π+ +
2
A BCO DS S S∆⋅ = 3 3 3 3
A B C DS S S S< + +
1 1 1
α β γ， ， 2 2 2
1 1 1sin sin sin 1α β γ+ + =
M BCD AM 2 2 2
α β γ， ，
2 2 2
2 2 2cos cos cos 1α β γ+ + =
( ) ( )cos sin 3 cosf x x x xω ω ω= + 0ω >
( )f x
( ) 3
2f x = [ ]0 π， ω
人数2020 年三模理科试题 第 3 页 共 8 页
18.(本小题满分 12 分)
如图，边长为 2 的等边 所在平面与菱形 所在平面互
相垂直， ， 为线段 的中点.
⑴求证：平面 ⊥平面 ；
⑵求点 到平面 的距离.
19.(本小题满分 12 分)
某市积极贯彻落实国务院《“十三五”节能减排综合工作方案》，空气质量明显改善.该市生态环境
局统计了某月(30 天)空气质量指数，绘制成如下频率分布直方图.
已知空气质量等级与空气质量指数对照如下表：
⑴根据频率分布直方图估计，在这 30 天中，空气质量等级为
优或良的天数；
⑵根据体质检查情况，医生建议：当空气质量指数高于 90 时，
市民甲不宜进行户外体育运动；当空气质量指数高于 70 时，市民
乙不宜进行户外体育运动(两人是否进行户外体育运动互不影响).
①从这 30 天中随机选取 2 天，记乙不宜进行户外体育运动，
且甲适宜进行户外体育运动的天数为 ，求 的分布列和数学期
望；
②以一个月空气质量指数分布的频率代替每天空气质量指数
分布的概率(假定每天空气质量指数互不影响)，甲、乙两人分别随
机选择 3 天和 2 天进行户外体育运动，求甲恰有 2 天，且乙恰有 1 天不宜进行户外体育运动的概率.
20.(本小题满分 12 分)
已知函数 ( 为自然对数的底数)，其中 .
⑴试讨论函数 的单调性；
⑵证明： .
21.(本小题满分 12 分)
在平面直角坐标系 中，已知点 是椭圆 ： 上的动点，不经过点 的直线 交椭圆
于 ， 两点.
⑴若直线 经过坐标原点，证明：直线 与直线 的斜率之积为定值；
⑵若 ，直线 与直线 交于点 ，试判断动点 的轨迹与直线 的位置关系，
并说明理由.
空气质
量指数 (0，50](50，100] (100，150] (150，200] (200，300] 300 以上
空气质
量等级
一级
(优)
二级
(良)
三级
(轻度污染)
四级
(中度污染)
五级
(重度污染)
六级
(严重污染)
ABC∆ 1 1A ACC
1 13AC AC= M AC
1BMC 1 1A BC
C 1 1A BC
X X
( ) x xf x e e ax−= − − e a R∈
( )f x
( )
2
2
1 3 2
ln 2 1
n
i
n n
i i n n=
− −> +∑
xOy P E
2
2 14
x y+ = P l E
A B
l PA PB
0OA OB OP+ + = l PO Q Q PA2020 年三模理科试题 第 4 页 共 8 页
请考生在第 22、23 题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题
目计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.
22.(本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线 的参数方程为 ( 为参数， ).以坐标原点为极点，
以 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系.曲线 的极坐标方程为 ，直线 与曲线
交于 ， 两点.
⑴求曲线 的直角坐标方程和直线 的极坐标方程；
⑵过原点且与直线 垂直的直线 ，交曲线 于 ， 两点，求四边形 面积的最大值.
23.(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲
已知函数 的最小值为 .
⑴求 的值；
⑵若 ，证明： .
m cos
sin
x t
y t
α
α
=
= t 0 α π≤ <
x E 2 +2 cos 3 0ρ ρ θ − = m E
A C
E m
m n E B D ABCD
( ) 2 2 1f x x x= − − + m
m
0a b c m+ + + = 2 2 2 2 4 2 0a b c b c+ + − + + ≥2020 年三模理科试题 第 5 页 共 8 页
合肥市 2020 届高三第三次教学质量检测数学试题(理科)
参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.480 14.-960
15.4 16.①②④⑤
三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分.
17.(本小题满分 12 分)
解:(1) .
由 得， 的值域是 .……………………………5 分
(2)∵ ，∴ ，
由正弦函数的图像可知， 在区间 上恰有两个实数解，必须 ，
解得 . ………………………………12 分
18.(本小题满分 12 分)
解：(1)∵四边形 是菱形，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ 是等边三角形.
∵点 为线段 的中点，∴ .
又∵ ∥ ，∴ .
∵在等边 中， ，
由 ∥ 可得， .
又∵ ，∴ ，
∵ 平面 ，∴平面 ⊥平面 .……………………………5 分
(2)∵ ，平面 ABC⊥平面 ，且交线为 AC，
∴ ，∴直线 ， ， 两两垂直.
以点 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为坐
标轴建立空间直角坐标系，如图，
则 ， ， ， ，
∴ ， ， .
设平面 的一个法向量为 ，
∴ ， ∴ . 令 ， 得
，
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D A C D C B C B D A C A
( ) ( ) ( )1 3cos sin 3 cos sin 2 1 cos22 2f x x x x x xω ω ω ω ω= + = + + 3sin 2 3 2x
πω = + +
1 sin 2 13x
πω − ≤ + ≤
( )f x 3 31 12 2
− +
，
0 x π≤ ≤ 2 23 3 3x
π π πω ωπ≤ + ≤ +
( ) 3
2f x = [ ]0 π， 2 2 33
ππ ωπ π≤ + <
5 4
6 3
ω≤ <
1 1A ACC 1 1AC AC⊥
1 13AC AC= 1 =60ACC∠
1ACC∆
M AC 1C M AC⊥
AC 1 1AC 1 1 1C M AC⊥
ABC∆ BM AC⊥
AC 1 1AC 1 1BM AC⊥
1BM C M M= 1 1 1AC BMC⊥ 平面
1 1AC ⊂ 1 1A BC 1BMC 1 1A BC
BM AC⊥ 1 1A ACC
1 1BM ACC A⊥ 平面 MB MC 1MC
M MB MC 1MC
( )3 0 0B ，， ( )1 0 0 3C ，， ( )1 0 2 3A −， ， ( )0 1 0C ，，
( )1 1 0 2 0AC = ，， ( )1 3 0 3BC = − ，， ( )1 0 1 3CC = − ， ，
1 1A BC ( )n x y z= ，，
1 1
1
0
0
AC n
BC n
⋅ = ⋅ =
0
3 3 0
y
x z
=− + =
1x =
( )1 0 1n = ，，2020 年三模理科试题 第 6 页 共 8 页
∴ ，即点 C 到平面 的距离为 . ………………………………12 分
19.(本小题满分 12 分)
解:(1)由频率分布直方图可得，空气质量指数在(90，110]的天数为 2 天，所以估计空气质量指数在(90，
100]的天数为 1 天，故在这 30 天中空气质量等级属于优或良的天数为 28 天.……………………3 分
(2)①在这 30 天中，乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数共 6 天，
∴ ， ， ，
∴ 的分布列为
∴ . …………………………………8 分
②甲不宜进行户外体育运动的概率为 ，乙不宜进行户外体育运动的概率为 ，
∴ . ………………………………12 分
20.(本小题满分 12 分)
解：(1) .
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时，由 得 ，∴ .
当 时， ，
当 时， .
∴ 在 和 上单调递增，
在 上单调递减.………………………………5 分
(2)由(1)知，当 时， 在 上单调递增，
∴ 在 上单调递增.
当 时， ，即 ，
∴当 时， ，
∴ .
………………………………12 分
21.(本小题满分 12 分)
0 1 2
1 3 6
22
CC n
d
n
⋅
= = =
1 1A BC 6
2
( ) 2
24
2
30
920 145
CP X C
= = = ( ) 1 1
6 24
2
30
481 145
C CP X C
⋅= = = ( ) 2
6
2
30
12 29
CP X C
= = =
X
92 48 1 20 1 2145 145 29 5EX = × + × + × =
1
10
3
10
2
2 1
3 2
1 9 3 7 567
10 10 10 10 50000P C C = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
( ) x xf x e e a−′ = + −
2a ≤ ( ) 2 0x xf x e e a a−′ = + − ≥ − ≥ ( )f x R
2a > ( ) 0f x′ =
2 4
2
x a ae
± −=
2 4ln 2
a ax
± −=
2 24 4ln ln2 2
a a a ax
− − + − ∈ −∞ + ∞ ， ， ( ) 0f x′ >
2 24 4ln ln2 2
a a a ax
− − + − ∈
， ( ) 0f x′ <
( )f x
2 4ln 2
a a − − −∞
，
2 4ln 2
a a + − + ∞
，
2 24 4ln ln2 2
a a a a − − + −
，
2a = ( ) 2x xf x e e x−= − − R
( ) ( ) 1ln 2lng x f x x xx
= = − − ( )0 + ∞，
2n Z n∈ ≥且 1 12ln 1 2ln1 01n nn
− − > − − =
2 1 2lnn nn
− >
2n Z n∈ ≥且 2
1 2 1 1
ln 1 1 1n n n n n
> = −− − +
( )
2
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 21ln 1 3 2 4 1 1 2 1 2 n 1
n
i
n n
i i n n n n n=
− −> − + − + + − = + − − =− + + +∑
X
P
92
145
48
145
1
292020 年三模理科试题 第 7 页 共 8 页
解: 设点 ， ， .
(1)∵直线 经过坐标原点，∴ .
∵ ，∴ .
同理得 .
∴ .
∴直线 与直线 的斜率之积为定值. ……………………………5 分
(2)∵ ，∴ .
设 ，则 .
由 ，得 ，
∴动点 的轨迹方程为 . ……………………………8 分
设直线 与直线 交于点 ，则点 为线段 的中点，且 ，
当 时，∵ ， ，∴ ，
∴直线 的方程为 ，整理得 .
将 代入动点 的轨迹方程得， (※).
将 代入(※)，整理得 .
∵ ，∴直线 与动点 的轨迹相切.
当 时，直线 的方程为 ，∴直线 与动点 的轨迹相切.
综上可知，直线 与动点 的轨迹相切. ……………………………12 分
22.(本小题满分 10 分)
(1)曲线 的直角坐标方程为 ，
直线 的极坐标方程为 ( ). ………………………………5 分
(2)设点 ， 的极坐标分别为 ， .
由 得， ，∴ ， ，
∴ .同理得 .
∵ ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
∴四边形 面积的最大值为 7. ………………………………10 分
23.(本小题满分 10 分)
( )0 0P x y， ( )1 1A x y， ( )2 2B x y，
l 2 1 2 1x x y y= − = −，
0
2
20 14
x y+ = 0
2
2 01 4
xy = −
1
2
2 11 4
xy = −
00 11
0 1
0 1 0 1 0 1
22 22
2 2
0 1 0 1
2 2 2 2 2 2
0 1 0 1
1 1 4 44 4 1
4PA PB
xx xx
y yy y y yk k x x x x x x x x x x
− −− − − −− + ⋅ = ⋅ = = = = −− + − − −
PA PB
0OA OB OP+ + = 2OP OQ= −
( )Q x y， 0
0
2
2
x x
y y
= −
= −
0
2
20 14
x y+ = 2 24 1x y+ =
Q 2 24 1x y+ =
OB PA M M PA 2 2
2 2
x yM − − ，
2 0y ≠ 0
2
20 14
x y+ = 1
2
21 14
x y+ = 1 0 1 0 2
1 0 1 0 2
1
4 4PA
y y x x xk x x y y y
− += = − ⋅ = −− +
PA 2 2 2
22 4 2
y x xy xy
+ = − +
2
2
2
4
x xy y
+= −
2
2
2
4
x xy y
+= − Q ( ) ( )2 2 2 2
2 2 2 24 4 4 1 0x y x x x y+ + + − =
2
22
2 14
x y+ = 2 2
2 24 4 0x x x x+ + =
2 2
2 216 16 0x x∆ = − = PA Q
2 0y = PA 1x = ± PA Q
PA Q
E ( )2 2+1 4x y+ =
m θ α= Rρ ∈
A C ( )1
ρ α， ( )2
ρ α，
2
=
+2 cos 3 0
θ α
ρ ρ θ
− =
2 +2 cos 3 0ρ ρ α − = 1 2 2cosρ ρ α+ = − 1 2 3ρ ρ = −
2
1 2 2 cos 3AC ρ ρ α= − = + 22 sin 3BD α= +
2 2 2 21 2 cos 3 sin 3 cos 3 sin 3 72ABCDS AC BD α α α α= ⋅ = + ⋅ + ≤ + + + =
2 2cos 3 sin 3α α+ = + 3
4 4
π πα = 或
ABCD2020 年三模理科试题 第 8 页 共 8 页
(1) ，
根据函数图象得， 的最小值为-2，
∴ . ………………………………5 分
(2)由(1)知， ，
∴ ，
∴ ，
当且仅当 ， ，即 ， ， 时等号成立，
∴ . ………………………………10 分
( )
3 1
2 2 1 1 3 1 1
3 1
x x
f x x x x x
x x
− < −
= − − + = − − ≤
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