福建省厦门市2020届高三毕业班6月质量检查数学（文科）数学试题（PDF版含答案）

厦门市 2020 届高中毕业班 6 月质量检查 数 学（文） （试卷满分：150 分 考试时间：120 分钟） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题所给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．已知集合  1,2,3A = ，  2B x x=  ，则 RA B =（ ） A． 1 B． 1,2 C． 1,3 D． 2,3 2．已知复数 1z i i= + + （i 为虚数单位），则 z =（ ） A． 1 2i− + B． i21− C． i+− 2 D． 2 i− 3．已知向量 ( )2,1a = ， ( )1,b m= ，且a b⊥ ，则 b =（ ） A． 2 5 B． 4 5 C． 5 D．5 4．已知椭圆 2 2 2 : 1 4 x y C b + = （ 0b ）的一个焦点为 ( )0,1 ，则 =b （ ） A．1 B． 2 C． 3 D． 5 5．已知 2.12=a ， 1.10.5b −= ， 4.04=c ，则（ ） A． abc  B． cab  C． acb  D． cba  6． ABC 内角 A , B , C 的对边分别是a ，b ，c ，已知 CcAbBa cos4coscos −=+ ， 3=a ， 4=c ，则 =b （ ） A． 2 3 B．2 C．3 D． 2 7 7．在数列 }{ na 中， 11 −=a ， 32 −=a ， 32 −=+nnaa ，则 =+ 20202019 aa （ ） A． 4− B． 2− C．2 D．4 8．如图，圆柱 1OO 中， 21 =OO ， 1=OA ， BOOA 1⊥ ，则 AB 与下底面所成角的正切值为 （ ） A．2 B． 2 C． 2 2 D． 2 1 第8 题图 9．已知函数 ( ) ( )Rbabxaexf x += ,2 的图象如图，则（ ） A． 0,0  ba B． 0,0  ba C． 0,0  ba D． 0,0  ba 第9题图 10．我国古代重要建筑的室内上方，通常会在正中部位做出向上凸起的穹窿状装饰，这种装饰称为藻井．北京故宫 博物院内的太和殿上方即有藻井（图1），全称为龙凤角蝉云龙随瓣枋套方八角浑金蟠龙藻井．它展示出精美的装饰 空间和造型艺术，是我国古代丰富文化的体现．从分层构造上来看，太和殿藻井由三层组成：最下层为方井，中为 八角井，上为圆井．图2 是由图1抽象出的平面图形．若在图2 中随机取一点，则此点取自圆内的概率为（ ） 第10题图1 第10题图2 A． 8  B． 8 2 C． 4  D． 4 2 AO B O1 x y O 11．已知函数 ( ) ( )       −= 2 02sin  xxf 在区间       3 0  ， 单调递增，下述三个结论： ①的取值范围是       2 , 6  ； ② ( )xf 在       3 0  ， 存在零点； ③ ( )xf 在 ( )2,0 至多有4 个极值点； 其中所有正确结论的编号是（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 12．已知双曲线 ( )0,01 2 2 2 2 =− ba b y a x 的左、右焦点分别为 21 , FF ，过 2F 的直线交双曲线右支于 BA, 两 点. 21 AFF 的平分线交 1BF 于 D ，若 21 2 1 AFAFAD += ，则双曲线的离心率为（ ） A． 3 B．2 C． 5 D． 6 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5分，共20 分． 13．已知角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴非负半轴重合，终边过点 ( )2,1− ，则 =2cos . 14．某地区中小微企业中，员工人数50人以下的企业占总数的65 %，员工人数 100~50 人的企业占总数的15 %， 员工人数 500~100 人的企业占总数的15 %，员工人数500人及以上的企业占总数的5 %.现在用分层抽样的方式从 中抽取40 个企业调查生产情况，员工人数 500~100 人的企业应抽取的个数为 . 15．曲线 ( ) axxf += 3 在 ( )( )1,1 f 处的切线过原点，则实数 =a . 16．已知四面体 ABCD的所有顶点在球O 的表面上， ⊥AB 平面BCD， 22== CDAB ， = 45CBD ，则球 O 的表面积为 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （一）必考题：共 60 分 17．（本小题满分 12 分）已知等差数列 na 的前n 项和为 nS ， 8 3 4 2, 2 2a S a a= = − ． （1）求数列 na 的通项公式； （2）设 1 2 n n b S = + ，其前n 项和为 nT ，证明 1 2 nT  ． 18．（本小题满分 12 分）如图，四棱锥 P ABCD− 中，四边形 ABCD为正方形， ,E F 分别为 ,DC PB中点． （1）证明：CF PAE∥平面 ； （2）已知 90 2, 2PBC AB PB AP= = = =∠ ， ，求三棱锥F PAE− 的体积． 第18题图 F P A B CED 19．（本小题满分 12 分）2020 年是打赢蓝天保卫战三年行动计划的决胜之年．近年来，在各地各部门共同努力下， 蓝天保卫战各项任务措施稳步推进，取得了积极成效，某学生随机收集了甲城市近两年上半年中各50天的空气质量 指数 ( )AQI ，得到频数分布表如下： 2019 年上半年中50天的 AQI 频数分布表 AQI 的分组  0,50 ( 50,100 ( 100,150 ( 150,200 ( 200,250 天数 7 24 12 6 1 2020 年上半年中50天的 AQI 频数分布表 AQI 的分组  0,50 ( 50,100 ( 100,150 ( 150,200 ( 200,250 天数 12 30 5 2 1 （1）估计2019 年上半年甲城市空气质量优良天数的比例； （2）求2020 年上半年甲城市 AQI 的平均数和标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （精确到0.1） （3）用所学的统计知识，比较2019 年上半年与2020 年上半年甲城市的空气质量情况． 附： AQI 的分组  0,50 ( 50,100 ( 100,150 ( 150,200 ( 200,250 ( )300,+ 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 17 4.123 20．（本小题满分 12 分）已知函数 ( ) ( ) x x a f x a R e + =  在 0x = 处取得极值． （1）求 a ，并求 ( )f x 的单调区间； （2）证明：当 ( )0 , 1,m e x   + 时， 2 ( 1) ln 0xxe m x x− − −  ． 21．（本小题满分 12 分）已知抛物线 2: 2 ( 0)C x py p=  的焦点为F ，过F 作斜率为 k 的直线 l 交C 于 ,A B两点， 以线段 AB 为直径的圆M ．当 0k = 时，圆M 的半径为 2． （1）求C 的方程； （2）已知点 (0,3)D ，对任意的斜率 k ，圆M 上是否总存在点 E 满足OE DE⊥ ，请说明理由． （二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清 题号． 22．【选修 4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，l 的方程为 4x = ，C 的参数方程为 2cos 2 2sin x y   =  = + （ 为参数）．以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系． （1）求 l 和C 的极坐标方程； （2）直线 =  )( , 0, )R    与 l 交于点 A，与C 交于点 B （异于O ），求 OB OA 的最大值． 23．【选修 4-5：不等式选讲】（本小题满分 10 分） 已知函数 ( ) 2 1f x mx m x= − + − 是奇函数． （1）求m ，并解不等式 ( ) 3f x  − ； （2）记 ( )f x 得最大值为M ，若 ,a b R ，且 2 24a b M+  ，证明 5a b+  ．