高一阶段性考试数学试题
2020.4
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的．
1.2100°的弧度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用角度与弧度的互化公式计算即可.
【详解】由题意得 ，
故选 A.
【点睛】本题考查了弧度制的转化，考查了角的表示方法，属于基础题.
2. 是向量 为单位向量的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
由单位向量的定义，即得解
【详解】由单位向量的定义，可知 是向量 为单位向量的充要条件
故选：C
【点睛】本题考查了充要条件的判断，考查了学生概念理解，逻辑推理能力，属于基础题.
3.已知 ， ，则 的最小值为（ ）
A. -1 B. 1 C. 4 D. 7
【答案】B
35π
3 10π 28π
3
25π
3
π 35π2100 =2100 =180 3
×
1e = e
1e = e
3a = 4b = a b+ 【解析】
【分析】
转 化 ， 由
即得解
【详解】由题意：
故
故
故选：B
【点睛】本题考查了利用数量积研究向量的模长，考查了学生转化划归，数学运算的能力，
属于基础题.
4.已知弧度数为 2 的圆心角所对的弦长也是 2，则这个圆心角所对的弧长是（ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】
先由已知条件求出扇形的半径为 ，再结合弧长公式求解即可.
【详解】解：设扇形的半径为 ，
由弧度数为 2 的圆心角所对的弦长也是 2，可得 ，
由弧长公式可得：这个圆心角所对的弧长是 ，
故选：B.
【点睛】本题考查了扇形的弧长公式，重点考查了运算能力，属基础题.
5.（2015 新课标全国Ⅰ文科）已知点 ，向量 ，则向量
A. B.
C. D.
【
2 22 2| | ( ) 2aa b ab ba b+ = + = + ⋅ + 2 2| | 2 | || | cos , | |a a b a b b= + < > +
cos , [ 1,1]a b< >∈ −
0 , 180 cos , [ 1,1]o oa b a b≤< >≤ ∴ < >∈ −
2 22 2| | ( ) 2aa b ab ba b+ = + = + ⋅ +
2 2| | 2 | || | cos , | | 9 24 16 1a a b a b b= + < > + ≥ − + =
| | 1a b+ ≥
2
sin1 2sin1 sin 2
1
sin1
R
1
sin1R =
22 sin1R =
(0,1), (3,2)A B ( 4, 3)AC = − − BC =
( 7, 4)− − (7,4)
( 1,4)− (1,4)【答案】A
【解析】
试题分析： ,选 A.
考点：向量运算
6.下面各组角中，终边相同的是（ ）
A. 390 ，690 B. ，750
C. 480 ， D. 3000 ，
【答案】B
【解析】
【分析】
根据终边相同的角相差 的整数倍可依次判断各个选项得到结果.
【详解】 ， 与 终边不同， 错误
， 与 终边相同， 正确
， 与 终边不同， 错误
， 与 终边不同， 错误
本题正确选项：
【点睛】本题考查终边相同的角的判定，属于基础题.
7.向量 与 不共线， ， ，且 与 共线，则 k，l
应满足（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由 与 共线，故 ，代入可得 ，列出等式方程组，即得
解.
( 3 1) ( 4 3) ( 7 4)BC BA AC= + = − − + − − = − − ， ， ，
° ° 330− ° °
° 420− ° ° 840− °
360
390 360 30= + 690 720 30= − ∴ 390 690 A
330 360 30− = − + 750 720 30= + ∴ 330− 750 B
480 360 120= + 420 360 60− = − − ∴ 480 420− C
3000 2880 120= + 840 720 120− = − − ∴ 3000 840− D
B
a b AB a kb= + ( ),AC la b k l= + ∈ R AB AC
0k l+ = 0k l− = 1 0kl + =
1 0kl − =
AB AC AB ACλ= ( )a kb la bλ+ = + 【详解】由 与 共线，故
即
故 ，可得
故选：D
【点睛】本题考查了向量共线基本定理，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题.
8.设 α 是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且 cos α＝ x，则 tan α＝（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由 ，可求得 的值，利用正切函数的定义即可得到结果.
【详解】 ,
因为 是第二象限角, ,
,解得 ,
又 是第二象限角, ,
，故选 A.
【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力,属
于基础题.
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选
项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的
得 0 分．
9.设 P 是 所在平面内的一点， 则（ ）
A. B.
C. D.
AB AC AB ACλ=
( )a kb la bλ+ = +
1 l
k
λ
λ
=
= 1 0kl − =
1
5
4
3
− 3
4
4
3
3
4
−
2 2
1cos 54
x x
x
α = =
+ x
2 2
1cos 54
x x
x
α = =
+
α 0x∴ ≠
2 16 5x∴ + = 3x = ±
α 3x∴ = −
4 4tan 3 3
α∴ = = −−
ABC 3AB AC AP+ =
0PA PB+ = 0PB PC+ =
PA AB PB+ = 0PA PB PC+ + = 【答案】CD
【解析】
【分析】
转化 为 ，移项运算即得解
【详解】由题意：
故
即
,
故选：CD
【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属
于基础题.
10.下列化简正确 是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】
利用诱导公式，及 ，依次分析即得解
详解】利用诱导公式，及
A 选项： ，故 A 正确；
B 选项： ，故 B 正确；
C 选项： ，故 C 不正确；
的
【
3AB AC AP+ = ( ) )(AB AP AC AP AP+ =− −
3AB AC AP+ =
( ) )(AB AP AC AP AP+ =− −
PB PC AP+ =
0CPA PB P++ =∴ PA AB PB+ =
( )tan π 1 tan1+ =
( )
( )
sin cos
tan 360
α α
α
− =
−
( )
( )
sin π tancos π
α αα
− =+
( ) ( )
( )
cos π tan π 1sin 2π
α α
α
− − − =−
sintan cos
αα α=
sintan cos
αα α=
tan( 1) tan1π + =
sin( ) sin sin cossintan(360 ) tan
cos
o
α α α ααα α
α
− −= = =− −
sin( ) sin tancos( ) cos
π α α απ α α
− = = −+ −D 选项： ，故 D 不正确
故选：AB
【点睛】本题考查了诱导公式和同角三角函数关系的应用，考查了学生概念理解，转化划归，
数学运算能力，属于基础题.
11.已知向量 ， ， ，若点 A，B，C 能构成三角形，
则实数 t 可以为（ ）
A. -2 B. C. 1 D. -1
【答案】ABD
【解析】
【分析】
若点 A，B，C 能构成三角形，故 A，B，C 三点不共线，即向量 不共线，计算两个向
量的坐标，由向量共线的坐标表示，即得解
【详解】若点 A，B，C 能构成三角形，故 A，B，C 三点不共线，则向量 不共线，
由于向量 ， ， ，
故 ，
若 A，B，C 三点不共线，则
故选：ABD
【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示，考查了学生转化划归，概念理解，数学运算能力，
属于中档题.
12.将函数 的图像 F 向左平移 个单位长度后得到图像 ，若 的一个对称中
心为 ，则 的取值可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】
sincoscos( ) tan( ) cos ( tan ) cos 1sin(2 ) sin sin
ααπ α π α α α α
π α α α
⋅− − − − ⋅ −= = − = −− −
( )1, 3OA = − ( )2,1OB = − ( )3, 8OC t t= + −
1
2
,AB BC
,AB BC
( )1, 3OA = − ( )2,1OB = − ( )3, 8OC t t= + −
( 3,4)AB OB OA= − = − ( 5, 9)BC OC OB t t= − = + −
3( 9) 4( 5) 0 1t t t− − − + ≠ ∴ ≠
( )siny x ϕ= + π
6 F′ F′
π ,04
ϕ
π
12
5π
12
− 5π
6
7π
12由平移变换得到图像 的解析式，由 的一个对称中心为 ，得到 ，
即得解
【详解】由题意函数 向左平移 个单位长度后为 ，
若 的一个对称中心为 ，
故
即
故选：BD
【点睛】本题考查了三角函数图像变换和三角函数的对称中心，考查了学生综合分析，转化
划归，数学运算能力，属于中档题.
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13.已知 ， ，实数 x，y 满足等式 ，则 ________．
【答案】1
【解析】
【分析】
先由 ， ，计算 的坐标，再由 ，计算 x,y，即得解
【详解】由于 ， ，
故
故
则
故答案为：1
【点睛】本题考查了向量线性运算的坐标表示，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于
基础题.
F′ F′ π ,04
5 ,12k k Z
πϕ π= − ∈
( )siny x ϕ= + π
6 sin( )6y x
π ϕ= + +
F′ π ,04
sin( ) 04 6 4 6 k
π π π πϕ ϕ π+ + = ∴ + + =
5 ,12k k Z
πϕ π= − ∈
( )1,2a = ( )2,3b = ( )3,4xa yb+ = x y+ =
( )1,2a = ( )2,3b = xa yb+ ( )3,4xa yb+ =
( )1,2a = ( )2,3b =
xa yb+ ( 2 ,2 3 ) (3,4)x y x y= + + =
2 3 1, 22 3 4
x y x yx y
+ = ∴ = − = + =
1x y+ =14.化简： ________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用诱导公式化简，即得解
【详解】由诱导公式：
故答案为：
【点睛】本题考查了诱导公式的应用，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题.
15.如图所示，把一个物体放在倾斜角为 30°的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作
用，即重力 G，沿着斜面向上的摩擦力 ，垂直斜面向上的弹力 ．已知 ，则 G
的大小为________， 的大小为________．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
由向量分解的平行四边形法则，可得 ，即得解.
【详解】
如图，由向量分解的平行四边形法则，
( ) 3πsin 7π cos 2
α α − − ⋅ − =
2sin α−
( ) 3πsin 7π cos 2
α α − − ⋅ −
2sin ( sin ) sinα α α= ⋅ − = −
2sin α−
1F 2F 1 80NF =
2F
160N 80 3N
1 2| | | |sin30 , cos30| | | |
o oF F
G G
= =
计算可得：
故答案为：
【点睛】本题考查了向量的平行四边形法则在力的分解中的应用，考查了学生数学应用，综
合分析，数学运算能力，属于基础题.
16.若一个函数同时具有：（1）最小正周期为 ，（2）图像关于直线 对称．请列举一个
满足以上两条件的函数________（答案不唯一，列举一个即可）．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意（1） ；（2） 取最大值或最小值，分析即得解.
【详解】由题意（1） ；（2） 取最大值或最小值
故满足条件的一个函数可以为： （不唯一）
故答案为： （不唯一）
【点睛】本题考查了由三角函数的性质确定解析式，考查了学生综合分析，转化划归，数学
运算能力，属于中档题.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．
17.已知 cos（ θ） ，求
的值
【答案】8
【解析】
【分析】
1 2| | | |sin30 , cos30| | | |
o oF F
G G
= =
2160 , 80 3G N F N= =
160 ,80 3N N
π π
3x =
πsin 2 6y x = −
2T w
π π= = ( )3f
π
2T w
π π= = ( )3f
π
πsin 2 6y x = −
πsin 2 6y x = −
2
π + 1
2
=
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
3 4
2 31
cos cos
cos cos coscos cos
π θ θ π
θ π π θ θθ π θ
+ −+ + + + − + − 利用诱导公式化简求解.
详解】∵cos（ θ）＝﹣sinθ ，
∴sinθ ，
，
= ，
8.
【点睛】本题主要考查了诱导公式和基本关系化简求值，还考查了运算求解的能力，属于中
档题.
18.已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 ， ， ，且 A，B，C，D 按逆
时针方向排列，求：
（1）AB，BC；
（2）C 点的坐标．
【答案】（1） ， ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由两点间距离公式，及平行四边形对边相等 性质，即得解；
（2）利用 ，即 ，即得解
【详解】（1）由两点距离公式得 ．
又因为 ，
所以 ．
（2）由题意知， ，所以 ，
因此， ，
从而 ．
【
的
2
π + 1
2
=
1
2
= −
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
cos 3 cos 4
cos 2 cos 3 cos1cos cos
π θ θ π
θ π π θ θθ π θ
+ −∴ + + + + − + −
[ ] ( )1
cos cos
cos cos cos cos cos
θ θ
θ θ θ θ θ
− +− − − +
2
2
1 1 2 2
11 1 ( )2
cos cos sinθ θ θ= + = = =+ − −
( )2,1A − ( )2,2B ( )1,3D −
17AB = 5BC = ( )3,4C
AB DC= OB OA OC OD− = −
( ) ( )2 22 2 2 1 17AB = − − + − =
BC AD=
( ) ( )2 22 1 3 1 5BC AD = = − − − + − =
AB DC= OB OA OC OD− = −
( ) ( ) ( ) ( )1,3 2,2 2,1 3,4OC OD OB OA= + − = − + − − =
( )3,4C【点睛】本题考查了向量在几何中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能
力，属于基础题.
19.设函数 ，其中 ．若 ．
（1）求 ；
（2）将函数 的图像上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），再将得到的
图像向左平移 个单位，得到函数 的图像，求 在 上的最小值．
【答案】（1）2；（2） .
【解析】
【分析】
（1）代入 ，结合 ，即得解；
（2）由平移变换，得到 ，又 ，结合正弦函数性质
即得解.
【详解】（1）因为 ，且 ，
所以 ， ．
故 ， ．又 ，所以 ．
（2）由（1）得 ，
所以 ．
因为 ，所以 ，
当 ，即 时， 取得最小值 ．
【点睛】本题考查了正弦函数的图像变换及性质，考查了学生综合分析，转化划归，数学运
( ) π3sin 3f x xω = − 0 3ω< < π 06f =
ω
( )y f x=
π
4
( )y g x= ( )g x π 3π,4 4
−
3
2
−
π 06f = 0 3ω< <
( ) π3sin 12g x x = −
π π 2π,12 3 3x − ∈ −
( ) π3sin 3f x xω = −
π 06f =
π π π6 3 k
ω − = Zk ∈
6 2kω = + Zk ∈ 0 3ω< < 2ω =
( ) π3sin 2 3f x x = −
( ) π π π3sin 3sin4 3 12g x x x = + − = −
π 3π,4 4x ∈ −
π π 2π,12 3 3x − ∈ −
π π
12 3x − = − π
4x = − ( )g x 3
2
−算能力，属于中档题.
20.如图，在平面直角坐标系中， ， ， ．
（1）求点 B，C 的坐标；
（2）求证：四边形 OABC 为等腰梯形．
【答案】（1） ， ；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）先求解 B 点坐标，再利用 ，即得解；
（2）利用 坐标，可得 ，分析即得解
【详解】（1）设 ，则 ，
，
∴ ，
∴ ， ．
（2）证明：连接 OC．∵ ， ，
∴ ，∴ ．
又 ， ，
∴四边形 OABC 为等腰梯形．
【点睛】本题考查了向量在几何中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能
2 2OA AB= = 2π
3OAB∠ = ( )1, 3BC = −
5 3,2 2B
3 3 3,2 2C
OC OB BC= +
OC AB ， 3OC AB=
( ),B BB x y ( ) 5cos π 2Bx OA AB OAB= + ⋅ − ∠ =
( ) 3sin π 2By AB OAB= ⋅ − ∠ =
( )5 3 3 3 3, 1, 3 ,2 2 2 2OC OB BC
= + = + − =
5 3,2 2B
3 3 3,2 2C
3 3 3,2 2OC
=
1 3,2 2AB
=
3OC AB= //OC AB
OC AB≠ 2OA BC= = 力，属于中档题.
21.如图，函数 ， 其中 的图象与 y 轴交于点 ．
（1）求 的值；
（2）求函数 的单调递增区间；
（3）求使 的 x 的集合．
【答案】（1） ,（2） ， ,（3）
【解析】
【分析】
（1）由函数图像过定点，代入运算即可得解；
（2）由三角函数的单调增区间的求法求解即可；
（3）由 ，求解不等式 即可得解.
【详解】解：（1）因为函数图象过点 ，
所以 ，即 ．因为 ，所以 ．
（2）由（1）得 ，
所以当 ， ，
即 ， 时，
是增函数，故 的单调递增区间为 ，
．
2sin( )y xπ ϕ= + x∈R 0 2
πϕ≤ ≤ (0,1)
ϕ
2sin( )y= xπ ϕ+
1y ≥
6
π
2
2 12 23 3k k − + + k ∈Z 2| 2 2 ,3x k x k k ≤ ≤ + ≡ Z
1y ≥ 1sin 6 2x
ππ + ≥
(0,1)
2sin 1=ϕ 1sin 2
ϕ = 0 2
πϕ≤ ≤
6
π=ϕ
2sin 6y x
ππ = +
2 22 6 2k x k
π π ππ π π− + ≤ + ≤ + k Z∈
2 12 23 3k x k− + ≤ ≤ + k Z∈
2sin 6y x
ππ = + 2sin 6y x
ππ = +
2 12 , 23 3k k − + +
k Z∈（3）由 ，得 ，
所以 ， ，
即 ， ，
所以 时，x 的集合为 ．
【点睛】本题考查了利用函数图像的性质求解函数解析式，重点考查了三角函数单调区间的
求法及解三角不等式，属基础题.
22.如图所示，在 中， ， ，AD 与 BC 相交于点 M．设 ，
．
（1）试用向量 ， 表示 ；
（2）在线段 AC 上取点 E，在线段 BD 上取点 F，使 EF 过点 M．设 ，
，其中 ．当 EF 与 AD 重合时， ， ，此时 ；当 EF
与 BC 重合时， ， ，此时 ；能否由此得出一般结论：不论 E，F 在线段
AC，BD 上如何变动，等式 恒成立，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）能得出结论，理由详见解析.
【解析】
【分析】
（ 1 ） 设 ， ， 可 得 ，
1y ≥ 1sin 6 2x
ππ + ≥
52 26 6 6k x k
π π ππ π π+ ≤ + ≤ + k Z∈
22 23k x k≤ ≤ + k Z∈
1y ≥ 2| 2 2 ,3x k x k k Z ≤ ≤ + ∈
ABO
1= 3OC OA 1
2OD OB= OA a=
OB b=
a b OM
OE OAλ=
OF OBµ= , Rλ µ ∈ 1λ = 1
2
µ = 1 2+ 5λ µ =
1
3
λ = 1µ = 1 2 5λ µ+ =
1 2 5λ µ+ =
1 2
5 5OM a b= +
AM MDα= CM MBβ= ( )
1
1 2 1OM a b
α
α α= ++ +
，联立可解得 ， ；
（2）设 ，可得 ，又 ， ，故
，即 ，即得解
【详解】（1）设 ，由 A，D，B 三点共线，
可知存在 （ ，且 ）使得 ，
则 ，又 ，
所以 ，
∴ ，即 ①，
由 B，C，M 三点共线，
可知存在 （ ，且 ）使得 ，
则 ，又 ，
所以 ，
∴ 即 ②
由①②得 ， ，故 ．
（2）能得出结论．
理由：由于 E，M，F 三点共线，
则存在实数 （ ，且 ），使得 ，
( )
1
3 1 1OM a b
β
β β= ++ +
1
5m = 2
5n =
EM MFγ=
1
OE OFOM
γ
γ
+= +
OE OAλ= OF OBµ=
1 1OM a b
λ µγ
γ γ= ++ +
1 2
5 5 1 1a b a b
λ µγ
γ γ+ = ++ +
( )R, ROM ma nb m n= + ∈ ∈
α Rα ∈ 1a ≠ − AM MDα=
( )OM OA OD OMα− = − 1
2OD OB=
( )
1
1 2 1OM a b
α
α α= ++ +
( )
1
1
2 1
m
n
α
α
α
= +
= +
2 1m n+ =
β Rβ ∈ 1β ≠ − CM MBβ=
( )OM OC OB OMβ− = − 1
3OC OA=
( )
1
3 1 1OM a b
β
β β= ++ +
( )
1
4 1
1
m
n
β
β
β
= +
= +
3 1m n+ =
1
5m = 2
5n = 1 2
5 5OM a b= +
γ Rγ ∈ 1γ ≠ − EM MFγ= 于是 ，
又 ， ，
所以 ，
所以 ，
从而 ，所以消去 得 ．
【点睛】本题考查了向量的线性运算综合问题，考查了向量共线基本定理的应用，考查了学
生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于较难题.
1
OE OFOM
γ
γ
+= +
OE OAγ= OF OBµ=
1 1 1
OA OBOM a b
γ µγ λ µγ
γ γ γ
+= = ++ + +
1 2
5 5 1 1a b a b
λ µγ
γ γ+ = ++ +
1
5 1
2
5 1
λ
γ
µγ
γ
= +
= +
γ 1 2 5λ µ+ =
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