高一数学期中试题
1.已知角 的终边经过点 ，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角函数 定义，求出 ，即可得到 的值．
【详解】因为 ， ，所以 ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查已知角终边上一点，利用三角函数定义求三角函数值，属于基础题．
2.设两个单位向量 的夹角为 ，则 （ ）
A. 1 B. C. D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】
由 ，然后用数量积的定义，将 的模长和夹角代入即可求解.
【详解】 ，
即 .
故选：B
【点睛】本题考查向量的模长，向量的数量积的运算，属于基础题.
3.在 中，内角 所对的边分别为 .若 ,则角 的
值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
的
θ ( 1,3)P − cosθ =
10
10
− 1
3
− 3− 3 10
10
OP cosθ
1, 3x y= − = 2 21 3 10r OP= = + = 1 10cos 1010
x
r
θ −= = = −
a b ， 2
3
π 3 4a b+ =
13 37
2 2 2
3 4 9 +24 +16a b a a b b+ = ⋅ a b ，
2 2 2 23 4 9 +24 +16 =9+24cos 16 133a b a a b b
π+ = ⋅ + =
3 4 13a b+ =
ABC , ,A B C , ,a b c cos cos sinb C c B a A+ = A
3
π
6
π
2
π 2
3
π【分析】
根据正弦定理将边化角，可得 ，由 可求得 ，根
据 的范围求得结果.
【详解】由正弦定理得：
本题正确选项：
【点睛】本题考查正弦定理边角互化的应用，涉及到两角和差正弦公式、三角形内角和、诱
导公式的应用，属于基础题.
4.已知 D，E 是 边 BC 的三等分点，点 P 在线段 DE 上，若 ，则 xy
的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用已知条件推出 x+y＝1，然后利用 x，y 的范围，利用基本不等式求解 xy 的最值．
【详解】解：D，E 是 边 BC 的三等分点，点 P 在线段 DE 上，若 ，
可得 ，x， ，
则 ，当且仅当 时取等号，并且 ，函数的
开口向下，
对称轴为： ，当 或 时，取最小值，xy 的最小值为： ．则 xy 的取值范围
是：
故选 D．
( ) 2sin sinB C A+ = ( )sin sinB C A+ = sin A
A
( ) 2sin cos sin cos sin sinB C C B B C A+ = + =
A B C π+ + = ( ) ( )sin sin sinB C A Aπ∴ + = − =
( )0,A π∈ sin 0A∴ ≠ sin 1A∴ =
2A
π∴ =
C
ABC AP xAB yAC= +
( )
1 4,9 9
1 1,9 4
2 1,9 2
2 1,9 4
ABC AP xAB yAC= +
x y 1+ = 1 2y ,3 3
∈
2x y 1xy ( )2 4
+≤ = 1x y 2
= = ( ) 2xy x 1 x x x= − = −
1x 2
= 1x 3
= 2x 3
= 2
9
2 1, .9 4
【点睛】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．
5.已知 ， 是奇函数，直线 与
函数 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为 ，则（ ）
A. 在 上单调递减 B. 在 上单调递减
C. 在 上单调递增 D. 在 上单调递增
【答案】A
【解析】
【分析】
首先整理函数的解析式为 ，由函数为奇函数可得 ，由
最小正周期公式可得 ，结合三角函数的性质考查函数在给定区间的单调性即可.
【详解】由函数的解析式可得： ，
函数为奇函数，则当 时： .令 可得 .
因为直线 与函数 的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为
结合最小正周期公式可得： ，解得： .
故函数的解析式为： .
当 时， ，函数在所给区间内单调递减；
当 时， ，函数在所给区间内不具有单调性；
据此可知，只有选项 A 的说法正确.
故选 A.
【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用，考查了三角函数的周期性、单调性，三角函数解
析式的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
( ) ( ) ( )sin cos , 0 2f x x x
πω ϕ ω ϕ ω ϕ= + + + ＞ ， ＜ ( )f x 2y =
( )f x
2
π
( )f x 3,8 8
π π
( )f x 0, 4
π
( )f x 0, 4
π
( )f x 3,8 8
π π
( ) 2 sin 4f x x
πω ϕ = + + 4
πϕ = −
4ω =
( ) 2 sin 4f x x
πω ϕ = + +
0x = ( )
4 k k Z
πϕ π+ = ∈ 0k =
4
πϕ = −
2y = ( )f x
2
π
2
2
π π
ω = 4ω =
( ) 2 sin 4f x x=
3,8 8x
π π ∈
34 ,2 2x
π π ∈
0, 4x
π ∈
( )4 0,x π∈6.在 中， ， ， 是边 的中点. 为 所在平面内一点且满
足 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平面向量基本定理可知 ，将所求数量积化为 ；
由模长的等量关系可知 和 为等腰三角形，根据三线合一的特点可将 和
化为 和 ，代入可求得结果.
【详解】 为 中点
和 为等腰三角形
，同理可得：
本题正确选项：
【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用模长的等量关系得到等腰三角形，
从而将含夹角的运算转化为已知模长的向量的运算.
7.在 中，角 ， ， 所对的边为 ， ， ，且 为锐角，若 ，
， ，则 （ ）
ABC∆ 2AB = 2AC = E BC O ABC∆
2 2 2
OA OB OC= = ·AE AO
1
2 1 2
2
3
2
( )1
2AE AB AC= + 1 1
2 2AB AO AC AO⋅ + ⋅
AOB∆ AOC∆ AB AO⋅
AC AO⋅ 21
2 AB 21
2 AC
E BC ( )1
2AE AB AC∴ = +
( )1 1 1
2 2 2AE AO AB AC AO AB AO AC AO∴ ⋅ = + ⋅ = ⋅ + ⋅
2 2 2
OA OB OC= =
AOB∴∆ AOC∆
21 1cos 2 2AB AO AB AO OAB AB AB AB∴ ⋅ = ∠ = ⋅ = 21
2AC AO AC⋅ =
2 21 1 1 314 4 2 2AE AO AB AC∴ ⋅ = + = + =
D
ABC A B C a b c B sin 5
sin 2
A c
B b
=
7sin 4B = 5 7
4ABCS =△ b =A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用正弦定理化简 ，再利用三角形面积公式，即可得到 ，由 ，求
得 ，最后利用余弦定理即可得到答案．
【详解】由于 ，有正弦定理可得： ，即
由于在 中， ， ，所以 ，
联立 ，解得： ，
由于 为锐角，且 ，所以
所以在 中，由余弦定理可得： ，故 （负数舍去）
故答案选 D
【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，以及面积公式在三角形求边长中的应用，属于中档
题．
8.已知 是边长为 4 的等边三角形， 为平面 内一点，则 的最小
值是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，利用向量坐标运算和平面向量的数量积的运算，求
2 3 2 7 15 14
sin 5
sin 2
A c
B b
= ,a c 7sin 4B =
cos B
sin 5
sin 2
A c
B b
= 5
2
a c
b b
= 5
2a c=
ABC
7sin 4B = 5 7
4ABCS =△
1 5 7sin2 4ABCS ac B= =
5
2
1 5 7sin2 4
7sin 4
a c
ac B
B
=
=
=
5a = 2c =
B 7sin 4B = 2 3cos 1 sin 4B B= − =
ABC 2 2 2 2 cos 14b a c ac B= + − = 14b =
ABC∆ P ABC •( )PA PB PC+
6− 3− 4− 2−得最小值，即可求解.
【详解】由题意，以 中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，
则 ，
设 ，则 ，
所以
，
所以当 时， 取得最小值为 ，
故选 A.
【点睛】
本题主要考查了平面向量数量积的应用问题，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解答的关
键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
二、多选题
9.已知 ，如下四个结论正确的是（ ）
A. ； B. 四边形 为平行四边形；
C. 与 夹角的余弦值为 ； D.
【答案】BD
【解析】
【分析】
求出向量 坐标，再利用向量的数量积、向量共线以及向量模的坐标表示即
可一一判断.
【详解】由 ，
BC
(0,2 3), ( 2,0), (2,0)A B C−
( , )P x y ( ,2 3 ), ( 2 , ), (2 , )PA x y PB x y PC x y= − − = − − − = − −
2 2( ) ( 2 ) (2 3 ) ( 2 ) 2 4 3 2PA PB PC x x y y x y y• + = − ⋅ − + − ⋅ − = − +
2 22[ ( 3) 3]x y= + − −
0, 3x y= = ( )PA PB PC• + 2 ( 3) 6× − = −
(2,4), (4,1), (9,5), (7,8)A B C D
AB AC ⊥ ABCD
AC BD 7 29
145
85AB AC+ =
, , ,AB AC DC BD
(2,4), (4,1), (9,5), (7,8)A B C D所以 ， ， ， ,
对于 A， ，故 A 错误；
对于 B，由 ， ，则 ，
即 与 平行且相等，故 B 正确；
对于 C， ，故 C 错误；
对于 D， ，故 D 正确；
故选：BD
【点睛】本题考查了向量的坐标运算、向量的数量积、向量模的坐标表示，属于基础题.
10.下列各式中，值为 的是（ ）
A. B. C.
D. E.
【答案】BCE
【解析】
【分析】
利用二倍角公式计算可得.
【详解】解： 不符合， ；
符合， ；
符合， ；
不符合， ；
符合， ．
故选： ．
( )2, 3AB = − ( )7,1AC = ( )2, 3DC = − ( )3,7BD =
14 3 11 0AB AC⋅ = − = ≠
( )2, 3AB = − ( )2, 3DC = − AB DC=
AB DC
21 7 14 29cos , 14550 9 49
AC BDAC BD
AC BD
⋅ += = =
× +
( )| | 9, 2 85AB AC+ = − =
3
2
2sin15 cos15° ° 2 2cos 15 sin 15° °− 21 2sin 15°−
2 2sin 15 cos 15° °+ 2
3tan15
1 tan 15
°
°−
A 12sin15 cos15 sin30 2
° ° °= =
B 2 2 3cos 15 sin 15 cos30 2
° ° °− = =
C 2 31 2sin 15 cos30 2
° °− = =
D 2 2sin 15 cos 15 1° °+ =
E 2 2
3tan15 3 2tan15 3 3tan301 tan 15 2 1 tan 15 2 2
° °
°
° °= ⋅ = ⋅ =− −
BCE【点睛】本题考查二倍角公式的应用，特殊角的三角函数值，属于基础题.
11.已知 的内角 所对的边分别为 ，下列四个命题中正确的命题是（ ）
A. 若 ，则 一定是等边三角形
B. 若 ，则 一定是等腰三角形
C. 若 ，则 一定是等腰三角形
D. 若 ，则 一定是锐角三角形
【答案】AC
【解析】
【分析】
利 用 正 弦 定 理 可 得 ， 可 判 断 ； 由 正 弦 定 理 可 得
，可判断 ；由正弦定理与诱导公式可得 ，
可判断 ；由余弦定理可得角 为锐角，角 不一定是锐角，可判断 .
【 详 解 】 由 ， 利 用 正 弦 定 理 可 得 ， 即
， 是等边三角形， 正确；
由正弦定理可得 ， 或 ，
是等腰或直角三角形， 不正确；
由正弦定理可得 ，即 ，
则 等腰三角形， 正确；
由正弦定理可得 ，角 为锐角，角 不一定是锐角， 不正确，
故选 AC.
【点睛】本题主要考查正弦定理与余弦定理的应用，以及三角形形状的判断，属于中档题. 判
断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三
角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，
求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三
角形.
ABC∆ , ,A B C , ,a b c
cos cos cos
a b c
A B C
= = ABC∆
cos cosa A b B= ABC∆
cos cosb C c B b+ = ABC∆
2 2 2 0a b c+ − > ABC∆
tan tan tan ,A B C A B C= = = = A
2 2sin A sin B= B ( )sin sin ,sin sinB C B A B+ = =
C C ,A B D
cos cos cos
a b c
A B C
= = sin sin sin
cos cos cos
A B C
A B C
= =
tan tan tan ,A B C A B C= = = = ABC∆ A
sin cos sin cos sin 2 sin 2A A B B A B= ⇒ = 2 2A B= 2 2A B π+ =
ABC∆ B
sin cos sin cos sinB C C B B+ = ( )sin sin ,sin sinB C B A B+ = =
,A B ABC= ∆ C
2 2 2
cos 02
a b cC ab
+ −= > C ,A B D12.已知函数 ，则下面结论正确的是（ ）
A. 为偶函数 B. 的最小正周期为
C. 的最大值为 2 D. 在 上单调递增
【答案】ABD
【解析】
【分析】
首先将 化简为 ，选项 A， 的定义域为 ， ，故
A 正确。根据 的周期和最值可判断 B 正确，C 不正确。根据 可判定 D 正确。
【详解】 ，
选项 A， 的定义域为 ，
，故 A 正确。
B 选项， 的最小正周期为 ，故 B 正确。
C 选项， ，故 C 不正确。
D 选项， 由 的图像，
由图可知： 在 上单调递增，故 D 正确。
故选 ABD
【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性和周期性，同时考查三角函数最值和单调区间，属
于中档题。
( ) sin cosf x x x= +
( )f x ( )f x
2
π
( )f x ( )f x 3
2 4
π π
，
( )f x ( ) 1 sin 2f x x= + ( )f x R ( ) ( )f x f x− =
( )f x sin 2y x=
2 2( ) sin cos 2 sin cos 1 sin 2f x x x x x x= + + = +
( )f x R
( ) 1 sin( 2 ) 1 sin2 ( )f x x x f x− = + − = + =
( )f x
2
π π
ω =
max ( ) 1 1 2 2f x = + = ≠
sin 2y x=
( ) 1 sin 2f x x= + [ 2 4 ]3π π，三、填空题
13.在 中，角 所对的边分别为 .若
,，则角 的大小为____________________.
【答案】
【解析】
本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求角以及正弦定理，考查了同学们解决三角形问
题的能力．由 得 ，所以
由正弦定理 得 ，所以 A= 或 （舍去）、
14.已知 ，则 ________
【答案】
【解析】
【分析】
利用诱导公式化简已知条件，求得 值，利用“1”的代换的方法将所求表达转化为只
含 的式子，由此求得表达式的值.
【 详 解 】 由 得 ， 故 . 所 以
， 分 子 分 母 同 时 除 以 得
.
故答案为 .
【点睛】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式，考查“1”的代换以及齐次
式的计算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
15.已知函数 ，若对任意 都有 （ ）
成立，则 的最小值为__________．
【答案】
的
ABC∆ A B C、 、 a b c、 、 2, 2,a b= =
sin cos 2B B+ = A
6
π
sin cos 2 sin( ) 24B B B
π+ = + = sin( ) 14B
π+ =
4B
π=
sin sin
a b
A B
= 2.sinsin 14sin 2 2
a BA b
π
= = = 6
π 5
6
π
3sin( ) 2cos( ) sin2
π α π α α− + − = 2sin sin cosα α α− =
6
5
tanα
tanα
3sin( ) 2cos( ) sin2
π α π α α− + − = sin 3cosα α= − tan 3α = −
2sin sin cosα α α− =
2
2 2
sin sin cos
sin cos
α α α
α α
−
+
2cos α
2
2
tan tan 9 3 6
tan 1 9 1 5
α α
α
− += =+ +
6
5
( ) 2sin( )4 6
xf x
π= + x∈R 1 2( ) ( ) ( )f x f x f x≤ ≤ 1 2,x x R∈
1 2x x−
4π【解析】
【分析】
根据 和 的取值特点，判断出两个值都是最值，然后根据图象去确定 最小
值.
【详解】因为 对任意 成立，所以 取最小值， 取最大
值；
取最小值时， 与 必为同一周期内的最小值和最大值的对应的 ，则
，且 ，故 .
【点睛】任何一个函数 ，若有 对任何 定义域成立，此时必有：
， .
16.设非零向量 ， 的夹角为 ，记 ，若 ， 均为单位向量，
且 ，则向量 与 的夹角为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意得到 ， ，再根据向量点
积的公式得到向量夹角即可.
【详解】由题设知，若向量 ， 的夹角为 ，则 ， 的夹角为 .由题意可得
，
，
.
1( )f x 2( )f x 1 2x x−
1 2( ) ( ) ( )f x f x f x≤ ≤ x∈R 1( )f x 2( )f x
1 2x x− 1x 2x x
1 2 min 2
Tx x− = 2 8| |T
π
ω= = 1 2 min 4x x− =
( )f x 1 2( ) ( ) ( )f x f x f x≤ ≤ x∈
1( ) minf x = 2( ) maxf x =
a b θ ( , ) cos sinf a b a bθ θ= − 1e
2e
1 2
3
2e e⋅ =
1 2( , )f e e
2 1( , )f e e−
2
π
1 2 1 2( , ) cos sinf e e e eθ θ= −
2 1( , )f e e−
1 2sin cose eθ θ= −
1e
2e θ 2e
1e− π θ−
1 2 1 2( , ) cos sinf e e e eθ θ= −
2 1 2 1( , ) cos( ) sin( )f e e e eπ θ π θ− = − + −
1 2sin cose eθ θ= −
1 2 2 1 1 2 1 2( , ) ( , ) ( cos sin ) ( sin cos )f e e f e e e e e eθ θ θ θ⋅ − = − ⋅ −
2 2 2 2
1 1 2 1 2 2cos sin cos sin cos sine e e e e eθ θ θ θ θ θ= − ⋅ − ⋅ + 32sin cos 2
θ θ= −∵ ， ， ， ，向量
与 的夹角为 .
故答案为 .
【点睛】这个题目考查了向量数量积的应用，以及向量夹角的求法，平面向量数量积公式有
两种形式，一是 ，二是 ，主要应用以下几个方面:(1)求向
量的夹角， （此时 往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投
影是 ；（3） 向量垂直则 ;(4)求向量 的模（平方后需求 ）.
四、解答题
17.设两个非零向量 与 不共线，
（1）若 ， ， ，求证： 三点共线；
（2）试确定实数 ，使 和 同向.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）根据向量的运算可得 ，再根据平面向量共线基本定理即可证明 三点
共线；
（2）根据平面向量共线基本定理，可设 ，由向量相等条件可得关于 和
的方程组，解方程组并由 的条件确定实数 的值.
【详解】（1）证明：因为 ， ， ，
所以 .
1 2
3
2e e⋅ = 3cos 2
θ = 1sin 2
θ = 3 1 3 32sin cos 2 02 2 2 2
θ θ − = × × − =
1 2( , )f e e
2 1( , )f e e−
2
π
2
π
cosa b a b θ⋅ = 1 2 1 2a b x x y y⋅ = +
·cos
·
a b
a b
θ =
·a b a b
a b
b
⋅
,a b 0a b⋅ = ma nb+ a b⋅
a b
AB a b= + 2 8BC a b= + 3( )CD a b= − , ,A B D
k ka b+ a kb+
1k =
5BD AB= , ,A B D
( )ka b a kbλ+ = + λ k
0λ > k
AB a b= + 2 8BC a b= + 3( )CD a b= −
2 8 3( ) 2 8 3 3 5( ) 5BD BC CD a b a b a b a b a b AB= + = + + − = + + − = + = 所以 共线，
又因为它们有公共点 ，
所以 三点共线.
（2）因为 与 同向，
所以存在实数 ，使 ，
即 .
所以 .
因为 是不共线的两个非零向量，
所以
解得 或
又因为 ，
所以 .
【点睛】本题考查了平面向量共线定理的应用，三点共线的向量证明方法应用，属于基础题.
18.在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 .
（1）求 的值；
（2）若 ， 边上的中线 ，求 的面积.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
分析】
（1）对题中等式 应用正弦定理化简后即可求出角 ；
（2）首先根据余弦定理和中线 求出边 ，再根据三角形面积公式求出三角形面积
即可.
【详解】（1）∵ ，
【
,AB BD
B
, ,A B D
ka b+ a kb+
( 0)λ λ > ( )ka b a kbλ+ = +
ka b a kbλ λ+ = +
( ) ( 1)k a k bλ λ− = −
,a b
0,
1 0,
k
k
λ
λ
− =
− =
1,
1
k
λ
=
=
1,
1,
k
λ
= −
= −
0λ >
1k =
ABC∆ A B C a b c (2 3 )cos 3 cosb c A a C− =
A
6B
π= BC 7AM = ABC∆
6A
π= 3
(2 3 )cos 3 cosb c A a C− = A
7AM = b
(2 3 )cos 3 cosb c A a C− =∴由正弦定理得： ，
即 ，
又∵ ，∴ ，∴ ，
又 ，所以 ；
（2）由 ， ，知 ，
在 中，由余弦定理得 ，
解得 ，故 ，
∴ .
【点睛】本题主要考查了利用正弦定理余弦定理求解三角形，属于基础题.
19.在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， .
（1）求角 的大小；
（2）已知 ，且 的外接圆的半径为 ，若 ，求 的值.
【答案】（1） ；（2）9
【解析】
【分析】
（1）化简得到 ，根据余弦定理计算得到答案.
（2）根据正弦定理得到 ，再利用余弦定理得到 ，联立方程得到 ，
再利用余弦定理得到答案.
【详解】（1） ， ，
由余弦定理可得， ， ， .
（2） ， 外接圆的半径为 ，
(2sin 3sin )cos 3sin cosB C A A C− =
( )2sin cos 3sin 3sinB A A C B= + =
( )0,B π∈ sin 0B ≠ 3cos 2A =
( )0,A π∈
6A
π=
6B
π=
6A
π= a b=
ACM∆
2
2
2
72 14cos cos 3 2
bb
C b
π + −
= = = −
2b = 2a =
1 1 3sin 2 2 32 2 2ABCS ab C∆ = = × × × =
ABC A B C a b c ( )( ) 3a b c a b c ac+ + − + =
B
22
3ac b= ABC 3 a c< AC AB⋅
3
π
2 2 2a c b ac+ − =
3b = 3 3a c+ =
3
2 3
a
c
=
=
( )( ) 3a b c a b c ac+ + − + = 2 2 2a c b ac∴ + − =
2 2 2 1cos 2 2
a c bB ac
+ −= = 0 B π< <
3B
π∴ =
3B
π= ABC 3由正弦定理可得 ，可得 ， ，①
由余弦定理可得： ，
解得： ，②
联立①②可得： ，或 ，由 ，可得 ，
，
.
【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理解三角形，向量的数量积，意在考查学生的计算能
力和应用能力.
20.设向量 ， ，其中 ， ，函数
的图象在 轴右侧的第一个最高点（即函数取得最大值的点）为 ，在
原点右侧与 轴的第一个交点为 .
（1）求函数 的表达式；
（2）在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，若 ，
，且 ，求边长 .
【答案】（1） ；（2）3
【解析】
【分析】
（1） ，根据周期得到 ，代入点得到 ，得到解析式.
2 3
3
2
b =
3b = 22 63ac b= =
∴ 2 2 2 29 ( ) 3 ( ) 3 6a c ac a c ac a c= + − = + − = + − ×
3 3a c+ =
∴ 2 3
3
a
c
=
=
3
2 3
a
c
=
=
a c< 3
2 3
a
c
=
=
2 2 2 9 12 3 3cos 2 22 3 2 3
b c aA bc
+ − + −∴ = = =
× ×
3ccos 3 2 3 92AC AB b A∴ ⋅ = = × × =
( )sin 2 ,cos2m x xω ω= ( )cos ,sinn ϕ ϕ
2
πϕ < 0>ω
( )f x m n= ⋅ y ,16P
π
x 5 ,012Q
π
( )f x
ABC A B C a b c ( ) 1f C = −
3
2CA CB⋅ = − 2 3a b+ = c
( ) ( )sin 2 ,6f x x x R
π = + ∈
( ) ( )sin 2f x xω ϕ= + 1ω =
6
π=ϕ（2）解得 ，根据 得到 ，再利用余弦定理计算得到答案.
【详解】（1）因为 ，
由题意 ， ， ，
将点 代入 ，得 ，
所以 ，又因 ， ，
即函数的表达式为 .
（2）由 ，即 ，又 ， ，
由 ，知 ，所以 ，
由余弦定理知
，所以 .
【点睛】本题考查了向量的数量积，三角函数解析式，余弦定理，意在考查学生的计算能力
和综合应用能力.
21.已知两个不共线的向量 ， 满足 ， ， .
（1）若 ，求角 值；
（2）若 与 垂直，求 的值；
（3）当 时，存在两个不同的 使得 成立，求正数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】
【分析】
为
的
2
3C
π= 3
2CA CB⋅ = − 3ab =
( ) ( ) ( ) ( )sin 2 ,cos2 cos ,sin sin 2f x m n x x xω ω ϕ ϕ ω ϕ= ⋅ = ⋅ = +
5
4 12 6
T π π= − T π∴ = 1ω∴ =
,16P
π
( )sin 2y x ϕ= + sin 2 16
π ϕ × + =
( )2 ,6 k k Z
πϕ π= + ∈
2
πϕ <
6
πϕ∴ =
( ) ( )sin 2 ,6f x x x R
π = + ∈
( ) 1f C = sin 2 16
π + = − C 0 C π< 13 2 3
2 2m
+≤ <
m 13 2 3
2 2
+
，
a b 1a b= = 3a kb a kb+ = − 0k＞
a b
( )f k a b= ⋅ ( ) 1f k tk≥ − [ ]1,1t ∈ −求出实数 k 的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) ；(2) ．
【解析】
【分析】
(1)由 两边平方得， ，展开即可求出 k 的值；
(2)根据 ，可求出 ，再将 变形为
，设 ，然后解不等式组 ，即可求出实数 k
的取值范围．
【详解】(1) 由 得， ，因为 ，
所以 ，即 ，解得 ．
(2)由(1)可知， ，所以 ，
变形为 ，设 ，所以 对任意的
恒成立，即有 ， ，解得 ．
【点睛】本题主要考查数量积的运算以及不等式恒成立问题的解法，意在考查学生的转化能
力和数学运算能力，属于中档题．
1k = 7 20 3k
−< ≤
3a kb a kb+ = − 2 2
3a kb a kb+ = −
2 2
3a kb a kb+ = − ( )f k a b= ⋅ ( ) 1f k tk≥ −
21 1 04
kkt k
++ − ≥ ( ) 21 14
kt kt k
ϕ += + −
( )
( )
1 0
1 0
ϕ
ϕ
≥ − ≥
3a kb a kb+ = − 2 2
3a kb a kb+ = − 1
2a b⋅ =
( )2 21 2 3 1 2ka b k ka b k+ ⋅ + = − ⋅ + ( )2 21 3 1k k k k+ + = − + 1k =
( )2 21 2 3 1 2ka b k ka b k+ ⋅ + = − ⋅ + 21( ) 4
kf k a b k
+= ⋅ =
( ) 1f k tk≥ − 21 1 04
kkt k
++ − ≥ ( ) 21 14
kt kt k
ϕ += + − ( ) 0tϕ ≥
[ ]1,1t ∈ − ( )
( )
1 0
1 0
ϕ
ϕ
≥ − ≥
2
2
1 1 04
1 1 04
kk k
kk k
++ − ≥ +− + − ≥
7 20 3k
−< ≤
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