浙江省山河联盟2019-2020高一数学下学期期中试题（Word版附答案）

山河联盟 2019 学年第二学期期中考试高一数学试卷 考试时间：120 分钟 总分：150 分 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题 10 小题，每小题 4 分,共 40 分) 1．已知等差数列 的首项为 1，公差为 2，则 a9 的值等于( ) A．15 B．16 C．17 D．18 2．在△ABC 中，已知 a=7，b=3，c=5，则该三角形的最大内角度数是( ) A．300 B．600 C.1200 D．1500 3．不等式 x2＋ax＋b＜0 的解集为(-1,2)，则 a＋b＝(　　) A.－3 B.1 C.－1 D.3 4.已知各项均为正数的等比数列{an}中，，,则 a3＝(　　) A.16 B.8 C.4 D.2 5.已知 0＜a＜1＜b，则下列不等式成立的是(　　) A. 1 a2＞1 a＞ 1 ab B. 1 a2＞ 1 ab＞1 a C.1 a＞ 1 a2＞ 1 ab D.1 a＞ 1 ab＞ 1 a2 6．在中，角，，的对边分别为，，，若（为非零实数），则下列结论错误的是（ ） A. 当时，是直角三角形 B. 当时，是锐角三角形 C. 当时，是钝角三角形 D. 当时，是钝角三角形 7.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1>0 且a6 a5＝ 9 11，则当 Sn 取最大值时，n 的值 为(　　) { }naA.9 B.10 C.11 D.12 8.已知向量，，，则向量、的夹角为 A. B. C. D. 9.已知实数 x,y 满足,且,则的最小值为（ ） A.21 B.24 C.25 D. 27 10.若不等式(|x－2a|－b)×cos(πx－ π 3 )≤0 在 x∈[－ 1 6， 5 6]上恒成立，则 2a ＋b 的最小值为(　　) A.1 B. 5 6 C.2 3 D. 2 二、填空题(本大题 7 小题，多空题每小题 6 分,单空题每小题 4 分，共,36 分) 11.已知平面向量 a＝(2，－3)，b＝(1，x)，若 a∥b，则 x＝________；若 a⊥b，则 x＝________. 12.若 x，y 满足{x ≤ 2， y ≥ －1， 4x－3y＋1 ≥ 0， 则 2y－x 的最小值为______.最大值为 _______. 13.已知正数 a，b 满足 a＋b＝1，则b a＋1 b的最小值为________，此时 a＝ ________. 14. 在△ABC 中，AB＞AC，BC＝2 3，A＝60°，△ABC 的面积等于 2 3，则 sin B＝________，BC 边上中线 AM 的长为________. 15.若 a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则通项公式 an＝________. 16. 若关于 x 的不等式|2020－x|-|2 019－x|≤d 有解，则实数 d 的取值范围 ________.17.已知 G 为△ABC 的重心，过点 G 的直线与边 AB，AC 分别相交于点 P，Q，若AP→ ＝ λAB→ ，则△ABC 与△APQ 的面积之比为________.（结果用 λ 表示） 第Ⅱ卷 三、解答题(本大题 5 小题，共 74 分) 18.（本小题满分 14 分）.已知数列{an}满足 a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设 bn＝an n . (1)证明：数列{bn}为等比数列； (2)求{an}的通项公式. 19. （本小题满分 15 分）已知函数． 求不等式的解集； 当时，求函数的最大值，以及 y 取得最大值时 x 的值．20. （本小题满分 15 分）已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61， (1)求 a 与 b 的夹角 θ； (2)求|a＋2b|； (3)若AB→ ＝a＋2b，BC→ ＝b，求△ABC 的面积. 21. （本小题满分 15 分）在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，sin2A ＋sin2B＋sinAsinB＝2csinC，△ABC 的面积 S＝abc. (1)求角 C； (2)求 a＋b 的取值范围.22.（本小题满分 15 分）已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a2n＝4Sn－2an－ 1(n∈N*).数列满足，为数列的前 n 项和． 求数列的通项公式； 求数列的前 n 项和 若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； 山河联盟 2019 学年第二学期期中考试高一数学参考答案 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A C A D B A D B 二、填空题: 本大题共 7 个小题，共 36 分． 11.　, 　 12. -4 4 13． 3, 　1 2 14.　1 2　, 15． n2＋n＋2 2 16． 17．　3λ－1 λ2 三、解答题: 本大题共 5 个小题，共 74 分． 18．(本小题满分 14 分) （1）由条件可得an＋1 n＋1＝2an n ，即 bn＋1＝2bn，又 b1＝1， 所以{bn}是首项为 1，公比为 2 的等比数列. (2)由（1）可得 bn＝2n－1，an n ＝2n－1 所以 an＝n·2n－1. 19. 本小题满分 15 分) 解：由题意得， 因为方程有两个不等实根，， 又二次函数的图象开口向下， 所以不等式的解集为； 由题意知，， 因为，所以，当且仅当，即时，等号成立． 综上所述，当且仅当时，y 取得最大值为． 20．(本小题满分 15 分) 解　(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61， ∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61. 又|a|＝4，|b|＝3， ∴64－4a·b－27＝61， ∴a·b＝－6.∴cos θ＝ a·b |a||b|＝ －6 4 × 3＝－1 2. 又 0≤θ≤π，∴θ＝2π 3 . (2)|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2 ＝42＋4×(－6)＋4×32＝28， ∴|a＋2b|＝2 (3)的夹角 B ∴ |AB→ |＝，|BC→ |＝3， ∴S△ABC＝1 2|AB→ ||BC→ |sinB＝1 2××3×＝3 3. 21． （本小题满分 15 分） 解　(1)由 S＝abc＝1 2absin C 可知 2c＝sin C，∴sin2A＋sin2B＋sinAsinB＝ sin2C.由正弦定理得 a2＋b2＋ab＝c2.由余弦定理得 cos C＝a2＋b2－c2 2ab ＝－1 2，∴C∈(0，π)，∴C＝2π 3 . (2) 法一：由(1)知 2c＝sin C，c= 3 4 ∴2a＝sinA，2b＝sin B. △ABC 的 a＋b＝1 2(sinA＋sinB) ＝1 2[sin A＋sin(π 3 －A)] ＝1 2(sin A＋ 3 2 cos A－ 1 2sin A) ＝1 2(1 2sin A＋ 3 2 cos A) ＝1 2sin(A＋ π 3 ) ∵A∈(0， π 3 )，∴A＋π 3 ∈(π 3 ， 2π 3 )，∴sin(A＋ π 3 )∈( 3 2 ，1]，∴1 2sin(A＋ π 3 ) ∈ ∴a＋b 的取值范围为. 法二： ∴a＋b ∵a＋b ∴a＋b 的取值范围为. 22（本小题满分 15 分） 解：(1)　当 n＝1 时，a1＝1；当 n≥2 时，因为 an＞0，a2n＝4Sn－2an－1， 所以 a 2n－1＝4Sn－1－2an－1－1， 两式相减得 a2n－a 2n－1＝4an－2an＋2an－1＝2(an＋an－1)， 所以 an－an－1＝2，所以数列{an}是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，所以 an＝ 2n－1. 由题意和得：， 所以数列前 n 项和 ． 当 n 为偶数时，要使不等式恒成立， 即需不等式恒成立． ，等号在时取得． 此时需满足． 当 n 为奇数时，要使不等式恒成立， 即需不等式恒成立． 是随 n 的增大而增大， 时，取得最小值． 此时需满足． 综合、可得的取值范围是．