船山二中 2019-2020 学年高二下学期期中考试
数学试题
一：选择题（每小题 5 分，共 60 分）
1．设命题 .则 为( )
A． B．
C． D．
2．若椭圆 的离心率为 ，则 （ ）
A． B． C． D． 或
3．“ ”是“方程 表示椭圆”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．椭圆以 轴和 轴为对称轴，经过点(2，0)，长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的
方程为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
5．函数 在 的图象大致为（ ）
A． B．
: 0, lnp x x x∀ > > p¬
0, lnx x x∀ > ≤ 0, lnx x x∀ > <
0 0 00, lnx x x∃ > ≤ 0 0 00, lnx x x∃ > >
2 2
12
x y
m
+ = 1
2
m =
3
2
2
3
8
3
3
2
8
3
1 3m< <
2 2
13 1
x y
m m
+ =− −
x y
2
2 14
x y+ =
2 2
116 4
y x+ =
2
2 14
x y+ =
2 2
116 4
y x+ =
2
2 14
x y+ =
2
2 14
y x+ =
2( ) 2 xf x x e= − [ ]2 2− ,C． D．
6．已知命题 ： ，则 ；命题 ：若 ，则 ，下列命题为真
命题的是( )
A． B． C． D．
7．已知函数 的图象在点 处的切线方程为 ，则
的值为
A． B．1
C． D．2
8．若函数 在 是增函数，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
9．若中心在原点，焦点坐标为（0，±5 ）的椭圆被直线 3x﹣y﹣2＝0 截得的弦
的中点的横坐标为 ，则椭圆方程为（ ）
A． 1 B． 1
C． D．
10．已知 ， 是椭圆 上的动点， 是线段 上的点，且
满足 ，则动点 的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
p 0x∀ > 3 1x > q a b< 2 2a b<
p q∧ p q∧ ¬ p q¬ ∧ p q¬ ∧ ¬
( )y f x= ( )( )1, 1f 2 1 0x y− + =
( ) ( )1 2 ' 1f f+
1
2
3
2
( ) 2lnf x x x bx= + − [ )1,+∞ b
3 2 2 2 2
2
1
2
2 22 2
25 75
x y+ =
2 22 2
75 25
x y+ =
2 2
125 75
x y+ =
2 2
175 25
x y+ =
( 4, 4)P − − Q 2 22 16x y+ = M PQ
1
3PM MQ= M
2 2( 3) 2( 3) 1x y− + − = 2 2( 3) 2( 3) 1x y+ + + =
2 2( 1) 2( 1) 9x y+ + + = 2 2( 1) 2( 1) 9x y− + − =11．若 是定义在 上的偶函数，且 ，当 时， 恒
成立，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数 在 上单调，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
二 填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13．“ ”是“ ”的_______条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、
“既不充分又不必要”中一个）
14．设函数 ．若 为奇函数，则曲线 在点
处的切线方程为___________．
15．若函数 有零点，则实数 的取值范围是___________．
16 ．已知动点 在椭圆 ： 上， 为椭圆 的右焦点，若点 满足
，且 ，则 的最小值为 _______．
三 解答题（17 题 10 分，其余各题 12 分，共 70 分）
17．已知实数 ， ： ， ：
（1）若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围；
（2）若 ， 为真命题，求实数 的取值范围．
18 求适合下列条件的椭圆标准方程：
（1）与椭圆 有相同的焦点，且经过点 ；
（2）经过 两点
( )f x R ( )2 0f = 0x > ( ) ( ) 0f x f x′ + >
( ) 0f x >
( ), 2−∞ − ( )2,+∞ ( )2,2− ( ) ( ), 2 2,−∞ − +∞
2( ) e ( 1) (2 1)xf x a x a x= − − − + (1,2) a
21 1, ,2 4
e e − − −∞ − +∞
21 1, ,2 4
e e − − −∞ − +∞
2e e1 1, ,2 4
− − −∞ +∞
2e e1 1, ,2 4
− − −∞ +∞
2x x> 1x >
( ) ( )3 21f x x a x ax= + − + ( )f x ( )y f x= ( )0 0，
( ) ln 1f x ax x= − − a
P C
2 2
125 16
x y+ = F C M
1MF = MP MF⊥ PM
0m > p ( 2)( 3) 0x x+ − ≤ q 2 2m x m− ≤ ≤ +
q¬ p¬ m
2m = p q¬ ∧ x
2
2 12
x y+ = 3(1, )2
2 3(2, ), ( 2, )2 2A B− − − 19 已知函数 ，其导函数为 ，且 .
(Ⅰ)求曲线 在点 处的切线方程； (Ⅱ)求函数 在 上的最
大值和最小值.
20．已知函数
（1）当 时，求函数 的极值； （2）求 的单调区间.
21． 已知椭圆 ： （ ）的离心率为 ，且椭圆上一点与
椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设直线 与椭圆 交于 、 两点，且以 为直径的圆过椭圆的右顶点 ，
求△ 面积的最大值．
22．设函数 ，（1）求 的单调区间；
（2）若不等式 对 恒成立，求整数 的最大值.
( ) 3 21 22f x ax x x= + − ( )f x′ ( 1) 0f ′ − =
( )y f x= ( )( )1, 1f ( )f x [ 1,1]−
21( ) 2 ( 2)2ln xf x a x a x= + − +
1a = ( )f x ( )f x
M
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 0a b> > 2 2
3
6 4 2+
M
l M A B AB C
ABC
( ) ( ) ( )1 2x xf x x e a e e= − + − ( )f x
( ) 0f x > ( )2,x∈ +∞ a数学试题答案
1．【答案】C【解析】
全称命题的否定为特称命题，故命题 .则 .
.2．【解析】【详解】当椭圆焦点在 轴时，则: ，由于椭圆的离心
率 则 ，解的： = 当椭圆焦点在 轴时，则:
,由于椭圆的离心率 则 ，解的： =
故选：D
3．【详解】若方程 表示椭圆，则满足 ，即 且
，
此时 成立，即必要性成立，
当 时，满足 ，但此时方程 等价为 为圆，
不是椭圆，不满足条件．即充分性不成立，
“ ”是“方程 表示椭圆”的必要不充分条件，
故选：C．
4【详解】由于椭圆长轴长是短轴长的 2 倍，即 ，又椭圆经过点(2，0)，
则若焦点在 x 轴上，则 ， ，椭圆方程为 ；若焦点在 y 轴上，则 ，
，椭圆方程为 ，故选 C．
5．【答案】D【详解】由
知函数是偶函数，图象关于 y 轴对称， ， 排除选项 A，B；
当 时， ， ，当 时， ，
则 在 上单调递减，排除选项 C.故选：D.
: 0, lnp x x x∀ > > p¬
0 0 00, lnx x x∃ > ≤
x 2 2 22, , 2a b m c m= = = −
1 ,2e = 2 1 2
4 2
me
−= = m 3
2
y
2 2 2, 2, 2a m b c m= = = − 1 ,2e = 2 1 2
4
me m
−= = m 8
3
2 2
13 1
x y
m m
+ =− −
1 0
3 0
1 3
m
m
m m
− >
− >
− ≠ −
1 3m< <
2m ≠
1 3m< <
2m = 1 3m< <
2 2
13 1
x y
m m
+ =− −
2 2 1x y+ =
1 3m< <
2 2
13 1
x y
m m
+ =− −
2a b=
2a = 1b =
2
2 14
x y+ = 4a =
2b = 2 2
116 4
y x+ =
2 2( ) 2( ) 2 ( )x xf x x e x e f x−− = − − = − =
2(2) 8 (0,1)f e= − ∈ ∴
2( ]0,x∈ 2( ) 2 xf x x e= − ( ) 4 xf x x e′ = − 1(0, )4x∈ ( ) 0f x′ <
( )f x 1(0, )46．【详解】命题 ： ，则 ，则命题p 为真命题，则￢p 为假命题；
取 a=-1，b=-2，a＞b，但 a2＜b2，则命题 q 是假命题，则￢q 是真命题．
∴p∧q 是假命题，p∧￢q 是真命题，￢p∧q 是假命题，￢p∧￢q 是假命题．故选 B．
7．【解析】由 得 ，因此有 ， ，∴
．故选 D．
8．【详解】 ，则 ，由题意可知 对任意的
恒成立，则 .对于函数 ， 对于任意
的 恒成立，所以，函数 在区间 上单调递增，
所以，函数 在 x=1 处取得最小值，即 ， .因此，实数 的最大值为
.故选：A.
9．解：设椭圆： 1（a＞b＞0），则 a2﹣b2＝50①又设 A（x1，y1），B（x2，y2），弦
AB 中点（x0，y0）∵x0 ，∴代入直线方程得 y0 2 由 ，可得
∴AB 的斜率 k • • 3∵ 1，∴a2
＝3b2②
联解①②，可得 a2＝75，b2＝25，得椭圆的方程为： 1
10．【详解】设动点 ， ，因为 ，故 ，化简得
，又 在椭圆 上，故 ，化简得
，故选 B。
p 0x∀ > 3 1x >
1 2 1 0y− + = 1y = (1) 1f = 1'(1) 2f =
1(1) 2 '(1) 1 2 22f f+ = + × =
( ) 2lnf x x x bx= + − ( ) 1 2f x x bx
′ = + − ( ) 0f x′ ≥
[ )1,x∈ +∞ 12b x x
≤ + 12y x x
= +
2
2 2
1 2 12 0xy x x
−′ = − = ≥
[ )1,x∈ +∞ 12y x x
= + [ )1,+∞
12y x x
= + min 3y = 3b∴ ≤ b
3
2 2
2 2
y x
a b
+ =
1
2
= 3
2
= − 1
2
= −
2 2
1 1
2 2
2 2
2 2
2 2
1
1
y x
a b
y x
a b
+ =
=
2 2 2 2
1 2 1 2
2 2
y y x x
a b
− −= −
2
1 2
2
1 2
y y a
x x b
−= = −−
2
1 2
2
1 2
x x a
y y b
+ = −+
0
0
x
y
= 0
0
x
y
= −
2 2
25 75
x y+ =
( , )M x y ( , )Q m n 1
3PM MQ=
14 ( )3
14 ( )3
x m x
y n y
+ = −
+ = −
4( 3)
4( 3)
m x
n y
= +
= +
( , )Q m n 2 22 16x y+ = 2 216( 3) 32( 3) 16x y+ + + =
2 2( 3) 2( 3) 1x y+ + + =11．【详解】构造函数 ，则 对任意的 恒
成立，所以，函数 在 上为增函数， 函数 为 上的偶函数，则
，所以， .
当 时，由 可得 ，即 ，解得 .
即不等式 在 上的解集为 ；
由于函数 为 上的偶函数，当 时，由 可得 .
因此，不等式 的解集为 .故选：D.
12．【详解】依题意 ，
①若函数 在 上单调递增，则 在 上恒成立，
即 ，令 ，故 ，
故函数 在 上单调递增，故 ，所以只需 ，即可满足
在 上单调递增；
②若函数 在 上单调递减，则 在 上恒成立，
即 ，由①知 在 上单调递增， ，
所以只需 ，即可满足 在 上单调递减.综上，实数 的取值范围为
时，函数 在 上单调.故选：D.
13．故答案为：必要不充分
14．【详解】因为函数 是奇函数，所以 ，从而得到
，所以 ，所以 ，所以切点坐标是 ，
因为 ，所以 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
故答案是 .
( ) ( )xg x e f x= ( ) ( ) ( ) 0xg x e f x f x′ ′= + > 0x >
( )y g x= ( )0, ∞+ ( )y f x= R
( ) ( )2 2 0f f− = = ( ) ( )22 2 0g e f= =
0x > ( ) 0f x > ( ) 0xe f x > ( ) ( )0 2g x g> = 2x >
( ) 0f x > ( )0, ∞+ ( )2,+∞
( )y f x= R 0x < ( ) 0f x > 2x < −
( ) 0f x > ( ) ( ), 2 2,−∞ − +∞
( ) 2 ( 1) (2 1)xf x e a x a′ = − − − +
( )f x (1,2) ( ) 2 ( 1) (2 1) 0xf x e a x a′ = − − − + ≥ (1,2)
e 12
x
a x
−≤ 1( )
xeg x x
−= 2 2
1 ( 1) 1( ) 0
x x xxe e x eg x x x
− + − +′ = = >
( )g x (1,2) ( ) (1) e 1g x g> = − 1
2
ea
−≤ ( )f x
(1,2)
( )f x (1,2) ( ) 2 ( 1) (2 1) 0xf x e a x a′ = − − − + ≤ (1,2)
e 12
x
a x
−≥ 1( )
xeg x x
−= (1,2)
2 1( ) (2) 2
eg x g
−< =
2 1
4
ea
−≥ ( )f x (1,2) a
21 1, ,2 4
e e − − −∞ +∞ ( )f x (1,2)
3 2( ) ( 1)f x x a x ax= + − + ( ) ( )f x f x− = −
1 0a − = 3( )f x x x= + (0) 0f = (0,0)
2( ) 3 1xf ' x= + '(0) 1f = ( )y f x= (0,0) y x=
y x=15．【详解】由题可知函数 的定义域为 函数 有零点，
等价于 有实数根
，即 ，设 ，则 .
则函数在 上单调递增，在 上单调递减，且 ，画出图像，如图所示：
根据图像知 .
故答案为： .
16 【解】由已知， ，设 ，则 ，因 在椭圆上，所以
，
所以 ，
所以当 时， ，又 ，
所以 ，所以 .
17．解析：（1）因为 ： ；
又 是 的必要不充分条件，所以 是 的必要不充分条件，
则 ，得 ，又 时 ，所以 ．
（2）当 时， ： ，
： 或 ．因为 是真命题，所以
( )f x ( )0, ∞+ ( ) ln 1f x ax x= − −
( ) ln 1 0f x ax x= − − =
( ) ln 1 0f x ax x= − − = ln 1xa x
+= ( ) ln 1xg x x
+= ( ) 2
ln' xg x x
−=
( )0,1 [ )1,+∞ ( )1 1g =
1a ≤
( ,1]−∞
(3,0)F ( , )P x y
2
2 1616 25
xy = − P
5 5x− ≤ ≤
2 2 29 3 25 3( 3) 6 25 525 5 3 5PF x y x x x x= − + = − + = − = −
5x = min| | 2PF = MP MF⊥
2| | 1PM PF= − 2
minmin | | 1 3PM PF= − =
p 2 3x− ≤ ≤
q¬ p¬ p q
2 3,
2 2
m
m
+ ≤
− ≥ − 1m ≤ 1m = p q⇔ 0 1m< <
2m = q 4 4x− ≤ ≤
p¬ 3x > 2x < − p q¬ ∧ 4 4,
3 2,
x
x x
− ≤ ≤
> < − 或则 ．
18 【解】（1）椭圆 的焦点坐标为 ，
∵椭圆过点 ，∴ ，∴ ，
∴椭圆的标准方程为 .
（2）设所求的椭圆方程为 ．
把 两点代入，得： ，解得 ，
∴椭圆方程为 ．
19 解： (Ⅰ) ，∵ ，∴ .解得
∴ ， ，∴ ， .
∴曲线 在点 处的切线方程为
(Ⅱ)出(Ⅰ)，当 时，解得 或
当 变化时， ， 的变化情况如下表：
∴ 的极小值为 ，又 ，
∴ ， .
] [( )3,4 4, 2x∈ ∪ − −
2
2 12
x y+ = ( 1,0)±
3(1, )2
2 2 2 23 32 (1 1) ( ) (1 1) ( ) 42 2a = + + + − + = 2, 3a b= =
2 2
14 3
x y+ =
2 2
1( 0, 0, )x y m n m nm n
+ = > > ≠
2 3(2, ), ( 2, )2 2A B− − −
1
4 2 1
3
2 4 1
m n
m n
+ =
+ =
8 1m n= =，
2
2 18
x y+ =
( ) 23 2f x ax x′ = + − ( )1 0f ′ − = 3 1 2 0a − − = 1a =
( ) 3 21 22f x x x x= + − ( ) 23 2f x x x′ = + − ( ) 1f 1 2
= − ( )1 2f ′ =
( )y f x= ( )( )1, 1f 4 2 5 0x y− − =
( ) 0f x′ = 1x = − 2
3x =
x ( )f x ( )f x′
( )f x 2 22
3 27f = −
( ) 31 2f − = ( ) 11 2f = −
( ) ( )max
31 2f x f= − = ( )min
2 22
3 27f x f = = − 20．【解】（1）当 时， ，
，
当 和 时， ；当 时， ，
在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
在 处取得极大值，在 处取得极小值，
极大值为 ，极小值为 .
（2）由题意得： ，
①当 时，当 时， ；当 时， ，
的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
②当 时，当 和 时， ；当 时， ，
的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， ；
③当 时， 在 上恒成立，
的单调递增区间为 ，无单调递减区间；
④当 时，当 和 时， ；当 时， ，
的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， ；
综上所述：当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；当
时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， ；当
时， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间；当 时， 的单调递减区
间为 ，单调递增区间为 ， .
21．解析：（1）∵椭圆 上一点和它的两个焦点构成的三角形的周长为 ，
∴ ，又椭圆的离心率为 ，即 ，∴ ；
1a = ( ) 212ln 32f x x x x= + −
( ) ( )( ) ( )2 1 22 3 23 0x xx xf x x xx x x
− −− +′∴ = + − = = >
∴ ( )0,1x∈ ( )2,+∞ ( ) 0f x′ > ( )1,2x∈ ( ) 0f x′ <
( )f x∴ ( )0,1 ( )2,+∞ ( )1,2
( )f x∴ 1x = 2x =
( )f x∴ ( ) 51 2f = − ( )2 2ln 2 4f = −
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 2 22 2 0x a x a x a xaf x x a xx x x
− + + − −′ = + − + = = >
0a ≤ ( )0,2x∈ ( ) 0f x′ < ( )2,x∈ +∞ ( ) 0f x′ >
( )f x∴ ( )0,2 ( )2,+∞
0 2a< < ( )0,x a∈ ( )2,+∞ ( ) 0f x′ > ( ),2x a∈ ( ) 0f x′ <
( )f x∴ ( ),2a ( )0,a ( )2,+∞
2a = ( ) 0f x′ ≥ ( )0, ∞+
( )f x∴ ( )0, ∞+
2a > ( )0,2x∈ ( ),a +∞ ( ) 0f x′ > ( )2,x a∈ ( ) 0f x′ <
( )f x∴ ( )2,a ( )0,2 ( ),a +∞
0a ≤ ( )f x ( )0,2 ( )2,+∞
0 2a< < ( )f x ( ),2a ( )0,a ( )2,+∞ 2a =
( )f x ( )0, ∞+ 2a > ( )f x
( )2,a ( )0,2 ( ),a +∞
M 6 4 2+
2 2 6 4 2a c+ = + 2 2
3
2 2
3
c
a
= 2 2
3c a=∴ ， ，∴ ，椭圆 的方程为 ．
（2）不妨设 的方程 （ ）则 的方程为 ．
由 得 ，
设 ， ，∵ ，∴ ，同理可得 ．
∴ ， ，
，
设 ，则 ，
当且仅当 时等号成立，∴△ 面积的最大值为 ．
22．解：（1） .，令 ，则 .
当 时， ；当 时， ；
所以 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 .
（2）当 时， 恒成立，等价于当 时，
恒成立；即 对 恒成立，令 ，
，
，令 ， ， ，
所以 在 上单调递增，又因为 ， ，
所以 在 上有唯一零点 ，且 ， ，
3a = 2 2c = 1b = M
2
2 19
x y+ =
BC ( 3)y n x= − 0n > AC 1 ( 3)y xn
= − −
2
2
( 3),
1,9
y n x
x y
= − + =
2 2 2 21( ) 6 9 1 09 n x n x n+ − + − =
1 1( , )A x y 2 2( , )B x y
2
2 2
81 93 9 1
nx n
−= +
2
2 2
27 3
9 1
nx n
−= +
2
1 2
27 3
9
nx n
−= +
2
2
6| | 1 9 1BC n n
= + ⋅ +
2 2
2
1 6| | 9
n nAC n n
+= ⋅ +
2
12( )1 | || | 1 642 ( ) 9
ABC
n nS BC AC
n n
∆
+
= =
+ +
1 2t n n
= + ≥
2
2 2 3
64 64 8
9 9
ABC
tS
t t t
∆ = = ≤
+ +
8
3t = ABC 3
8
( ) ( )x x xf x xe ae x a e′ = − = − ( ) 0f x′ = x a=
( ),x a∈ −∞ ( ) 0f x′ < ( ),x a∈ +∞ ( ) 0f x′ >
( )f x ( ),a +∞ ( ),a−∞
( )2,x∈ +∞ ( ) ( )1 2 0x xx e a e e− + − > ( )2,x∈ +∞
( )1
2
x
x
x e ae e
− >−
( )
min
1
2
x
x
x e ae e
− > −
( )2,x∈ +∞ ( ) ( )1
2
x
x
x eg x e e
−= −
( )2,x∈ +∞
( ) ( )
( )2
2
2
x x
x
e e ex
g x
e e
−′ =
−
( ) 2xh x e ex= − ( )2,x∈ +∞ ( ) 2 0xh x e e′ = − >
( ) 2xh x e ex= − ( )2,+∞ ( ) 22 4 0h e e= − < ( ) 33 6 0h e e= − >
( )g x′ ( )2,3 0x 0
02xe ex= ( )0 2,3x ∈所以 在 .上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，故整数 的最大值为 .
( )g x ( )02, x ( )0 ,x +∞
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0
0
0 0 0
0 0min
0
1 1 2 2,32 2 2
x
x
x e x exg x g x xe e ex e
− −= = = = ∈− −
( )0 2,3a x< ∈ a 2
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