攀枝花十五中 2019-2020 学年高二下学期期中考试
数 学（理工类）
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．考生作答时，须将答案答在答题卡
上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分 150 分．考试时间 120 分钟．考试结束后，将本
试题卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．选择题必须使用 2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上．
2．填空题和解答题用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、 选择题：(本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．)
1．下列几何体中是旋转体的是( )
①圆柱 ②六棱锥 ③正方体 ④球体 ⑤四面体
A．①和⑤ B．① C．③和④ D．①和④
2．设双曲线 的渐近线方程为 ，则 的值为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
3. 下列命题中，错误的是( )
A.平行于同一平面的两个平面平行 B.平行于同一直线的两个平面平行
C.一个平面同时和两个平行平面相交，则交线平行
D.一条直线和两个平行平面中的一个相交，则它必与另一个相交
4．若空间中四条两两不同的直线 ，满足 ，则下面结论一定正
确的是( )
A． B． C． 既不垂直也不平行 D． 的
位置关系不确定
5.将一个直角边长为 的等腰直角三角形绕其一条直角边旋转一周所形成的几何体的侧面积
为（ ）
A. B. C. D.
6．在空间中，设 ， 为两条不同直线， ， 为两个不同平面，则下列命题正确的是( )
A．若 且 ，则 B．若 ， ， ，则
C．若 且 ，则 D．若 不垂直于 ，且 ，则 必不
垂直于
2 2
2 1( 0)9
x y aa
− = > 3 2 0x y± = a
1 2 3 4, , ,l l l l 1 2 2 3 3 4, ,l l l l l l⊥ ⊥ ⊥
1 4l l⊥ 1 4/ /l l 1 4,l l 1 4,l l
1
2π 2 2π 4π 2π
m n α β
/ /m α / /α β / /m β α β⊥ m α⊂ n β⊂ m n⊥
m α⊥ / /α β m β⊥ m α n ⊂ α m
n
7．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前 344 年商鞅监制的一种
标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若 取 3，其
体积为 （立方寸），则图中的 为（ ）
A. B. C. D.
8．如图，空间四边形 中， ， ， ，点 在线段 上，
且 ，点 为 的中点，则 （ ）
A． B． C． D．
9．在直三棱柱 中， ， ， ， 、 分别是 、
的中点，则异面直线 与 所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
10. 正三角形 的边长为 ，将它沿高 翻折，使点 与点 间的距离为 ，此时四
面体 外接球表面积为（ ）
A． B. C. D.
11．已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等， 在底面 内的射影为
的中心 ，则 与底面 所成角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
12．设椭圆 ： 的右顶点为 ，右焦点为 ， 为椭圆在第二象限上
的点，直线 交椭圆 于点 ，若直线 平分线段 于 ，则椭圆 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
注意事项：
ABC 2 AD B C
ABCD
π
13.5 x
1 1.2 1.6
1.8
OABC OA a= OB b= OC c= M OA
2OM MA= N BC MN =
2 1 1
3 2 2a b c− + + 1 2 1
2 3 2a b c− + 1 1 1
2 2 2a b c+ − 2 2 1
3 3 2a b c+ −
1 1 1ABC A B C− 4AC BC= = AC BC⊥ 1 5CC = D E AB
1 1B C BE CD
3
3
1
3
58
29
3 87
29
2
5 5
6
π 7 7
6
π 5π 7π
1 1 1ABC A B C− 1A ABC ABC∆
O 1AC ABC
2
3
7
3
6
3
5
3
E
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > A F B
BO E C BF AC M E
1
3
2
3
1
2
1
4
1．必须使用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题
可先用铅笔绘出，确认后再用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚．答在试题卷上无效．
二、填空题：(本题共 4 小题，每小题 5 分)
13．已知 ， ，若 ，则实数 m 的值为________．
14．已知圆柱的上下底面的中心分别为 ，过直线 的平面截该圆柱所得的截面是面
积为 36 的正方形，则该圆柱的体积为________．
15．若圆 上恰有 3 个点到直线 的距离为 1，则 __________．
16．如图，四棱锥 中， 是矩形， 平面 ， ，
，四棱锥外接球的球心为 ，点 是棱 上的一个动点.给出如下命题：
①直线 与直线 所成的角中最小的角为 ；② 与 一定不垂直；
③三棱锥 的体积为定值；④ 的最小值为 .
其中正确命题的序号是 .（将你认为正确的命题序号都填上）
三、解答题：(17 题 10 分，其余每小题 12 分，共 70 分．解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤.)
17．(10 分)若长方体的三个面的面积分别是 ，求：
（1）长方体的体对角线的长； （2）长方体的表面积.
18．（12 分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，
设 的中点为 的中点为 N.
（1）请将字母 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；
（2）证明：直线 平面 .
19．（12 分）已知抛物线 C：y2=3x 的焦点为 F，斜率为 的直线 l 与 C 的交点为 A，B，与 x
轴的交点为 P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求 l 的方程； （2）若 ，求|AB|．
3
2
3AP PB=
( )2,3,a m= − ( )2, 1,1b = − a b⊥
1 2,O O 1 2O O
2 2 4x y+ = : 0l x y b− + = b =
P ABCD− ABCD PA ⊥ ABCD 1PA AB= =
2BC = O E AD
PB CE 45 BE PC
E BCO− CE PE+ 2 2
2 2 22cm , 3cm , 6cm
BC M GH，
F G H， ，
/ /MN BDH
P
B C
DA E
20．(12 分)如图，在边长为 的正方形 中，
点 是 的中点，点 是 的中点，点 是 上的点，
且 ．将△AED，△DCF 分别沿 ， 折起，
使 ， 两点重合于 ，连接 ， .
（1） 求证： ；
（2）试判断 与平面 的位置关系，并给出证明.
21．(12 分)椭圆 ： 的离心率为 ，点 为椭圆上的一点.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若斜率为 的直线 过点 ，且与椭圆 交于 两点， 为椭圆 的下顶点，
求证：对于任意的实数 ，直线 的斜率之积为定值.
22．（12 分）如图，在三棱柱 中，侧面 底面 ， ，
．
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ， ，且 与平面 所成的角
为 ，求二面角 的平面角的余弦值．
数 学（理工类）参考答案
选择题
1-5 DCBDA 6-10 CBACC 11-12 BA
二、填空题
13、7 14、 15、 16、①③④
2 ABCD
E AB F BC M AD
1
3AM MD= DE DF
A C P EF PB
PD EF⊥
PB EFM
E ( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > 3
3
( )3, 2
E
k l ( )01A , E ,C D B E
k ,BC BD
1 1 1ABC A B C− 1 1AA B B ⊥ ABC 1AA AB=
90ABC∠ =
1AB ⊥ 1A BC
2AB = 1 60A AB∠ =
1AC 1 1BBCC
30
1 1B AC C− −
54π 2±
D
E
FB C
A M
D
P
E
B F
M
三、解答题
17.解（1）设长方体的长，宽，高分别为 ，如图.
可令 解得
，
，∴该长方体的体对角线长为 .
（2） .
18.（1）解：点 的位置如图所示.
（2）如图，连接 ，设 O 为 的中点，连接 .
因为 分别是 的中点，所以 ，且 ，
，且 ，所以 ， .
所以四边形 是平行四边形，从而 .又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
19 ． 解 ： 设 直 线 ． （ 1 ） 由 题 设 得 ， 故
， 由 题 设 可 得 ． 由 ， 可 得
，则 ．
从而 ，得 ．所以 的方程为 ．
（ 2 ） 由 可 得 ． 由 ， 可 得 ． 所 以
cm, cm, cma b c
2,
3,
6,
ab
bc
ac
=
=
=
2,
1,
3.
a
b
c
=
=
=
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 6BD DD BD DD AD AB a b c= + = + + = + + =
1 6cmBD∴ = 6cm
2(2 2 2 3 2 6)cmS = + +表
F G H， ，
BD BD OH OM MN BH， ， ，
M N， BC GH， / /OM CD 1
2OM CD=
/ /HN CD 1
2HN CD= / /OM HN OM HN=
MNHO / /MN OH MN ⊄ BDH OH ⊂ BDH
/ /MN BDH
( ) ( )1 1 2 2
3: , , , ,2l y x t A x y B x y= + 3 ,04F
1 2
3| | | | 2AF BF x x+ = + + 1 2
5
2x x+ =
2
3
2
3
y x t
y x
= +
=
2 29 12( 1) 4 0x t x t+ − + = 1 2
12( 1)
9
tx x
−+ = −
12( 1) 5
9 2
t −− = 7
8t = − l 3 7
2 8y x= −
3AP PB=
1 23y y= −
2
3
2
3
y x t
y x
= +
=
2 2 2 0y y t− + =
D
P
E
B F
M
N
D
E
FB C
A M
O
N
．从而 ，故 ．代入 的方程得 ．故
．
20.证明：∵折叠前 , ∴折叠后 ，
,∵ ∴ 平面 ，而 平面
，∴ ．
（2） 平面 ，证明如下：连接 交 于 ，连接 ，在正方形 中，
连接 交 于 ，
则 ，所以 ，又 ，即 ，在
中， ，所以 . 平面 ， 平面 ，所以
平面 .
21.解：（1）因为 ，所以 ， ①
又椭圆过点 ， 所以 ②由①②，解得
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）证明 设直线 ： ， 联立 得 ，
设 ，则
易知 故
，所以对于任意的 ，直线
的斜率之积为定值.
22.证明：（Ⅰ）由已知侧面 底面 ， , 底面 ,得到
侧面 ，
又因为 侧面 ,所以 ,又由已知 ，侧面 为菱形，所以
AD AE⊥ DC CF⊥
1 2 2y y+ = 2 23 2y y− + = 2 11, 3y y= − = C 1 2
13, 3x x= =
4 13| | 3AB =
PD PE⊥
PD PF⊥ PE PF P= PD ⊥ PEF EF ⊂ PEF
PD EF⊥
//PB EFM BD EF N NM ABCD
AC BD O
1 1
2 4BN BO BD= = 1
3BN ND= 1
3AM MD= 1
3PM DM= PBD∆
1
3
PM BN
MD ND
= = //PB MN PB ⊄ EFM MN ⊂ EFM //PB
EFM
3
3e = 3
3c a=
2
2 2 3
3
= +
a b a
( )3 2， 2 2
3 2 1+ =
a b
2 26, 4= =a b
E
2 2
16 4
x y+ =
l 1y kx= +
2 2
16 4
1
x y
y kx
+ =
= +
( )2 23 2 6 9 0+ + − =k x kx
( ) ( )1 1 2 2, , ,C x y D x y 1 2 1 22 2
6 9,3 2 3 2
+ = − = −+ +
kx x x xk k
( )0, 2B − 1 2
1 2
2 2+ +⋅ = ⋅BC BD
y yk k x x
1 2
1 2
3 3=
+ +⋅kx kx
x x
( )2
1 2 1 2
1 2
3 9=
+ + +k x x k x x
x x
2 1 2
1 2 1 2
3 ( ) 9=
++ +k x xk x x x x
( )2 22= 3 3 23
kk k k+ ⋅ − + = 2− k ,BC BD
1 1AA B B ⊥ ABC CB CA⊥ CB ⊂ ABC CB ⊥
1 1AA B B
1AB ⊂ 1 1AA B B 1AB CB⊥ 1AA AB= 1 1AA B B
对角线 ,
即 ， ， ,所以 平面 .
（Ⅱ）设线段 的中点为 点，连接 , ，因为 ，易知 为等边
三角形，中线 ,由（Ⅰ） 侧面 ，所以 ,得到 平面
， 即为 与平面 所成的角， , , ,
,得到 ;
以 点为坐标原点， 为 轴, 为 轴，过 平行 的直线为 ，建立空间直角坐标
系 ， , , , , , ,
，
由（Ⅰ）知平面 的法向量为 ，设平面 的法向量 ，
,
解得 , ,二面角 为钝二面角，故余
弦值为 .
1 1AB A B⊥
1AB CB⊥ 1 1AB A B⊥ 1A B CB B= 1AB ⊥ 1A BC
1BB D 1A D DC 1 60A AB∠ =
1 1A BB
1A D ⊥ 1BB CB ⊥ 1 1AA B B 1CB A D⊥ 1A D ⊥
1 1BBCC 1ACD∠ 1AC 1 1BBCC 1 2AB = 1 3A D = 1 2 3AC =
2 2 2
1 1CB AC A B= − 2 2CB =
D 1DA x DB y D BC z
( )0,0,0D ( )1 3,0,0A ( )0,1,2 2C ( )0,1,0B ( )1 0, 1,2 2C − ( )1 0, 1,0B −
( )3,2,0A
1ACB ( )1 3,3,0AB =
1 1C CA ( ), ,n x y z=
1
1
0
0
n C C
n AC
= =
( )2 2,0, 3n = 1
1
1
22cos , 11
AB nAB n
AB n
= =
1 1B AC C− −
22
11
−
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