山东省德州市夏津第一中学2019-2020高二数学下学期期中试题（Word版附答案）

夏津一中 2019-2020 学年高二期中考试 数学试题 本试卷共 4 页，共 150 分，考试时间 120 分钟. 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.设函数 ，则 A. B. C. D. 2.若 ，则 A. B. C. D. 3.一物体做直线运动，其位移 （单位： ）与时间 （单位： ）的关系是 ，则 该物体在 时的瞬时速度为 A. B. C. D. 4.函数 有 A. 极大值 6，极小值 2 B.极大值 2，极小值 6 C. 极小值-1，极大值 2 D.极小值 2，极大值 8 5.已知函数 与 的图象如图所示，则不等式组 的解集为 A． B． C． D． 6.从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人服务队，要求 服务队中至少有 1 名女生，共有不同的选法种数为 A. 420 B. 660 C. 840 D. 880 7.设 ，离散型随机变量 的分布列是 0 1 2 则当 在 内增大时 A. 增大 B. 减小 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小 ( )f x x= 0 (1 ) (1)lim x f x f x∆ → + ∆ − =∆ 0 1 2 1− 3 3 2 10n nA A= n = 6 7 8 9 s m t s 2 5s t t= − + 2t s= 3 7 6 1 3 3 4y x x= − + ( )f x ( )'f x ( ) ( ) 0 3 f x f x x  <  < < ′  ( )0,1 ( )1,3 ( )1,2 ( )1,4 0 1a< < X X P 1 2 a− 1 2 2 a a 2(0, )3 ( )D X ( )D X ( )D X ( )D X8.已知函数 f（x）＝e2x+1﹣e﹣2x﹣mx 在 R 上为增函数，则 m 的取值范围为 A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分. 9.关于 的说法，正确的是 A. 展开式中的二项式系数之和为 2048 B. 展开式中只有第 6 项的二项式系数最大 C. 展开式中第 6 项和第 7 项的二项式系数最大 D. 展开式中第 6 项的系数最大 10.已知函数 ，则 A．函数 一定存在最值 B． C．若 是 的极值点，则 D．若 是 的极小值点，则 在区间 单调递增 11. 甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布 其正态 分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是 A.乙类水果的平均质量 B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右 C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数 12.已知函数 ，则以下结论正确的是 A. 函数 的单调减区间是 B．函数 有且只有 1 个零点 C．存在正实数 ，使得 成立 D．对任意两个正实数 ，且 若 则 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.曲线 在点 处的切线方程为 . 14.用 这 5 个数字组成的没有重复数字的四位数中，能被 5 整除的数的个数为 .（用数字作答） 15.盒中共有 9 个球，其中有 4 个红球，3 个黄球和 2 个绿球，这些球除颜色相同外完全相 同。从盒中一次随机取出 4 个球，设 表示取出的三种颜色球的个数的最大数，则 . ( ) 3 2f x x ax bx c= + + + ( )y f x= ∃ ( )0 0, 0x R f x∈ = 0x ( )f x ( )0' 0f x = 0x ( )f x ( )f x ( )0, x−∞ ( ,2 ]e−∞ [2 , )e +∞ ( ,4 ]e−∞ [4 , )e +∞ ( )11a b− 2 2 1 1 2 2( , ), ( , ),N Nµ σ µ σ 2 0.8kgµ = 2 1.99σ =( ) 2 lnf x xx = + ( )f x (0,2) ( )y f x x= − k ( )f x kx> 1 2,x x 1 2 ,x x> 1 2( ) ( ),f x f x= 1 2 4x x+ > 2 lny x x= + (1,1) 1,2,3,4,5 X ( 3)P X = =16.设函数 若不等式 对一切 恒成立，则 ， 的取值范围为 . （第一空 2 分，第二空 3 分） 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（10 分）求下列函数的导数： （1） ； （2） . 18.（12 分) 2020 年寒假是特殊的寒假，因为抗击疫情全体学生只能在家进行网上在线学习， 为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取 120 名学生对线上教育进行调查， 其中男生与女生的人数之比为 11∶13，其中男生 30 人对于线上教育满意，女生中有 15 名表 示对线上教育不满意. （1）完成 列联表，并回答能否有 99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”； 满意 不满意 总计 男生 30 女生 15 合计 120 （2）从被调查的对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取 8 名学生，再在 8 名学生中 抽取 3 名学生，作线上学习的经验介绍，其中抽取男生的个数为 ，求出 的分布列及期望值. 参考公式：附： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 0.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10828 19.（12 分）已知函数 . （1）当 时，求函数 的单调区间； （2）若函数 在 处取得极大值，求实数 的取值范围. 3 2( ) ( , , R, 0)f x ax bx cx a b c a= + + ∈ ≠ ( ) ( ) 2xf x af x′ − ≤ Rx∈ a = b c a + 3( ) (1 cos )(1 )f x x x= + − ( ) 21 xxf x x = −+ 2 2× ξ ξ 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b a c b d c d −= + + + + ( )2P K k> k ( ) ln xe af x a xx x = − − 0a = ( )f x ( )f x 1x = a20.（12 分) 某工厂生产某种型号的农机具零配件，为了预测今年 7 月份该型号农机具零配件 的市场需求量，以合理安排生产，工厂对本年度 月份至 月份该型号农机具零配件的销售量 及销售单价进行了调查，销售单价 （单位：元）和销售量 （单位：千件）之间的 组数据 如下表所示： 月份 销售单价 （元） 11.1 8.8 销售量 （千件） 2.5 3.2 （1）根据 1 至 6 月份的数据，求 关于 的线性回归方程（系数精确到 ）； （2）结合（1）中的线性回归方程，假设该型号农机具零配件的生产成本为每件 3 元，那么 工厂如何制定 月份的销售单价，才能使该月利润达到最大？（计算结果精确到 ） 参考公式：回归直线方程 ， 参考数据： 21. （12 分）为保护环境，某市有三家工厂要建造污水处理厂。三家工厂分别位于矩形 ABCD 的顶点 A, B 及 CD 的中点 P 处，已知 AB=20 km，CB=10 km.按 照规划要求污水处理厂建在矩形 ABCD 的区域上（含边 界）， 且与 A, B 等距离的一点 O 处，并铺设排污管道 AO,BO,OP,设排污管道的总长为 y km. (1) 按 下 列 要 求 写 出 函 数 关 系 式 ： ① 设 将 表示成 的函数关系式； ②设 将 表示成 的函数关系式. (2) 请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短. 22.（12 分) 已知函数 . （1）当 时，讨论函数 的单调性； （2）若函数 在区间 上无零点，求 的取值范围. 1 6 x y 6 1 2 3 4 5 6 x 9.1 9.4 10.2 11.4 y 3.1 3 2.8 2.4 y x 0.01 7 0.1 ˆˆ ˆy bx a= + ( ),BAO radθ∠ = y θ (km),OP x= y x ( ) (2 ) 2(1 ln )f x a x x a= − − + + 1a = ( )f x ( )f x 10, 2      a 1 2 1 (x x)(y y) ˆ , (x x) n i i i n i i b = = − − = − ∑ ∑ 6 6 2 1 1 605.82, 168.24i i i i i x x y = = = =∑ ∑高二数学试题参考答案 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 1-4 BCDA 5-8 BBDC 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 9.AC 10.BC 11.ABC 12.ABD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 14. 24 15. 16. 3 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.解：(1)f'(x)=(1+cosx)'(1-x3)+(1+cos x)(1-x3)'=-sinx(1-x3)-3x2(1+cos x) =-sinx+x3 sinx-3x2-3x2cos x. …………………………5 分 (2) ,则 . ………10 分 18.解：（1）因为男生人数为： ，所以女生人数为 ， 于是可完成 列联表， 如下： …………………….3 分 根据列联表中的数据，得到 的观测值 ， 所以有 99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”. ……………6 分 （2）由（1）可知男生抽 3 人，女生抽 5 人， ………… 7 分 依题可知 的可能取值为 ，并且 服从超几何分布， ，即 , 满意 不满意 总计 男生 30 25 55 女生 50 15 65 合计 80 40 120 3 2 0x y− − = 13 63 1[ , )6 − +∞ ( ) 21 xxf x x = −+ 1=1 21 x x − −+ 2 1( ) 2 ln 2( 1) xf x x ′ = −+ 11120 5511 13 × =+ 120 55 65− = 2 2× 2K 2 2 120 (30 15 25 50) 960 6.713 6.63555 65 80 40 143k × × − ×= = ≈ >× × × ξ 0,1,2,3 ξ ( ) ( )3 3 5 3 8 0,1,2,3 k kC CP k kC ξ − = = = 3 2 1 5 5 3 3 3 8 8 5 15( 0) , ( 1)28 28 C C CP PC C ξ ξ= = = = = =. ……………10 分 可得分布 列为 ……………………11 分 可得 . ……………………12 分 19.解：（1） 的定义域为 ，当 时， ， …………………………2 分 令 得 ，令 得，所以 的增区间为 ，减区间为 . …………………………4 分 （2） …………………………5 分 ①当 时，若 ，则 ， 此时 ， 在 上单调递增， 所以函数 在 处不可能取得极大值， 不合题意. …………………7 分 ②当 时， 极大值 函数 在 处取得极大值. …………………………11 分 综上可知， 的取值范围是 …………………………12 分 20.解:（1）由条件知， ， ， ……………2 分 0 1 2 3 1 2 3 5 3 3 3 3 8 8 15 1( 2) , ( 3)56 56 C C CP PC C ξ ξ= = = = = = 5 15 15 1 9( ) 0 1 2 328 28 56 56 8E ξ = × + × + × + × = ( )f x ( )0, ∞+ 0a = ( ) ( ) ( ) 2 1, ' xx e xef x f xx x −= = ( ) 0f x > 1x > ( )' 0f x < ( )f x ( )1,+∞ ( )0,1 ( ) ( )( ) 2 1 ' xe a x f x x − − = a e≤ ( )1,x∈ +∞ 0x xe a e e− ≥ − > ( ) ( )( ) 2 1 ' 0 xe a x f x x − − = > ( )f x ( )1,+∞ ( )f x 1x = a e≤ a e> ln 1a > x ( )0,1 1 ( )1,ln a ( )'f x + 0 − ( )f x ( )f x 1x = a ( , .)e +∞ 10x = 17 6y = ξ P 5 28 15 28 15 56 1 56， …………… 4 分 从而 ， 故 关于 的线性回归方程为 . …………………6 分 （2）假设 7 月份的销售单价为 元，则由（1）可知，7 月份零配件销量为 ， 故 7 月份的利润 ， …………9 分 其对称轴 ，故 7 月份销售单价为 11.3 元时，该月利润才能达到最大. …………………12 分 21.解：（1）①由条件知 PQ 垂直平分 AB，若 则 ， 故 又 所以 ， 所求函数关系式为 . ………………3 分 ②若 则 所以 ， 所求函数关系式为 .…………………6 分 (3) 选择函数模型①， ， …………………………8 分 令 得 ，所以 ，当 时， 是 的减函数； 当 时， 是 的增函数； …………………………10 分 所 以 当 时 ， . 这 时 点 位 于 线 段 AB 的 中 垂 线 上 ， 且 距 离 AB 边 处. …………………………12 分 （若选择②请自行解答） 2 17168.24 6 10 886ˆ 0.30605.82 6 10 291b − × × = = − ≈ −− × 17 88ˆ 10 5.866 291a  = − − × ≈   y x ˆ 0.30 5.86y x= − + x ˆ 0.30 5.86y x= − + ( )( ) 20.3 5.86 3 0.3 6.76 17.58x x x xω = − + − = − + − 33.8 11.33x = ≈ ( ),BAO radθ∠ = 10 cos cos AQOA θ θ= = 10 ,cosOB θ= 10 10tan ,OP θ= − 10 10 10 10tancos cosy OA OB OP θθ θ= + + = + + − 20 10sin 10(0 )cos 4y θ πθθ −= + < ≤ ( ),OP x km= 10 ,OQ x= − 2 2 2(10 ) 10 20 200OA OB x x x= = − + = − + 22 20 200(0 10)y x x x x= + − + < ≤ 2 10cos cos (20 10sin )( sin ) cosy θ θ θ θ θ − ⋅ − − −′ = 2 10(2sin 1) cos θ θ −= 0y′ = 1sin 2 θ = 6 πθ = (0, )6 πθ ∈ 0,y′ < y θ ( , )6 4 π πθ ∈ 0,y′ > y θ 6 πθ = min 10 10 3y = + 10 3 km322.(12 分） 解：（1）当 时， ，定义域为 ，则 ， 令 ，得 ，令 ，得 ， ……………2 分 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 . ……………3 分 （2） 函数 在区间 上无零点， 在区间 上， 恒成立或 恒成立， ， ，……………5 分 ①当 时， ， 在区间 上， ， 记 ， 则 ， ……… ……… ……………7 分 在区间 上， ， 在区间 上， 单调递减， ， 即 ， ， 即 在区间 上恒成立，满足题意； ……………9 分 ②当 时， ， ， ， 1a = ( ) 1 2lnf x x x= − − ( )0, ∞+ ( ) 21f x x ′ = − ( ) 0f x′ > 2x > ( ) 0f x′ < 0 2x< < ∴ ( )f x ( )0,2 ( )2,+∞  ( )f x 10, 2      ∴ 10, 2      ( ) 0f x > ( ) 0f x < ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 1 ln 2 1 2lnf x a x x a a x x= − − + + = − − − ( ) ( )1 1 1 12 2 1 ln 4ln 2 22 2 2 2f a a a   = − ⋅ − + + = + −       1 02f   ≥   2 4ln 2a ≥ − 10, 2      ( ) ( )( ) ( )( )2 1 2ln 4ln 2 1 2lnf x a x x x x= − − − ≥ − − − ( ) ( )( )4ln 2 1 2lnxg x x− − −= ( ) 1 14ln 2 1 2ln 02 2 1 2g  − −  =  −   = ( ) 24ln 2g x x ′ = − 10, 2      ( ) 24ln 2 4ln 2 4 0xg x =   ( )( )4ln 2 1 2ln 0x x− − − > ∴ ( ) ( )( )4ln 2 1 2ln 0f x x x≥ − − − > ( ) 0f x > 10, 2      1 02f   > 2 1 0ae − + > ∴ ( ) ( )( )2 22 1 0a af e a e− −= − + > ∴ ( )f x 2 1, 2 ae −     ( )f x 10, 2      2 4ln 2a ≥ −