2019-2020高二数学（文）下学期期中试题（Word版附答案）

一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1．点 M 的直角坐标(3，－4)化为极坐标(ρ，θ) (ρ≥0,0≤θ＜2π)，则 （A）ρ＝3，θ＝4 （B）ρ＝5，θ＝4 （C）ρ＝5，tanθ＝4 3 （D）ρ＝5，tanθ＝－4 3 2．已知复数 z＝i (1+ i)（i 为虚数单位），则|z|＝ （A） （B） （C） （D） 3．某演绎推理的“三段”分解如下： ①函数 是对数函数；②对数函数 （a＞1)是增函数；③函数 是增函数，则按照演绎推理的三段论模式，排序正确的是 （A）①→②→③ （B）③→②→① （C）②→①→③ （D）②→③→① 4．在用反证法证明命题:“若 ,则 a,b,c 三个数中至少有一个大于 0”时，正确的反设 为:设 a,b,c 三个数 （A）都小于 0 （B）都小于或等于 0 （C）最多一个小于 0 （D）最多一个小于或等于 0 5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是 2 3 2 3 ( ) l gf x x= l ogay x= ( ) l gf x x= 0a b c+ + > 2019-2020 学年度下学期高二年 级 期中考试数学（文）试卷（A） （B） （C） （D）1 6．101110(2)转化为八进制数是 （A）46(8) （B）56(8) （C）67(8) （D）78(8) 7．设 x＞0，y＞0，且 x＋y＝3，则 2x＋2y 的最小值是 （A）8 （B） 6 （C）3 2 （D） 4 2 8．函数 y＝|x＋4|＋|x＋6|的最小值为 （A）2 （B） （C）4 （D）6 9．观察下列各式： ， ， ，…，则 的末两位数字为 （A）49 （B）43 （C）07 （D）01 10．已知正实数 a，b，c，d 满足 a＋b＝1，c＋d＝1，则 的最小值是 （A）10 （B） （C） （D）9 1 2 2 3 8 9 2 27 49= 37 343= 47 2401= 10097 1 1 abc d + 4 2 3 311．已知椭圆 与双曲线 有相同的左右 焦点 ．若点 是 在第一象限内的交点，且 ，设 的离心率分 别为 ，则 的取值范围是 （A） （B） （C） （D）以上答案都不对 12．直线 分别与曲线 ， 交于两点 M、N，则|MN|的最小值为 （A）ln2 （B）1＋ln2 （C）1－ln2 （D）1 二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．设 i 为虚数单位，则复数 的共轭复数 ________． 14．已知下列说法：①若 a＞|b |，则 a2＞b2；②若 a＞b，则 ；③若 a＞b，则 a 3＞　　 b3；④若 a＜0，－1＜b＜0，则 ab2＞a．其中正确的是__________．(只填序号即可) 15．在极坐标系中，曲线 ρ(cosθ＋sinθ)＝1 与 ρ(cosθ－sinθ)＝1 的交点的极坐标为________．(ρ ≥0,0≤θ＜2π) 16．已知直线 和直线 ，抛物线 上一动点 到直线 和直线 的距离之和的最小值是__________． 三、解答题（本大题有 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 10 分）在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换Error!后， 曲线 C 变为曲线(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1，求曲线 C 的方程，并判断其形状． )01: 112 1 2 2 1 2 1 >>=+ ba b y a xC （ 2 2 2 2 22 2 2 2 : 1 0, 0)x yC a ba b − = > >（ 21,FF P 21 CC 与 221 2 PFFF = 21 CC 与 21,ee 21 ee + 1 ,3  +∞    3 ,2  +∞   3 ,2  +∞  y a= xy e= ln 1y x= + 2 )z −= i i ( 1+i z = 1 1 a b < 1 : 4 3 6 0l x y− + = 2 : 1l x = − 2 4y x= P 1l 2l18．（本小题满分 12 分）已知 ， ，若 ，用综合法证明：a＋b≥9． 19．（本小题满分 12 分）设函数 ． （Ⅰ）当 时，求不等式 的解集； （Ⅱ）若 恒成立，求 的取值范围． 20．（本小题满分 12 分） 市某机构为了调查该市市民对我国申办某体育赛事的态度， 随机选取了 位市民进行调查，调查结果统计如下： 支持 不支持 合计 男性市民 60 女性市民 50 合计 70 140 （Ⅰ）根据已知数据，把表格数据填写完整； （Ⅱ）利用（Ⅰ）完成的表格数据回答下列问题： （i）能否在犯错误的概率不超过 的前提下认为支持申办某体育赛事与性别有关； 0a > 0b > 1 4 1a b + = ( ) 5 2f x x a x= − + − − 1a = ( ) 0≥f x ( ) 0≤f x a A 140 0.001（ii）已知在被调查的支持申办某体育赛事的男性市民中有 位退休老人，其中 位是教 师，现从这 位退休老人中随机抽取 人，求至多有一位老师的概率． 附： ，其中 ． 21．（本小题满分 12 分）已知椭圆 ： 的离心率为 ，椭圆 的 下顶点和上顶点分别为 ， ，且 ．过点 且斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点． （Ⅰ）求椭圆 的标准方程； （Ⅱ）当 时，求 的面积； （Ⅲ）求证：不论 为何值，直线 与直线 的交点 恒在一条定直线上． 22．（本小题满分 12 分）已知函数 f (x)＝mex－ln x－1． （Ⅰ）当 m＝1 时，求曲线 y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程； 5 2 5 3 ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + 2 0( )P K k> 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 C ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 2 2 C 1B 2B 1 2 2B B = ( )0,2P k l C M N C 2k = OMN∆ k 1B M 2B N T （Ⅱ）当 m≥1 时，证明：f (x)＞1． 参考答案 二、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D A C B C B D A C D B D 二、填空题（本大题有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 14. ①③④ 15. (1,0) 16. 2 三、解答题（本大题有 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.解：将Error!代入(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1，得(2x－5)2＋(2y＋6)2＝1，化简得 (x－5 2 )2＋(y＋3)2 ＝1 4.曲线 C 是以(5 2，－3)为圆心，半径为1 2的圆． 18.解：因为 ， ，且 ， 所以 ， 当且仅当 时取等号，所以 ． 19. 解：（1）当 时， 可得 的解集为 ． （2） 等价于 ． 而 ，故 等价于 ． 由 可得 或 ，所以 的取值范围是 ． 20. （1） 支持 不支持 合计 3 1 2 2 i− + 0a > 0b > 1 4 1a b + = ( ) 1 4 4 41 4 5 2 9≥b a b aa b a b a b a b a b  + = + + = + + + + ⋅ =   2 6a b= = 9a b+ ≥ 1a = ( ) 0f x ≥ { | 2 3}x x− ≤ ≤ ( ) 1f x ≤ 2 4x a x+ + − ≥ 2 2x a x a+ + − ≥ + ( ) 1f x ≤ 2 4a + ≥ 2 4a + ≥ 6a ≤ − 2a ≥ a ] [( ), 6 2,−∞ − ∪ +∞ 2019-2020 学年度下学期高二年 级 期中考试数学（文）试卷 ( ) 2 4, 1, 2, 1 2, 2 6, 2. x x f x x x x + ≤ − = − < ≤ − + >男性市民 40 20 60 女性市民 30 50 80 合计 70 70 140 （2）（i）因为 的观测值 ， 所以能在犯错误的概率不超过 的前提下认为支持申办足球世界杯与性别有关. （ii）记 人分别为 ， ， ， ， ，其中 ， 表示教师，从 人中任意取 人的情况有 10 种，其中至多有 位教师的情况有 7 种， 故所求的概率 . 21. 解：（1）由 ，得 由 得 所以椭圆 的标准方程为 （2）当 时，直线 的方程为 联立方程 得 设 ，则有 所以 点 到直线 的距离为 所以 2K ( ) ( )( )( )( ) 2n ad bck a b c d a c b d −= + + + + ( )2140 40 50 30 20 11.667 10.82860 80 70 70 × × − ×= ≈ >× × × 0.001 5 a b c d e a b 5 3 1 7 10P = 1 2 2 2B B b= = 1b = 2 2 21 2 c be a a = = − = 2a = C 2 2 12 x y+ = 2k = l 2 2y x= + 2 2 2 2 12 x x y y + + = =  29 16 6 0x x+ + = ( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y 1 2 1 2 16 2,9 3x x x x+ = − = 216 8 10 25 9 3 9MN   = − − =      O l 2 2 5 55 = 1 10 2 2 5 2 10 2 9 5 9OMNS∆ = × × =（3）直线 的方程为 由 得 由 得 设 ，则有 因为 ，设 由 三点共线得 ① 由 三点共线得 ② 由 得 所以可得 ，即 故可得点 恒在直线 上. 22. 解：(1)当 m＝1 时，f(x)＝ex－lnx－1， 所以 f′(x)＝ex－ 1 x，所以 f(1)＝e－1，f′(1)＝e－1, 所以曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 y－(e－1)＝(e－1)(x－1)，即 y＝(e－1)x. (2)证明：当 m≥1 时，f(x)＝mex－lnx－1≥ex－lnx－1. 要证明 f(x)>1，只需证明 ex－lnx－2>0. 设 g(x)＝ex－lnx－2，则 g′(x)＝ex－ 1 x. 设 h(x)＝ex－ 1 x，则 h′(x)＝ex＋1 x2>0， 所以函数 h(x)＝g′(x)＝ex－ 1 x在(0，＋∞)上单调递增． 因为 g′(1 2 )＝e 1 2－20， 所以函数 g′(x)＝ex－ 1 x在(0，＋∞)上有唯一零点 x0，且 x0∈(1 2，1 ). l 2y kx= + 2 2 2 12 kx x y y + + = =  ( )2 22 1 8 6 0k x kx+ + + = ( )2 264 4 2 1 6 0k k∆ = − + × > 2 3 2k > ( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y 1 2 1 22 2 8 6,2 1 2 1 kx x x xk k −+ = =+ + ( ) ( )10,1 , 0, 1B B − ( ),T m n 1, ,T M B 1 1 1 1 1 +1 31 3y kxn km x x x ++ = = = + , ,T N B 2 2 2 2 2 1 11 1y kxn km x x x − +− = = = + + ×① ② 3 2 1 2 1 2 2 833( )1 3 3 2 14 4 06 2 1 k x xn n kk km m x x k −×++ − ++ = + = + = + 4 2 0n − = 1 2n = T 1 2y =因为 g′(x0)＝0，所以 ex0＝ 1 x0，即 lnx0＝－x0. 当 x∈(0，x0 )时，g′(x)0. 所以当 x＝x0 时，g(x)取得最小值 g(x0 ). 故 g(x)≥g(x0 )＝ex0－lnx0－2＝ 1 x0＋x0－2>0. 综上可知，当 m≥1 时，f(x)>1.