2019-2020高二数学（理）下学期期中试题（Word版附答案）

一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） （1）已知 为虚数单位，设复数 满足 ，则 = （A）3 （B）4 （C） （D）10 （2）若点 M 的直角坐标是 ，则点 M 的极坐标为 （A） （B） （C） （D） （3）设 （ 是虚数单位），则 （A） （B） （C） （D） （4）阅读右面的程序框图，则输出的 S＝ （A）14 （B）20 （C）30 （D）55 （5）用“辗转相除法”求得 459 和 357 的最大公约数是 （A）3 （B）17 （C）51 （D）103 （6）用秦九韶算法计算多项式 在 时的 值时， 的值为 （A）－845 （B）220 （C）－57 （D）34 （7）若 ，则 的最小值为 （A） （B） （C）1 （D） （8）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于 60°”时，假设正确的是 （A）假设三内角都不大于 60° （B）假设三内角都大于 60° i z i 3z + = z 10 ( 1, 3)− (2, )3 π (2, )3- π 2(2, )3 π (2,2 ) ( )3k k Z ππ + ∈ 1 iz = + i 22 =zz + 1 i+ 1 i− + 1 i− 1 i− − 2 3 4 5 6( ) 12 35 8 79 6 5 3f x x x x x x x= + − + + + + 4x = − 3v 0x > 2 1 2x x + 3 2 3 3 3 2 2019-2020 学年度下学期高二年级 期中考试数学（理科）试卷 （C）假设三内角至多有一个大于 60° （D）假设三内角至多有两个大于 60° （9）极坐标方程 表示的图形是 （A）两条直线　　　　　　　　 （B）两个圆 （C）一条直线和一条射线 （D）一个圆和一条射线 （10）已知不等式 对任意正实数 恒成立，则正实数 的最小值为 （A）2 （B）4 （C）6 （D）8 （11）已知 ， ，则 的最小值是 （A） （B） （C）2 （D）1 （12）直线 与椭圆 相交于 A，B 两点，该椭圆上点 P 使得△PAB 的 面积等于 4，这样的点 P 共有 （A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4 个 二、填空题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把答案填写在答题纸上） （13）复数 的实部是 ． （14）已知曲线 的极坐标方程为 ，以极点为原点，极轴为 轴的正半轴，建立 平面直角坐标系，那么曲线 的直角坐标方程为 ． （15）参数方程 （t 为参数）的普通方程为 ． （16）已知点 在曲线 （ 为参数）上，则 的取值范围是 ． 三、解答题：（本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） （17）（本小题满分 10 分） 实数 分别取什么值时，复数 是： （Ⅰ）实数； （Ⅱ）虚数； （Ⅲ）纯虚数． ( 1)( ) 0 ( 0)≥ρ θ π ρ− − = 1( )( ) 9≥ax y x y + + ,x y a a b> 1ab = 2 2a b a b + − 2 2 2 3 4 12x y+ = 2 2 116 9 x y+ = 2i (1 i)+ C θρ sin2= x C 2( ) t t t t x e e y e e − −  = + = − ( , )P x y 2 cos sin x y θ θ = − +  = θ y x a 2 26 ( 2 15) i3 a az a aa − −= + − −+（18）（本小题满分 12 分） 解不等式： 。 （19）（本小题满分 12 分） 用数学归纳法证明： ． （20）（本小题满分 12 分） 已知曲线 的极坐标方程为 ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 轴的正半轴， 建立平面直角坐标系 ． （Ⅰ）若曲线 （t 为参数）与曲线 相交于两点 ，求 ； （Ⅱ）若 是曲线 上的动点，且点 的直角坐标为 ，求 的最大值． （21）（本小题满分 12 分） 已知函数 ． （Ⅰ）若不等式 的解集为 ，求实数 的值； （Ⅱ）若不等式 ，对任意的实数 恒成立，求实数 的最小值． 31 1 2 ≥x x+ − − 2 2 2 ( 1)(2 1)1 2 *6 n n nn n + ++ + + = ∈… ( N ) 1C 1ρ = x xOy 2 1: 2 x tC y t = +  = + 1C ,A B AB M 1C M ( , )x y 2x y+ ( ) 2 1f x x= − 1( ) 2 1( 0)2 ≤f x m m+ + > [ ]2,2− m ( ) 2 2 32 ≤ y y af x x+ + + ,x y ∈R a（22）（本小题满分 12 分） 已知 ， ． （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）若 ，求证： ． 1| 2 | 1x − < 2| 2 | 1x − < 1 2| | 2x x− < 2( ) 1f x x x= − + 1 2 1 2 1 2| | | ( ) ( ) | 5| |≤ ≤x x f x f x x x− − − 2019-2020 学年度下学期 高二年级数学（理科）期中考试参考答案 一、 选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C C A C C C D B D B A B 二、填空题 （13）－1 （14） （15） （16） 三、解答题 17．解： 实部 ，虚部 . （Ⅰ）当 时， 是实数； （Ⅱ）当 ，且 时， 是虚数； （Ⅲ） 当 或 时是纯虚数． 18．解： （Ⅰ）当 时， ，∴原式恒成立。 （Ⅱ）当 时， ，原式化为原式化为 ，即 。 （Ⅲ）当 时， ，原式无解。 综上，不等式的解集为 19．证明： （1）当 时，左边 ，右边 ，等式成立。 （2）假设当时等式成立，即 ， 那么， 2 2 2 0x y y+ − = 2 2 1 ( 2)4 16 x y x− = ≥ 3 3,3 3  −    3 )3)(2( 3 62 + −+=+ −− a aa a aa )5)(3(1522 −+=−− aaaa 5a = z 5a ≠ 3a = − z 2a = − 3a = 1x ≥ ( )1 1 2x x+ − − = 1 1x− < < 1 1 2x x x+ − − = 32 2x ≥ 3 14 x≤ < 1x ≤ − 1 1 2x x+ − − = − 3 4  + ∞ ， 1n = 1= 1 2 3 16= = × × 2 2 2 ( 1)(2 1)1 2 6 k k kk + ++ + + =即当 时等式也成立，根据（1）（2），可知等式对任何 都成立。 20．解： （Ⅰ） 化为直角坐标方程为 ， （t 为参数）化为普通方程为 ， ∴弦长 。 （Ⅱ） 在曲线 上，设 （ 为参数）， 则 ，其中 ，所以 的最大值为 。 21. 解： （Ⅰ）由题意，知不等式 解集为 由 ，得 ，所以，由 ，解得 ． （Ⅱ）不等式 等价于 ， 由题意知 ． 因为 ， 所以 ，即 对任意 都成立，则 ． 而 ，当且仅当 ，即 时等号成立， 故 ，所以实数 的最小值为 4． 1 : 1C ρ = 2 2 1 : 1C x y+ = ( ),M x y 1C | 2 | 2 1( 0)x m m≤ + > [ 2,2]− | 2 | 2 1x m≤ + 1 1 2 2m x m− − ≤ ≤ + 1 22m + = 3 2m = ( ) 2 | 2 3|2 y y af x x≤ + + + | 2 1| | 2 3| 2 2 y y ax x− − + ≤ + max(| 2x 1| | 2x 3|) 2 2 y y a− − + ≤ + | 2 1| | 2 3| | (2 1) (2 3) | 4x x x x− − + ≤ − − + = 2 42 y y a+ ≥ [2 (4 2 )]y ya ≥ − y R∈ max[2 (4 2 )]y ya ≥ − 22 (4 2 )2 (4 2 ) [ ] 42 y y y y + −− ≤ = 2 4 2y y= − 1y = 4a ≥ a 2 2 2 2 2 2 2 1 2 ( 1) ( 1)(2 1) ( 1)6 ( 1)(2 1) 6( 1) 6 ( 1)(2 7 6) 6 ( 1)( 2)(2 3) 6 ( 1)[( 1) 1][2( 1) 1] 6 k k k k k k k k k k k k k k k k k k k + + + + + + += + + + + + += + + += + + += + + + + +=  1n k= + *n N∈ 2 1: 2 x tC y t = +  = + 1 0x y− + = 2AB = cos sin x y θ θ =  = θ 2 cos 2sin 5sin( )x y θ θ θ ϕ+ = + = + 1tan 2 ϕ = 2x y+ 5而 ，当且仅当 ，即 时等号成立， 故 ，所以实数 的最小值为 4． 22．证明： （Ⅰ）∵ ， ∴ 。 （Ⅱ） ， ∵ ，∴ ，即 ， 同理 ，∴ ， ∵ ，∴ ， , ≤ ≤5 ∴ 。 22 (4 2 )2 (4 2 ) [ ] 42 y y y y + −− ≤ = 2 4 2y y= − 1y = 4a ≥ a |2||2||)2()2(||| 212121 −+−≤−−−=− xxxxxx 2|| 21