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2020 届高三年级 7 中、10 中联考数学试卷（文）
（考试时间：120 分钟 满分：150 分）
命题学校：
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。每小题只有一个正确答案，请把正确答案涂在
答题卡上）
1．设集合 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
2.下列说法正确的是（ ）
A. 命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”
B. 命题“ ”的否定是“ ”
C. 命题“若 ，则 ”的逆否命题为假命题
D. 若“ 或 ”为真命题，则 ， 中至少有一个为真命题
3.函数 的零点个数是 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4. 已知 ，则（ ）
A． B. C. D.
5.函数 的定义域为( )
A． B． C． D．
6．等比数列{ }的各项均为正数，且 ＝27，则
＝（ ）
A．12 B．10 C．8 D．2＋
7.已知 ， 为 的导函数，则 的图象是（ ）
na 5 6 4 7 3 8a a a a a a+ + 3 1 3 2 3 3 3 10log log log loga a a a+ + +⋅⋅⋅+
3log 5
{ } { }>1 , | ( 2) 0A x x B x x x= = − < BA
{ | 2}x x > { } 0 2x x< < { } 1 2x x< < { | 0 1}x x< <
2 1x = 1x = 2 1x = 1x ≠
2
0 0 0, 1 0x R x x∃ ∈ + − < 2, 1 0x R x x∀ ∈ + − >
x y= sin sinx y=
p q p q
xexf x 3)( +=
3
1log,3
1log,2
2
12
3
1
=== −
cba
cba >> bca >> bac >> abc >>
1( ) 1 2
3
xf x
x
= − +
+
( 3,0]− ( 3, 1]− − ( , 3) ( 3,0)−∞ − ∪ − ( , 3) ( 3,1)−∞ − ∪ −
( ) 21 cos4f x x x= + ( )f x′ ( )f x ( )f x′数学试卷 第 2 页 共 7 页
8.为了得到函数 的图象，可以将函数 的图象（ ）
A.向左平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度
B.向右平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度
C.向左平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度
D.向右平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度
9.直线 与曲线 相切于点 ，则 的值为( )
A． B． C． D．
10. 函 数 是 上 的 奇 函 数 ， 满 足 ， 当 时 ， 则 当
时， （ ）
A． B． C． D．
11.已知非零向量 满足 ，若函数 在 R上存在极值，则 和
夹角的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
12.已知定义在 上的可导函数 的导函数为 ，满足 ，则不
等式 (其中 e 为自然对数的底数）的解集为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分).
13.已知向量 ，若 ，则 m 的值是______ ．
14.已知函数 ，则满足 的 的取值范围是______ ．
15.设α为锐角，若 cos（α+ ）= ，则 sin（2α+ ）的值为______．
1+= kxy baxxy ++= 3 )3,1(A ba +2
2 1− 1 2−
( )y f x= R (3 ) (3 )f x f x+ = − ( )0,3x∈ ( ) 2xf x =
( )6, 3x∈ − − ( )f x =
62x+ 62x+− 62x− 62x−−
,a b 2a b= 3 21 1( ) 13 2f x x a x a bx= + + • + a b
0, 6
π
2,3 3
π π
2,3 3
π π
,3
π π
R ( )y f x= ( )f x′ ( ) ( ) 1, (0) 2019f x f x f′ − > =
( ) 2020 1xf x e> −
( ),0 (0, )−∞ ∪ +∞ ),2020( +∞ ( )0,+∞ ( ),0 (2020, )−∞ ∪ +∞
( ) 1
2
2 , 1
1 log , 1
x xf x
x x
− ≤= − >
( ) 2f x ≤ x数学试卷 第 3 页 共 7 页
16． 已知函数 ，若 互不相等，且 ，
则 的取值范围为____________________(用区间表示)
三、 解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （本小题满分 10 分）已知等差数列{an}满足：a4=7，a10=19，其前 n 项和为 Sn．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式 an 及 Sn；
（Ⅱ）若 bn = ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn．
18.（本小题满分 12 分）.函数 f(x) = Asin(ωx+φ)+B 的部分图象如图所示，其中 A>0，ω>0，|φ
|< ．
（Ⅰ）求函数 y = f(x)解析式；
（Ⅱ）求 x∈[0, ]时，函数 y = f(x)的值域.
19.（本小题满分 12 分）已知数列 的前 n 项和为 ，且 ．
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，求数列 的前 n 项和 ．
3
3
| log |, 0 3( ) 2 log , 3
x xf x x x
< ≤= − > , ,a b c ( ) ( ) ( )f a f b f c= =
a b c+ +
nT数学试卷 第 4 页 共 7 页
20.（本小题满分 12 分）在 中，角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,满足
（Ⅰ）求角 C;
（Ⅱ）若 D 为 AB 的中点，CD=1，a=2，求 的面积.
21.（本小题满分 12 分）已知函数 ，其中 ，且曲线 在点 处
的切线垂直于直线 .
（Ⅰ）求 a 的值；
（Ⅱ）求函数 的单调区间与极值．
22.（本小题满分 12 分）已知函数 ．
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）若 都属于区间 且 ， ，求实数 的取值范围.
2020 届高三年级 7 中、10 中联考数学（文科）试卷
参考答案
2( ) 2lnf x x ax= −
( )f x
α β、 [ ]1,4 , 1β α− = ( ) ( )f fα β= a
ABC∆ .2cos2 baBc +=
ABC∆
3( ) ln4 2
x af x xx
= + − −
1
2y x=数学试卷 第 5 页 共 7 页
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．
1-5、CDBCA 6-10、BADCB 11-12、DC
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13.-3 14. 15. 16.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．
17．（本小题满分 10 分）
[解]（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为 d，则 ，
解得：a1=1，d=2，
∴an=1+2（n-1）=2n-1，
Sn ．---5 分
（Ⅱ）bn ，
∴数列{bn}的前 n 项和为 Tn
---10 分
18．（本小题满分 10 分）
[解]（Ⅰ）根据函数 f（x）=Asin（ωx+ϕ）+B 的一部分图象，其中 A＞0，ω＞0，|φ|＜ ，
可得 A=4-2=2，B=2， ，∴ω=2．
又 2• +φ= ，∴φ= ，∴f（x）=2sin（2x+ ）+2．---6 分
（Ⅱ）∵x∈[0， ]，∴2x+ ∈[ ， ]，∴sin（2x+ ）∈[- ，1]，∴y=f（x）∈[1，4]．---12 分
19．（本小题满分 12 分）
[解] （Ⅰ）
时， ，即 ，解得 ； 时，
由 得，所以
数列 是首项为 ，公比为 2 的等比数列，即 ----6 分
(Ⅱ)
[0, )+∞
50
217 19( ,11)3
2
2
)121( nnn =−+=
)12
1
12
1(2
1
)12)(12(
11
1 +−−=+−==
+ nnnnaa nn
12)12
11(2
1)12
1
12
1()5
1
3
1()3
11(2
1
+=+−=
++−+−+−=
n
n
nnn
2
π
612
52
4
1
4
ππ
ω
π −=•=T
6
π
2
π
6
π
6
π
2
π
6
π
6
π
6
7π
6
π
2
1
142 −= nn aS
2
1 21 222
1 −− =×= nn
na
222 32
1 −=−= −
+
n
nnn aab数学试卷 第 6 页 共 7 页
---12 分．
20．（本小题满分 12 分）
[解]（Ⅰ）由 得 化简得
故 ,又 C 故 C= ----6 分
（Ⅱ）设 AD=BD=x，则
化简得 ① 又
即 ② 由①②得
故 的面积 ------12 分
21．（本小题满分 12 分）
[解]（Ⅰ） ，
，
曲线 在点 处的切线垂直于直线 ．
，
解得： ．------6 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知： ，
令 ，
解得 ，或 (舍)
当 时， ，当 时， ，
nnnbbbbT n
n
n
nn 2)14(6
1241
)41(222222
1
32311
321 −−=−−
−×=−++++=++++=∴
−
−−
,2cos2 baBc += ,222
222
baac
bcac +=−+⋅ ,222 cbaab −+=−
2
1
22cos
222
−=−=−+=
ab
ab
ab
cbaC ),,0( π∈
3
2π
x
xBDCx
bxADC 2
41cos2
1cos
222 −+−=∠−=−+=∠
,22 22 += bx 2
1
4
44
2cos
22222
−=−+=−+=∠
b
xb
ab
cbaACB
,442 22 xbb =++ 24242 22 =∴+=++ bbbb
ABC∆ 32
3222
1sin2
1 =×××=∠= ACBabS
2
3ln4)( −−+= xx
axxf
)(xfy = ))1(,1( f xy 2
1=
4
5=a
2
3ln4
5
4)( −−+= xx
xxf
5=x 1−=x
)5,0(∈x ),5( +∞∈x数学试卷 第 7 页 共 7 页
故函数 f(x)的单调递增区间为 ；
单调递减区间为(0,5)；
当 时，函数取极小值 ．------12 分
22．（本小题满分 12 分）
[解]Ⅰ）
当 时， 在 上恒成立，则 在 上单调递增；
当 时，由 得 ； 由 得 ；
则 在 上单调递增，在 上单调递减；
综上，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减．---5 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当 时， 在 上单增，不合题意，故 ．
由 则 ，即
即
设
在 上恒成立；所以 在 上递增，
由 式，函数 在 有零点，则
故实数 的取值范围为 ．------12 分
),5( +∞
5=x 5ln−
( )22 2( ) 0axf x xx
−′ = >
01 0a ≤ ( ) 0f x′ > (0, )+ ∞ ( )f x (0, )+ ∞
02 0a > ( ) 0f x′ > 10 x
a
< < ( ) 0f x′ < 1x
a
>
( )f x 1(0, )
a
1( , )
a
+ ∞
0a ≤ ( )f x (0, )+ ∞
0a > ( )f x 1(0, )
a
1( , )
a
+ ∞
0a ≤ ( )f x [1,4] 0a >
( ) ( )f fα β= 2 22ln 2lna aα α β β− = − 2ln 2ln ( ) 0aα β α β− + + =
2ln 2ln( 1) (2 1) 0aα α α− + + + = [1,3]α ∈ ( )∗
( ) 2ln 2ln( 1) (2 1)h x x x a x= − + + + [1,3]x∈
2 2( ) 2 01h x ax x
′ = − + >+ (1,3) ( )h x [1,3]
( )∗ ( )h x [1,3]
(1) 0 2ln 2 3 0 2 4 2ln ln 2(3) 0 2ln3 2ln 4 7 0 7 3 3
h a ah a
≤ − + ≤ ⇒ ⇒ ≤ ≤ ≥ − + ≥
a 2 4 2[ ln , ln 2]7 3 3
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