绝密 ★ 启用前
附中 2020 届高三五月下模拟试卷
理 科 数 学
注意事项：
1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自
己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知 是虚数单位，复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．正项等比数列 中， ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
4．执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）
A． B． C．2 D．
5．“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．正三棱柱 中， ， ，该三棱柱的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知向量 ， ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．若直线 始终平分圆 的周长，则 的最小
值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数 ，下列结论错误的是（ ）
A． 的最小正周期为
B．曲线 关于直线 对称
C． 在 上单调递增
D．方程 在 上有 4 个不同的实根
10．已知 三内角 的对边分别为 ，且 ，若角 平分线
段 于 点，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．设 ， 为两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ， ，则
12．已知直线 分别与函数 和 交于 两点，则 两点之
间的距离最小值是（ ）
A． B． C． D．
{ 1,1,2,3,5}A = − 2{ |1 log 40}B x x= ∈ < 2 2 2 4 16 0x y x y+ − − − = 1 2
a b
+
7
2 4 9
2 3 2
( ) 1 4sin cosf x x x= −
( )f x π
( )y f x= π
4x = −
( )f x π 5π,4 12
( ) 2f x = [ ]π,π−
ABC△ , ,A B C , ,a b c 3 cos sin 0c A a C+ = A
BC D 1AD = b c+
2 2 3 4 3 2
a b α β
a α∥ b α∥ a b∥ a α∥ b α⊥ a b⊥
a α∥ a β∥ α β∥ a α⊥ b β⊥ a b⊥ α β∥
y m= 1 1xy e += − ( )2 2 0y x x x= + > ,A B ,A B
1 ln 2− 2 ln 2− 1 2ln 2− 2 2ln 2−
此 卷 只 装 订 不 密 封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．若 的展开式中的常数项是_________．
14．一个书架的其中一层摆放了 本书，现要把新拿来的 本不同的数学书和 本化学书放入该
层，要求 本数学书要放在一起，则不同的摆放方法有________种．（用数字作答）
15．轴截面为正方形的圆柱，它的两底面圆周上的各点都在一个直径为 的球的球面上，则该圆柱
的体积为 ．
16．已知椭圆 的右焦点为 为椭圆在第一象限内的点，连接 并延长交椭圆于点
，连接 （ 为坐原点）并延长交椭圆于点 ，若 ，则点 的坐标为______．
三、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12 分）已知等差数列 的公差 ，且 ， ， ， 成等比数列，
若数列 满足 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
18．（12 分）为提高产品质量，某企业质量管理部门经常不定期地对产品进行抽查检测，现对某
条生产线上随机抽取的 100 个产品进行相关数据的对比，并对每个产品进行综合评分（满分 100
分），将每个产品所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为 80 分及以上的
产品为一等品．
（1）求图中 的值，并求综合评分的中位数；
（2）用样本估计总体，视频率作为概率，在该条生产线中随机抽取 3 个产品，求所抽取的产品中
一等品数的分布列和数学期望．
19．（12 分）如图，在多面体 中， ， ， 两两垂直，四边形 是边
长为 的正方形， ，且 ， ．
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值．
61( )2
x
x
−
7 2 1
2
4
2 2
14 3
x y+ = ,F A AF
B AO O C 3ABCS =△ C
{ }na 0d ≠ 1 2 3 6a a a+ + = 2a 4a 8a
{ }nb 1 *1 2
2 3 1
1 33 ,2 2
nn
n
bb b na a a
+
+
+ + + = × − ∈N
{ }na
{ }nb n nS
a
ABCGDEF AB AC AD ABED
2 AC DG EF∥ ∥ 1AC EF= = 2DG =
CF ⊥ BDG
F BC A− −
20．（12 分）已知椭圆 的离心率 ，右焦点到右顶点的距离为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2） ， 两点为椭圆 的左右顶点，푃为椭圆上异于 ， 的一点，记直线 ， 斜率分
别为 ， ，求 的值．
21．（12 分）已知函数 ．
（1）若函数 （ ， ）的定义域为 ，求实数 的取值范围；
（2）当 时，恒有不等式 成立，求实数 的取值范围．
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 1
2e = 1
C
A B C A B PA PB
PAK PBK PA PBK K⋅
( ) 2 2 1f x x ax= − +
( ) ( )logag x f x a= + 0a > 1a ≠ R a
0x > ( )
lnf x xx
> a
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以原点 为极点， 轴正
半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）写出直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
（2）已知点 ，直线 与曲线 相交于点 ，求 的值．
23．（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】
已知函数 ．
（1）若 ，求不等式 的解集；
（2）若 恒成立，求实数 的取值范围．
xOy l 5 2
x t
y t
= = +
t O x
C 2 cos2 4 0ρ θ + =
l C
(0, 5)A l C ,M N 1 1
| | | |AM AN
+
( ) ( )2 3 0f x x x a a= − + + >
1a = ( ) 3f x ≥
( ) 2 3
2f x a a≥ − + a
绝密 ★ 启用前
理科数学答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．【答案】C
【解析】因为 ， ，
所以 ．
2．【答案】A
【解析】 ，
．
3．【答案】A
【解析】设正项等比数列 的公比为 ， ， ，
∴ ， ，解得 ，
则 ．
4．【答案】A
【解析】 ， ；
， ；
， ；
， ；
， ，可以看出是周期为 的数列，
， ．
，终止循环，输出 ．
5．【答案】B
【解析】 ， ，若 ，则 ，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件．
6．【答案】D
【解析】外接球的球心在上下底面重心的连接线段的中点上，底面重心到棱柱顶点的距离为
，球心距底面的重心的距离为 ，外接球的半径 ，
所以该三棱柱的体积 ．
7．【答案】C
【解析】由题得 ． ，
， ．
8．【答案】C
【解析】∵直线 始终平分圆 的周长，
∴直线 过圆心 ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ．
9．【答案】C
【解析】 ，
作出 在 上的图象（先作出 的图象，
再利用平移变换和翻折变换得到 的图象），如图所示，
由图可知 A、B、D 正确，C 错误．
{ 1,1,2,3,5}A = − { }2{ |1 log 40} 2,3,4,5B x x= ∈ < < =N A B = {2,3,5} 2 2(1 i) (1 i) 2i 2i (1 i)1 i i(1 i) 1 i1 i 1 i (1 i) (1 i)zz − − − − ⋅ −= + ⇒ = = = = − − = − −+ + + ⋅ − 1 iz = − + { }na q 3 2a = 4 6 64a a⋅ = 2 1 2a q = 2 8 1 64a q = 2 4q = 8 1 2 9 10 256a a qa a + = =+ 1i = 3a = − 2i = 1 2a = − 3i = 1 3a = 4i = 2a = 5i = 3a = − 4 55i = 1 3a = 56i = 1 3a = cos 0A = sin 1A = ± sin 1A = cos 0A = cos 0A = sin 1A = 2 33 1 2 22 21( 3) 13 3R = + = 34 28 21ππ3 27V R= = 2 6 0x + = 3x∴ = − ( )2 2,1− = −a b ( )2 22 2 1 5− = − + =a b 2 0( , 0)ax by a b+ − = > 2 2 2 4 16 0x y x y+ − − − =
2 0ax by+ − = (1,2)
2 2 0a b+ − = 2 2a b+ =
0 0a b> >，
1 1 1 1 2 2 5 9( )2 ( 2 ) (1 4) 22 2
5
2 2
2
2
b a b a b aa ba b a b a b a b a b
+ = + + = + + + = + + ≥ + × =
( )
11 2sin 2 , sin 2 21 4sin cos 1 2sin 2 12sin 2 1, sin 2 2
x x
f x x x x
x x
− 1 1
2
2 1
x
e x
+
= + 1 1
2
2 1 1 1
x
AB x x e x
+
= − = − −
( ) 1
2 1
x
f x e x
+
= − − ( ) 1 1
21 12
x
f x e
+
′ = −
( ) 0f x′ = 2ln 2 1x = −
0 2ln 2 1x< < − ( ) 0f x′ < 2ln 2 1x > − ( ) 0f x′ >
2ln 2 1x = − ( )f x 2 2ln 2−
15
16
61( )2
x
x
−
4
2 2
6C 1 15( 1)2 16
− =
144
7 1
8C
2
2A
1 9 1
9C
1 2 1
8 2 9C A C 144= 144
4 2π
1
2
r 2r 2R r=
2 2 4r = 2r = 2 2h =
2π 4 2πV r h= =
31, 2
− −
( )1,0F AB 1x my= +
联立椭圆方程可得 ，
设 ， ，可得 ， ，
由 为 的中点，且 的面积为 ，
可得 的面积为 ，
，
即有 ，可得 ，
化为 ，即 ，
则 轴，可得 ，所以点 的坐标为 ．
三、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）因为 ，所以由等差数列的性质得 ，即 ，
因为 成等比数列，所以 ，
即 ，
又 ， ，所以 ， ，
所以 ．
（2）因为 ，
所以当 时， ，所以 ，
当 时，由 ，
得 ，
所以 ，
所以 ，
，
所以
，
所以 ．
18．【答案】（1） ，中位数为 ；（2）分布列见解析， ．
【解析】（1）由频率分布直方图的性质，可得 ，
解得 ．
令中位数为 ，则 ，
解得 ，
所以综合评分的中位数为 ．
（2）由（1）与频率分布直方图可知，一等品的频率为 ，
即概率为 ，
设所抽取的产品为一等品的个数为 ，则 ，
所以 ， ，
， ．
所以 的分布列为
( )2 24 3 6 9 0m y my+ + − =
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2 2
6
4 3
my y m
+ = − + 1 2 2
9
4 3y y m
= − +
O AC ABO△ 3
ABO△ 3
2
1 2
1 3
2 2ABO AOF BOFS S S OF y y= + = ⋅ ⋅ − =△ △ △
1 2 3y y− =
2
2 2 2
36 36 9(4 3 ) 4 3
m
m m
+ =+ +
4 29 8 0m m+ = 0m =
AB x⊥ 31, 2A
C 31, 2
− −
na n= 12 1 334 4
n
n
nS ++= × −
1 2 3 6a a a+ + = 23 6a = 2 2a =
2 4 8, ,a a a 2
2 8 4a a a=
( ) ( )2
2 2 26 2a a d a d+ = +
0d ≠ 2 2a = 1d = 1 1a =
na n=
11 2
2 3 1
1 332 2
nn
n
bb b
a a a
+
+
+ + + = × −
1n = 1
2
9 3 32 2
b
a
= − =
1 6b =
2n ≥
11 2
2 3 1
11 2
2 3
1 332 2
1 332 2
nn
n
nn
n
bb b
a a a
bb b
a a a
+
+
−
+ + + = × −
+ + + = × −
1
1
1 3 1 33 3 32 2 2 2
n n nn
n
b
a
+
+
= × − − × + =
( 1)3n
nb n= +
2
1 2 2 3 3 3 ( 1)3n
n nS b b b n= + + + = × + × + + +
2 3 13 2 3 3 3 ( 1)3n
nS n += × + × + + +
( )1
2 3 1 19 1 3
2 2 3 3 3 3 ( 1)3 6 ( 1)31 3
n
n n n
nS n n
−
+ +
−
− = × + + + + − + = + − +−
13 2 1 32 2
nn ++= − ×
12 1 334 4
n
n
nS ++= × −
0.040a = 82.5 ( ) 9
5E X =
( )0.005 0.010 0.025 0.020 10 1a+ + + + × =
0.040a =
x ( ) ( )0.005 0.010 0.025 10 0.040 80 0.5x+ + × + × − =
82.5x =
82.5
( )0.040 0.020 10 0.6+ × =
0.6
X 3~ 3, 5X B
( ) 3
0
3
2 80 C 5 125P X = = =
( ) 2
1
3
3 2 361 C 5 5 125P X = = × × =
( ) 2
2
3
3 2 542 C 5 5 125P X = = × × =
( ) 3
3
3
3 273 C 5 125P X = = =
X
0 1 2 3
所抽取的产品为一等品的数学期望 ．
19．【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【解析】（1）证明：因为 两两垂直， ， ，
所以 ， ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为四边形 为正方形，所以 ，
因为 ，所以 平面 ，
因为 ， ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，
所以 平面 ．
（2）由（1）知 互相垂直，故以 为坐标原点，以 所在直线分别为
轴建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ， ，
所以 ， ．
设 为平面 的法向量，则 ， ，
令 ，则 ， ，所以 ，
又因为 平面 ，所以 为平面 的一个法向量，
所以 ，
由图可知二面角 是钝角，
所以二面角 的余弦值为 ．
20．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）由题有 ，解得 ，
所以 ，
所以椭圆 的方程为 ．
（2）由（1）有 ， 两点坐标为 ， ，
设 坐标为 ，则直线 ， 斜率分别为 ， ，
所以 ，
又因为点 在椭圆 上，所以 ，化为 ，
所以 ．
21．【答案】（1） 且 ；（2） ．
【解析】（1）由题意可知， 在 上恒成立，
∴ ，∴ 且 ．
（2）∵ ，∴ ，
令 ，∴ ，
令 ，解得 ，
X
P 8
125
36
125
54
125
27
125
( ) 3 93 5 5E X = × =
6
6
−
AB AC AD， ， AC DG∥ AB DE∥
DG AD⊥ DG DE⊥ DG ⊥ ABED
AE ⊂ ABED DG AE⊥
ABED AE BD⊥
BD DG D= AE ⊥ BDG
AC EF∥ AC EF= AEFC //AE CF
CF ⊥ BDG
DE DG DA， ， D DE DG DA， ，
x y z， ， D xyz−
(0,0,0)D (0,0,2)A (2,0,2)B (0,1,2)C (2,1,0)F
(0, 1,2)FB = − (2, 1,0)CB = −
( ), ,a b c=m BCF
0
0
FB
CB
⋅ = ⋅ =
m
m
2 0
2 0
b c
a b
− + =
− =
1a = 2b = 1c = ( )1,2,1=m
AD ⊥ ABC ( )0,0,2DA = ABC
2 6cos 62 6
DA⋅ = =m
F BC A− −
F BC A− − 6
6
−
2 2
14 3
x y+ = 3
4PA PBK K⋅ = −
1
2
1
c
a
a c
=
− =
2
1
a
c
=
=
2 2 2 3b a c= − =
C
2 2
14 3
x y+ =
A B ( )2,0A − ( )2,0B
P ( , )x y PA PB 2PA
yK x
= + 2PB
yK x
= −
2
2 4PA PB
yK K x
⋅ = −
P C
2 2
14 3
x y+ =
2 2
2 3(4 )3(1 )4 4
x xy
−= − =
2
2
3(4 )
34
4 4PA PB
x
K K x
−
⋅ = = −−
1 50 2a
+< < 1a ≠ 1 5 15 ln2 2a +< − 2 2 1 0x ax a− + + > R
24 4 4 0Δ a a= − − < 1 50 2a +< < 1a ≠ ( ) lnf x xx > 1 ln 2x x ax
+ − >
( ) 1 lnh x x xx
= + − ( ) 2
1 1 1h x x x
′ = − − +
( ) 2
1 1 1 0h x x x
′ = − − + = 5 1
2x
+=
当 时， ， 递增；当 时， ， 递
减，
∴ ，∴ ．
22．【答案】（1） ， ；（2）4．
【解析】（1）由 （ 为参数），所以 ，
则直线 的普通方程为 ，
由 ，所以 ，
又 ， ，所以 ，
则曲线 的直角坐标方程为 ．
（2）由（1）可知，直线 参数方程标准形式为 （ 为参数），
将该方程代入曲线 的直角坐标方程，化简可得 ，
设点 ， 所对应的参数分别为 ， ，
所以 ， ，则 ， ，
所以 ，
则 ．
23．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）由题意得 ，
①当 时，由 ，得 ，所以 ；
②当 时，由 ，得 ，所以 ；
③当 时，由 ，得 ，所以 ，
综上所述：不等式 的解集为 ．
（2） 恒成立等价于 ，
，
等号成立条件是 ，
， ，解得 ，
又 ， ，
实数 的取值范围为 ．
1 2 1 2
1 1 1 1 1 1
| | | |AM AN t t t t
+ = + = − +
1 2
1 2
1 1 4| | | |
t t
AM AN t t
++ = − =
5 1,2x
+∈ +∞
( ) 0h x′ > ( )h x 5 10, 2x
+∈
( ) 0h x′ < ( )h x ( ) 5 1 5 15 ln2 2h x h + +≥ = − 1 5 15 ln2 2a +< − : 2 5 0l x y− + = 2 2: 4 0x yC − + = 5 2 x t y t = = + t 5 2y x= + l 2 5 0x y− + = 2 cos2 4 0ρ θ + = ( )22 2cos s 4 0inθ θρ +− = cos xρ θ = sin yρ θ = 2 2 4 0x y− + = C 2 2 4 0x y− + = l 5 5 2 55 5 x t y t = = + t C 23 20 5 0t t+ + = M N 1t 2t 1 2 20 3t t+ = − 1 2 5 3t t⋅ = 1 0t < 2 0t < ( ] 5,1 ,3 −∞ +∞ ( ]0,2 ( ) 33 2, 2 32 3 1 4, 1 2 3 2, 1 x x f x x x x x x x − ≥ = − + + = − + − ≤
微信/支付宝扫码支付