高三数学试题第 1 页（共 4 页）
南京市 2020 届高三年级第三次模拟考试
数 学
注意事项：
1．本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题~第 14 题）、解答题（第 15 题~第 20 题）两
部分．本试卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的
答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分. 不需写出解答过程，请把答案写在
答题卡的指定位置上）
1．已知集合 A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|1＜x＜3}，则 A∪B＝ ▲ ．
2．若 z＝
a
1＋i
＋i (i 是虚数单位)是实数，则实数 a 的值为 ▲ ．
3．某校共有教师 300 人，男学生 1200 人，女学生 1000 人，现用分层抽样从所有师生中抽
取一个容量为 125 的样本，则从男学生中抽取的人数为 ▲ ．
4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ▲ ．
5．将甲、乙、丙三人随机排成一行，则甲、乙两人相邻的概率为 ▲ ．
6．已知函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ) (其中 ω＞0，－
π
2
＜φ＜
π
2
)的部分图象如图所示，则 f(
π
2
)的值为
▲ ．
7．已知数列{an}为等比数列．若 a1＝2，且 a1，a2，a3－2 成等差数列，则{an}的前 n 项和
为 ▲ ．
8．在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线
x2
a2
－
y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为 F．若以 F 为
圆心，a 为半径的圆交该双曲线的一条渐近线于 A，B 两点，且 AB＝2b，则该双曲线的
离心率为 ▲ ．
（第 4 题图）
S←0
For i From 1 To 4
S←S＋i
End For
Print S
O x
y
2
−2
（第 6 题图）
－
π
3
2π
3高三数学试题第 2 页（共 4 页）
9．若正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 2，则三棱锥 A－B1CD1 的体积为 ▲ ．
10．已知函数 f(x)＝ {x＋2， x ≤ 0，
f(－x)，x＞0， g(x)＝f(x－2)．若 g(x－1)≥1，则 x 的取值范围为
▲ ．
11．在平面直角坐标系 xOy 中，A，B 是圆 O：x2＋y2＝2 上两个动点，且OA
→
⊥OB
→
．若 A，
B 两 点 到 直 线 l ： 3x ＋ 4y － 10 ＝ 0 的 距 离 分 别 为 d1 ， d2 ， 则 d1 ＋ d2 的 最 大 值 为
▲ ．
12．若对任意 a∈[e，＋∞) (e 为自然对数的底数) ，不等式 x≤eax＋b 对任意 x∈R 恒成立，
则实数 b 的取值范围为 ▲ ．
13．已知点 P 在边长为 4 的等边三角形 ABC 内，满足AP
→
＝λAB
→
＋μAC
→
，且 2λ＋3μ＝1，延
长 AP 交边 BC 于点 D．若 BD＝2DC，则PA
→
· PB
→
的值为 ▲ ．
14．在△ABC 中，∠A＝
π
3
，D 是 BC 的中点．若 AD≤
2
2
BC，则 sinBsinC 的最大值为
▲ ．
二、解答题:本大题共 6 小题，计 90 分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，
请把答案写在答题卡的指定区域内．
15．(本小题满分 14 分)
如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PAD⊥平面 ABCD，PA⊥PD，
E，F 分别为 AD，PB 的中点．
求证：（1）EF∥平面 PCD；
（2）平面 PAB⊥平面 PCD．
16．(本小题满分 14 分)
已知向量 m＝(cosx，sinx)，n＝(cosx，－sinx)，函数 f(x)＝m·n＋
1
2
．
F
E
P
B
D C
A
(第 15 题图)高三数学试题第 3 页（共 4 页）
（1）若 f(
x
2
)＝1，x∈(0，π)，求 tan(x＋
π
4
)的值；
（2）若 f(α)＝－
1
10
， α∈(
π
2
，
3π
4
)，sinβ＝
7
10
，β∈(0，
π
2
)，求 2α＋β 的值．
17．(本小题满分 14 分)
如图，港口 A 在港口 O 的正东 100 海里处，在北偏东方向有一条直线航道 OD，航道和
正东方向之间有一片以 B 为圆心，半径 8 5海里的圆形暗礁群（在这片海域行船有触
礁危险），其中 OB＝20 13海里，tan∠AOB＝2
3，cos∠AOD＝5．现一艘科考船以 10
5海里/小时的速度从 O 出发沿 OD 方向行驶，经过 2 个小时后，一艘快艇以 50 海里/
小时的速度准备从港口 A 出发，并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇．
（1）若快艇立即出发，判断快艇是否有触礁的危险，并说明理由；
（2）在无触礁危险的情况下，若快艇再等 x 小时出发，求 x 的最小值．
18．(本小题满分 16 分)
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：
x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a＞b＞0)经过点 (－2，0)和 (1，
3
2
)，椭圆 C 上三点 A，M，B 与原点 O 构成一个平行四边形 AMBO．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）若点 B 是椭圆 C 的左顶点，求点 M 的坐标；
(第 17 题图)
AO
D
东
北
B高三数学试题第 4 页（共 4 页）
（3）若 A，M，B，O 四点共圆，求直线 AB 的斜率．
19．(本小题满分 16 分)
已知函数 f(x)＝
ex
x2－ax＋a
(a∈R) ，其中 e 为自然对数的底数．
（1）若 a＝1，求函数 f(x)的单调减区间；
（2）若函数 f(x)的定义域为 R，且 f(2)＞f(a)，求 a 的取值范围；
（3）证明：对任意 a∈(2，4)，曲线 y＝f(x)上有且仅有三个不同的点，在这三点处的切线
经过坐标原点．
20．(本小题满分 16 分)
若数列{an}满足 n≥2，n∈N*时，a n≠0，则称数列{ an
an＋1}(n∈N*)为{a n}的“L 数
列”．
（1）若 a1＝1，且{an}的“L 数列”为{
1
2n
}，求数列{an}的通项公式；
（2）若 an＝n＋k－3(k＞0)，且{an}的“L 数列”为递增数列，求 k 的取值范围；
（3）若 an＝1＋pn－1，其中 p＞1，记{an}的“L 数列”的前 n 项和为 Sn，试判断是否存
在等差数列{cn}，对任意 n∈N*，都有 cn＜Sn＜cn＋1 成立，并证明你的结论．
(第 18 题图)
A
O
M
x
y
B高三数学试题第 5 页（共 4 页）
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数学附加题
注意事项：
1．附加题供选修物理的考生使用．
2．本试卷共 40 分，考试时间 30 分钟．
3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题
的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．
21．【选做题】在 A、B、C 三小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分．请在答卷
卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修 4—2：矩阵与变换
已知矩阵 A＝[1 －1
a 0 ]，a∈R．若点 P(1，1)在矩阵 A 的变换下得到点 P′(0，－2)．
（1）求矩阵 A；
（2）求点 Q(0，3)经过矩阵 A 的 2 次变换后对应点 Q′的坐标．
B．选修 4—4：坐标系与参数方程高三数学试题第 6 页（共 4 页）
在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为{x＝1＋cosθ，
y＝sinθ (θ 为参数)，直线 l 的参数
方程为{x＝ 3t，
y＝1＋t (t 为参数)，求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值．
C．选修 4—5：不等式选讲
已知 a，b 为非负实数，求证：a3＋b3≥ ab(a2＋b2)．
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答卷卡指定区域内作答．解
答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分 10 分）
如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB⊥AC，AB＝3，AC＝4，B1C⊥AC1．
（1）求 AA1 的长．
（2）试判断在侧棱 BB1 上是否存在点 P，使得直线 PC 与平面 AA1C1C 所成角和二面角
B－A1C－A 的大小相等，并说明理由．
23．(本小题满分 10 分)
口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球．现有一抽奖游戏规则如下：抽奖
者每次有放回的从口袋中随机取出一个球，最多取球 2n＋1(n∈N*)次．若取出白球的累计
次数达到 n ＋1 时，则终止取球且获奖，其它情况均不获奖．记获奖概率为 Pn．
（1）求 P1；
（2）证明：Pn＋1＜Pn．
(第 22 题图)
A1
C
A
B
B1 C1
P高三数学试题第 7 页（共 4 页）
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数学参考答案及评分标准
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容
比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容
和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后
续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分. 不需写出解答过程，请把答案写在
答题纸的指定位置上）
1．{x|1＜x＜4} 2．2 3．60 4．10 5．2
3 6． 3
7．2n＋1
－2 8．2 9．8
3 10．[2，4] 11．6 12． [－
2，＋∞)
13．－
9
4
14．3
8高三数学试题第 8 页（共 4 页）
二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，
请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．(本小题满分 14 分)
证明：(1)取 PC 中点 G，连接 DG、FG．
在△PBC 中，因为 F，G 分别为 PB，PC 的中点，所以 GF∥BC，GF＝
1
2
BC．
因为底面 ABCD 为矩形，且 E 为 AD 的中点，
所以 DE∥BC，DE＝
1
2
BC， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
所以 GF∥DE，GF＝DE，所以四边形 DEFG 为平行四边形，
所以 EF∥DG． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
又因为 EF⊄平面 PCD，DG⊂平面 PCD，
所以 EF∥平面 PCD．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
(2)因为底面 ABCD 为矩形，所以 CD⊥AD．
又因为平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD＝AD，CD⊂平面 ABCD，
所以 CD⊥平面 PAD． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
因为 PA⊂平面 PAD，所以 CD⊥PA． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
又因为 PA⊥PD，PD⊂平面 PCD，CD⊂平面 PCD，PD∩CD＝D，所以 PA⊥平面 PCD．
因为 PA⊂平面 PAB，所以平面 PAB⊥平面 PCD． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙14 分
16．(本小题满分 14 分)
解：(1) 因为向量 m＝(cosx，sinx)，n＝(cosx，－sinx)，
所以 f(x)＝m·n＋
1
2
＝cos2x－sin2x＋
1
2
＝cos2x＋
1
2
． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
因为 f(
x
2
)＝1，所以 cosx＋
1
2
＝1，即 cosx＝
1
2
．
又因为 x∈(0，π) ，所以 x＝
π
3
， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
所以 tan(x＋
π
4
)＝tan(
π
3
＋
π
4
)＝
tan＋ tan
1－tantan
＝－2－ 3． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分高三数学试题第 9 页（共 4 页）
B
E
A
C
O
D
x
y
(2)若 f(α)＝－
1
10
，则 cos2α＋
1
2
＝－
1
10
，即 cos2α＝－
3
5
．
因为 α∈(
π
2
，
3π
4
)，所以 2α∈(π，
3π
2
)，所以 sin2α＝－ 1－cos22α＝－
4
5
． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
因为 sinβ＝
7
10
，β∈(0，
π
2
)，所以 cosβ＝ 1－sin2β＝
10
， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
所以 cos(2α＋β)＝cos2αcosβ－sin2αsinβ＝(－
3
5
)×
10
－(－
4
5
)×
7
10
＝
2
2
． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
又因为 2α∈(π，
3π
2
)，β∈(0，
π
2
)，所以 2α＋β∈(π，2π)，
所以 2α＋β 的值为
7π
4
． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙14 分
17．(本小题满分 14 分)
解：如图，以 O 为原点，正东方向为 x 轴，正北方向为 y 轴，建立直角坐标系 xOy．
因为 OB＝20 13，tan∠AOB＝2
3，OA＝100，
所以点 B(60，40)，且 A(100，0)． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
(1)设快艇立即出发经过 t 小时后两船相遇于点 C，
则 OC＝10 5(t＋2)，AC＝50t．
因为 OA＝100，cos∠AOD＝5，
所以 AC2＝OA2＋OC2－2OA·OC·cos∠AOD，
即(50t)2＝1002＋[10 5(t＋2)]2－2×100×10 5(t＋2)×5．
化得 t2＝4，解得 t1＝2，t2＝－2（舍去）， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
所以 OC＝40 5．
因为 cos∠AOD＝5，所以 sin∠AOD＝2
5，所以 C(40，80)，
所以直线 AC 的方程为 y＝－4
3(x－100)，即 4x＋3y－400＝0．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
因为圆心 B 到直线 AC 的距离 d＝|4 × 60＋3 × 40－400|＝8，而圆 B 的半径 r＝8 5，
所以 d＜r，此时直线 AC 与圆 B 相交，所以快艇有触礁的危险．高三数学试题第 10 页（共 4 页）
答：若快艇立即出发有触礁的危险．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
(2)设快艇所走的直线 AE 与圆 B 相切，且与科考船相遇于点 E．
设直线 AE 的方程为 y＝k(x－100)，即 kx－y－100k＝0．
因为直线 AE 与圆 B 相切，所以圆心 B 到直线 AC 的距离 d＝|60k－40－100k|＝8 5，
即 2k2＋5k＋2＝0，解得 k＝－2 或 k＝－1
2．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
由（1）可知 k＝－1
2舍去．
因为 cos∠AOD＝5，所以 tan∠AOD＝2，所以直线 OD 的方程为 y＝2x．
由{y＝2x，
y＝－2(x－100)，解得{x＝50，
y＝100，所以 E(50，100)，
所以 AE＝50 5，OE＝50 5，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
此时两船的时间差为50
10－50
50＝5－ 5，所以 x≥5－ 5－2＝3－ 5．
答：x 的最小值为(3－ 5)小时．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙14 分
18．(本小题满分 16 分)
解：(1)因为椭圆
x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a＞b＞0)过点(－2，0)和 (1，
3
2
)，
所以 a＝2， 1
a2＋ 3
4b2＝1，解得 b2＝1，
所以椭圆 C 的方程为x2
4＋y2＝1． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
(2)因为 B 为左顶点，所以 B (－2，0)．
因为四边形 AMBO 为平行四边形，所以 AM∥BO，且 AM＝BO＝2． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
设点 M(x0，y0)，则 A(x0＋2，y0)．
因为点 M，A 在椭圆 C 上，所以{＋y02＝1，
＋y02＝1，解得{x0＝－1，
y0＝ ± ，
所以 M(－1，±
3
2
)． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
(3) 因为直线 AB 的斜率存在，所以设直线 AB 的方程为 y＝kx＋m，A(x 1，y1)，B(x2，
y2)．
由{y＝kx＋m，
＋y2＝1， 消去 y，得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，高三数学试题第 11 页（共 4 页）
则有 x1＋x2＝
－8km
1＋4k2
，x1x2＝
4m2－4
1＋4k2
． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
因为平行四边形 AMBO，所以OM→
＝OA→
＋OB→
＝(x1＋x2，y1＋y2)．
因为 x1＋x2＝
－8km
1＋4k2
，所以 y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝k·
－8km
1＋4k2
＋2m＝
2m
1＋4k2
，
所以 M(
－8km
1＋4k2
，
2m
1＋4k2
)． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
因为点 M 在椭圆 C 上，所以将点 M 的坐标代入椭圆 C 的方程，
化得 4m2＝4k2＋1．① ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
因为 A，M，B，O 四点共圆，所以平行四边形 AMBO 是矩形，且 OA⊥OB，
所以OA→
· OB→
＝x1x2＋y1y2＝0．
因为 y1y2＝(kx1＋m)(kx1＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝
m2－4 k2
1＋4k2
，
所以 x1x2＋y1y2＝
4m2－4
1＋4k2
＋
m2－4k2
1＋4k2
＝0，化得 5m2＝4k2＋4．② ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙14 分
由①②解得 k2＝
11
4
，m2＝3，此时△＞0，因此 k＝±
11
2
．
所以所求直线 AB 的斜率为±
11
2
． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙16 分
19． (本小题满分 16 分)
解：(1)当 a＝1 时，f(x)＝
ex
x2－x＋1
，
所以函数 f(x)的定义域为 R，f'(x)＝
ex(x－1)(x－2)
(x2－x＋1)2
．
令 f'(x)＜0，解得 1＜x＜2，
所以函数 f(x)的单调减区间为(1，2)． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
(2)由函数 f(x)的定义域为 R，得 x2－ax＋a≠0 恒成立，
所以 a2－4a＜0，解得 0＜a＜4． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
方法 1高三数学试题第 12 页（共 4 页）
由 f(x)＝
ex
x2－ax＋a
，得 f'(x)＝
ex(x－a)(x－2)
(x2－ax＋a)2
．
①当 a＝2 时，f(2)＝f(a)，不符题意．
②当 0＜a＜2 时，
因为当 a＜x＜2 时，f ′(x)＜0，所以 f(x)在(a，2)上单调递减，
所以 f(a)＞f(2)，不符题意．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
③当 2＜a＜4 时，
因为当 2＜x＜a 时，f ′(x)＜0，所以 f(x)在(2，a)上单调递减，
所以 f(a)＜f(2)，满足题意．
综上，a 的取值范围为(2，4)． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
方法 2
由 f(2)＞f(a)，得
e2
4－a
＞
ea
a
．
因为 0＜a＜4，所以不等式可化为 e2＞
ea
a
(4－a)．
设函数 g(x)＝
ex
x
(4－x)－e2， 0＜x＜4．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
因为 g'(x)＝ex·
－(x－2)2
x2
≤0 恒成立，所以 g(x)在(0，4)上单调递减．
又因为 g(2)＝0，所以 g(x)＜0 的解集为(2，4)．
所以，a 的取值范围为(2，4)． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
(3)证明：设切点为(x0，f(x0))，则 f'(x0)＝
ex0
(x0－2)(x0－a)
(x02－ax0＋a)2
，
所以切线方程为 y－
ex0
x02－ax0＋a
＝
ex0
(x0－2)(x0－a)
(x02－ax0＋a)2
×(x－x0)．
由 0－
ex0
x02－ax0＋a
＝
ex0
(x0－2)(x0－a)
(x02－ax0＋a)2
×(0－x0)，
化简得 x03－(a＋3)x02＋3ax0－a＝0． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
设 h(x)＝x3－(a＋3)x2＋3ax－a，a∈(2，4)，
则只要证明函数 h(x)有且仅有三个不同的零点． 高三数学试题第 13 页（共 4 页）
由(2)可知 a∈(2，4)时，函数 h(x)的定义域为 R，h'(x)＝3x2－2(a＋3)x＋3a．
因为△＝4(a＋3)2－36a＝4(a－
3
2
)2＋27＞0 恒成立，
所以 h'(x)＝0 有两不相等的实数根 x1 和 x2，不妨 x1＜x2．
因为
x (－∞，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，＋∞)
h’(x) ＋ 0 － 0 ＋
h(x) 增 极大 减 极小 增
所以函数 h(x)最多有三个零点． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分
因为 a∈(2，4)，所以 h(0)＝－a＜0，h(1)＝a－2＞0，h(2)＝a－4＜0，h(5)＝50－11a
＞0，
所以 h(0)h(1)＜0，h(1)h(2)＜0，h(2)h(5)＜0．
因为函数的图象不间断，所以函数 h(x)在(0，1)，(1，2)，(2，5)上分别至少有一个
零点．
综上所述，函数 h(x)有且仅有三个零点． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙16 分
20．(本小题满分 16 分)
解：(1) 因为{an}的“L 数列”为{
1
2n
}，所以 an
an＋1＝
1
2n
，n∈N*，即an＋1
an ＝2n，
所以 n≥2 时，an＝ an
an－1·an－1
an－2·…· a2
a1·a1＝2n－1·2n－2·…·2·1＝2 (n-1)＋(n－2)＋…＋1＝2
n(n－1)
2
．
又 a1＝1 符合上式，所以{an}的通项公式为 an＝2
n(n－1)
2
，n∈N*． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
(2)因为 an＝n＋k－3(k＞0)，且 n≥2，n∈N*时，an≠0，所以 k≠1．
方法 1
设 bn＝ an
an＋1，n∈N*，所以 bn＝
n＋k－3
(n＋1)＋k－3
＝1－
1
n＋k－2
．
因为{bn}为递增数列，所以 bn＋1－bn＞0 对 n∈N*恒成立，
即
1
n＋k－2
－
1
n＋k－1
＞0 对 n∈N*恒成立． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分高三数学试题第 14 页（共 4 页）
因为
1
n＋k－2
－
1
n＋k－1
＝
1
(n＋k－2)(n＋k－1)
，
所以
1
n＋k－2
－
1
n＋k－1
＞0 等价于(n＋k－2)(n＋k－1)＞0．
当 0＜k＜1 时，因为 n＝1 时，(n＋k－2)(n＋k－1)＜0，不符合题意．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
当 k＞1 时，n＋k－1>n＋k－2>0，所以(n＋k－2)(n＋k－1)＞0，
综上，k 的取值范围是(1，＋∞)． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
方法 2
令 f(x)＝1－
1
x＋k－2
，所以 f(x)在区间(－∞，2－k)和区间(2－k，＋∞)上单调递增．
当 0＜k＜1 时，
f(1)＝1－
1
k－1
＞1，f(2)＝1－
1
k
＜1，所以 b2＜b1，不符合题意． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
当 k＞1 时，
因为 2－k＜1，所以 f(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以{bn}单调递增，符合题意．
综上，k 的取值范围是(1，＋∞)． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
(3)存在满足条件的等差数列{cn}，证明如下：
因为
ak
ak＋1
＝
1＋pk－1
1＋pk
＝
1
p
＋
1－
1
p
1＋pk
，k∈N*， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
所以 Sn＝
n
p
＋(1－
1
p
)·(
1
1＋p
＋
1
1＋p2
＋…＋
1
1＋pn－1
＋
1
1＋pn
)．
又因为 p＞1，所以 1－
1
p
＞0，所以
n
p
＜Sn＜
n
p
＋(1－
1
p
)·(
1
p
＋
1
p2
＋…＋
1
pn－1
＋
1
pn
)，
即
n
p
＜Sn＜
n
p
＋
1
p
·[1－(
1
p
)n]． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙14 分
因为
1
p
·[1－(
1
p
)n]＜
1
p
，所以
n
p
＜Sn＜
n＋1
p
．高三数学试题第 15 页（共 4 页）
设 cn＝
n
p
，则 cn＋1－cn＝
n＋1
p
－
n
p
＝
1
p
，且 cn＜Sn＜cn＋1，
所以存在等差数列{cn}满足题意． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙16 分高三数学试题第 16 页（共 4 页）
南京市 2020 届高三年级第三次模拟考试
数学附加题参考答案及评分标准
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容
比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容
和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后
续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
21．【选做题】在 A、B、C 三小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分．请在答卷
纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修 4—2：矩阵与变换
解：(1) [1 －1
a 0 ] [1
1 ]＝[0
a ]． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
因为点 P(1，1)在矩阵 A 的变换下得到点 P′(0，－2)，所以 a＝－2，
所以 A＝[1 －1
－2 0]．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
(2)因为 A＝[1 －1
－2 0]，所以 A2＝[1 －1
－2 0] [1 －1
－2 0]＝[3 －1
－2 2]， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
所以 A2[ 0
3 ]=[3 －1
－2 2] [ 0
3 ]=[ －3
6 ]，
所以，点 Q′的坐标为(－3，6)． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
B．选修 4—4：坐标系与参数方程
解：由 l 的参数方程{x＝ 3t，
y＝1＋t (t 为参数)得直线 l 方程为 x－ 3y＋ 3＝0． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
曲线 C 上的点到直线 l 的距离 d＝
|1＋cosθ－ 3 sinθ＋ 3|
2
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
＝
|2cos(θ＋\s\do1(\f(π,3)))＋1＋ 3|
2
． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
当 θ＋
π
3
＝2kπ，即 θ＝－
π
3
＋2kπ(k∈Z)时，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
曲线 C 上的点到直线 l 的距离取最大值
3＋ 3
2
． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分高三数学试题第 17 页（共 4 页）
A1
C
A
B
B1 C1
P
x y
z
C．选修 4—5：不等式选讲
证明：因为 a，b 为非负实数，
所以 a3＋b3－ ab(a2＋b2)＝a2 a( a－ b)＋b2 b( b－ a)
＝( a－ b)[( a)5－( b)5]． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
若 a≥b 时， a≥ b，从而( a)5≥( b)5，
得( a－ b)·[( a)5－( b)5]≥0．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
若 a＜b 时， a＜ b，从而( a)5＜( b)5，
得( a－ b)·[( a)5－( b)5]＞0．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
综上，a3＋b3≥ ab(a2＋b2)． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
22．（本小题满分 10 分）
解：(1)因为三棱柱 ABC－A1B1C1 为直三棱柱，所以 AA1⊥平面 ABC，
所以 AA1⊥AB，AA1⊥AC．
又 AB⊥AC，所以以{AB→
，AC→
，AA1→
}为正交基底建立如图所示的
空间直角坐标系 A—xyz．
设 AA1＝t(t＞0)，又 AB＝3，AC＝4，
则 A(0，0，0)，C1(0，4，t)，B1(3，0，t)，C(0，4，0)，
所以AC1→
＝(0，4，t)，B1C→
＝(－3，4，－t)． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
因为 B1C⊥AC1，所以B1C→
·AC1→
＝0，即 16－t2＝0，解得 t＝4，
所以 AA1 的长为 4． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
(2)由(1)知 B(3，0，0)，C(0，4，0)，A1(0，0，4)，
所以A1C→
＝(0，4，－4)，BC→
＝(－3，4，0)．
设 n＝(x，y，z)为平面 A1CB 的法向量，
则 n·A1C→
＝0，n· BC→
＝0，即{ 4y－4z＝0，
－3x＋4y＝0．
取 y＝3，解得 z＝3，x＝4，所以 n＝(4，3，3)为平面 A1CB 的一个法向量．
又因为 AB⊥面 AA1C1C，所以AB→
＝(3，0，0)为平面 A1CA 的一个法向量，
则 cos＜n，AB→
＞＝ ·n
||·|n|＝
12
3· 42＋32＋32
＝ 4
34
， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分高三数学试题第 18 页（共 4 页）
所以 sin＜n，AB→
＞＝ 3
17
．
设 P(3，0，m)，其中 0≤m≤4，则CP→
＝(3，－4，m)．
因为AB→
＝(3，0，0)为平面 A1CA 的一个法向量，
所以 cos＜CP→
，AB→
＞＝ ·
||·||＝
9
3· 32＋(－4)2＋m2
＝ 3
m2＋25
，
所以直线 PC 与平面 AA1C1C 的所成角的正弦值为 3
m2＋25
．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
因为直线 PC 与平面 AA1C1C 所成角和二面角 B－A1C－A 的大小相等，
所以 3
m2＋25
＝ 3
17
，此时方程无解，
所以侧棱 BB1 上不存在点 P，使得直线 PC 与平面 AA1C1C 所成角和二面角 B－A1C－A
的大小相等 ．
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
23．（本小题满分 10 分）
解：(1)根据题意，每次取出的球是白球的概率为
2
5
，取出的球是黑球的概率为
3
5
．
所以 P1＝
2
5
×
2
5
＋C
1
2×(
2
5
)2×
3
5
＝
4
25
＋
24
125
＝
44
125
． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分
(2)证明：累计取出白球次数是 n ＋1 的情况有：
前 n 次取出 n 次白球，第 n ＋1 次取出的是白球，概率为 C
n
n×(
2
5
)n＋1；
前 n ＋1 次取出 n 次白球，第 n ＋2 次取出的是白球，概率为 C
n
n＋1×(
2
5
)n＋1×
3
5
；
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分
……
前 2n－1 次取出 n 次白球，第 2n 次取出的是白球，概率为 C
n
2n－1×(
2
5
)n＋1×(
3
5
)n－1；
前 2n 次取出 n 次白球，第 2n ＋1 次取出的是白球，概率为 C
n
2n×(
2
5
)n＋1×(
3
5
)n；高三数学试题第 19 页（共 4 页）
则 Pn＝C
n
n×(
2
5
)n＋1＋C
n
n＋1×(
2
5
)n＋1×
3
5
＋…＋C
n
2n－1×(
2
5
)n＋1×(
3
5
)n－1＋C
n
2n×(
2
5
)n＋1×(
3
5
)n
＝(
2
5
)n＋1×[C
n
n＋C
n
n＋1×
3
5
＋…＋C
n
2n－1×(
3
5
)n－1＋C
n
2n×(
3
5
)n]
＝(
2
5
)n＋1×[C
0
n＋C
1
n＋1×
3
5
＋…＋C
n－1
2n－1×(
3
5
)n－1＋C
n
2n×(
3
5
)n]， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分
因此 Pn＋1－Pn＝(
2
5
)n＋2×[C
0
n＋1＋C
1
n＋2×
3
5
＋…＋C
n
2n＋1×(
3
5
)n＋C
n＋1
2n＋2×(
3
5
)n＋1]
－(
2
5
)n＋1×[C
0
n＋C
1
n＋1×
3
5
＋…＋C
n－1
2n－1×(
3
5
)n－1＋C
n
2n×(
3
5
)n]
＝(
2
5
)n＋1×{
2
5
×[C
0
n＋1＋C
1
n＋2×
3
5
＋…＋C
n
2n＋1×(
3
5
)n＋C
n＋1
2n＋2×(
3
5
)n＋1]
－[C
0
n＋C
1
n＋1×
3
5
＋…＋C
n－1
2n－1×(
3
5
)n－1＋C
n
2n×(
3
5
)n]}
＝(
2
5
)n＋1×{(1－
3
5
)×[C
0
n＋1＋C
1
n＋2×
3
5
＋…＋C
n
2n＋1×(
3
5
)n＋C
n＋1
2n＋2×(
3
5
)n
＋1]
－[C
0
n＋C
1
n＋1×
3
5
＋…＋C
n－1
2n－1×(
3
5
)n－1＋C
n
2n×(
3
5
)n]}
＝(
2
5
)n＋1×{[C
0
n＋1＋C
1
n＋2×
3
5
＋…＋C
n
2n＋1×(
3
5
)n＋C
n＋1
2n＋2×(
3
5
)n＋1]
－ [C
0
n＋1×
3
5
＋ C
1
n＋2×(
3
5
)2 ＋ … ＋ C
n
2n＋1×(
3
5
)n ＋ 1 ＋ C
n＋1
2n＋2
×(
3
5
)n＋2]
－[C
0
n＋C
1
n＋1×
3
5
＋…＋C
n－1
2n－1×(
3
5
)n－1＋C
n
2n×(
3
5
)n]}
∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分
＝(
2
5
)n＋1×{[C
0
n＋1＋C
1
n＋2×
3
5
＋…＋C
n
2n＋1×(
3
5
)n＋C
n＋1
2n＋2×(
3
5
)n＋1]高三数学试题第 20 页（共 4 页）
－[C
0
n＋C
1
n＋2×
3
5
＋…＋＋C
n
2n＋1×(
3
5
)n ＋C
n
2n＋1×(
3
5
)n ＋1 ＋C
n＋1
2n＋2×(
3
5
)n＋2]}，
则 Pn＋1－Pn＝(
2
5
)n＋1×[C
n＋1
2n＋2×(
3
5
)n＋1－C
n
2n＋1×(
3
5
)n＋1－C
n＋1
2n＋2×(
3
5
)n＋2]
＝(
2
5
)n＋1×(
3
5
)n＋1×(C
n＋1
2n＋2－C
n
2n＋1－
3
5
C
n＋1
2n＋2)
＝(
2
5
)n＋1×(
3
5
)n＋1×(C
n＋1
2n＋1－
3
5
C
n＋1
2n＋2)．
因为 C
n＋1
2n＋1－
3
5
C
n＋1
2n＋2＝C
n＋1
2n＋1－
3
5
(C
n＋1
2n＋1＋C
n
2n＋1)＝
2
5
C
n＋1
2n＋1－
3
5
C
n
2n＋1＝－
1
5
C
n
2n＋1，
所以 Pn＋1－Pn＝(
2
5
)n＋1×(
3
5
)n＋1×(－
1
5
)× C
n
2n＋1＜0，
因此 Pn＋1＜Pn．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分
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