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和平区 2020 届高三第二次质量调查（二模）数学
温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分。
考试时间 120 分钟。祝同学们考试顺利！
第Ⅰ卷 选择题（共 45 分）
注意事项:
1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。
3. 本卷共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分。
如果事件 互斥,那么 如果事件 相互独立,那么
.
锥体的体积公式 . 球体
其中 表示锥体的底面积, 其中 R 为球的半径.
表示锥体的高.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设复数 的共轭复数为 ，且 ，则复数 在复平面内对
应点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知： ， ， ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为 1、2、3 元）．甲、
乙租车费用为 1 元的概率分别是 0.5、0.2，甲、乙租车费用为 2 元的概率分别是 0.2、
0.4，则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为（ ）
A．0.18 B．0.3 C．0.24 D．0.36
5 ． 在 中 ， 角 、 、 的 对 边 分 别 为 、 、 ， 若 ， ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
6．已知双曲线 的右焦点为 ，圆 （ 为双曲线的半
焦距）与双曲线 的一条渐近线交于 两点，且线段 的中点 落在另一条渐
近线上，则双曲线 的方程是( )
A． B． C． D．
7．把函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数
的图象，若函数 是偶函数，则实数 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
8．已知 、 ， ，则当 取最小值时， 的值为( )
A． B． C． D.
9．已知函数 ，函数 g(x)＝f(1－x)－kx＋k－ 恰有三个不同
的零点，则 k 的取值范围是( )
A．(－2－ ，0]∪ B．(－2＋ ，0]∪
C．(－2－ ，0]∪ D．(－2＋ ，0]∪
• BA， • BA，
)()()( BPAPBAP += )()()( BPAPABP =
• ShV 3
1= • 3
3
4 RV π=
S
h
( )2z a i a R= + ∈ z 2z z+ =
2
z
ai−
Rx∈ 3 1x < 1 1| |2 2x − <
11ln 4a =
1
1
3
e
b =
1
1log 3e
c =
c a b> > c b a> > b a c> > a b c> >
ABC∆ A B C a b c 1a = 2 3c =
sin sin 3b A a B
π = − sinC =
3
7
21
7
21
12
57
19
2 2
2: 1( 0)3
x yC aa
− = > F 2 2 2x y c+ = c
C ,A B AF M
C
2 2
14 3
x y− = 22
13 3
yx − =
2 2
12 3
x y− =
2
2 13
yx − =
( ) sin 2 ( 0)6f x A x A
π = − ≠ 4
π ( )g x
( )( )0g x m m− > m
6
π 5
6
π 5
12
π
12
π
a 0b >
21 ba b a
− =
1a b
+ 2
2
1a b
+
2 2 2 3 4
( )
2
1 , 01
2 1, 0
x xf x x
x x x
− ≥= +
+ + − a
2 2 ( 0)y px p= > (1,0)F l
A B A B l C D | | 4 | |AF BF=
p =
ABCD 9 3 2
3
πBAD∠ = E BC
AD D C• = F DE 5
6AF AB ADλ= + AF
ABCD
90ABD °∠ = EB ⊥ ABCD
3, 1EB EF= = 13BC =
M BD
ADF
D AF B− −
EB P CP AF 30
BP
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 1
2
31 2
， F
,A B ,AF BF ,C D
AF FC= BF
FD
AB CD 1k 2k m
2 1k mk= m
{ }na 1
3
2a = { }nb
1 1b a= 2 3b a= − 3 4b a= { }nb nS
{ }nb
, 5
8 , 6
n
n
n
b nc a n
≤= ≥
{ }nc nT
1
n
n
A S BS
≤ − ≤ *n∈N B A−
( ) sin , 0, 2
x xf x e e x x
π = − ∈
( )f x
( ) ( )( )1 1 sinf x k x x≥ − − 0, 2x
π ∈
N
=∆CDFS
).( ∗∈ Nn
EM
2, =ABABEF高三年级数学试卷 第 5 页（共 4 页） 高三年级数学试卷 第 6 页（共 4 页）
（Ⅲ）证明： .
2
1 1 3 12 2
xe x− > − − + 高三年级数学试卷 第 7 页（共 4 页）
高三年级数学试卷 第 8 页（共 4 页）
和平区 2019-2020 学年度第二学期高三年级第二次质量调查
数学学科参考答案
一、选择题：（45 分）.
1.A 2.B 3.A 4.B 5.B 6.D 7.C 8.C 9.D
二、填空题：（30 分）
10. 11. 240 12.
13. ； . 14. 2 ; 5 15.-9 ;
三、解答题：
(16) (本小题满分 14 分)
解:（Ⅰ）两小组的总人数之比为 8∶4＝2∶1，共抽取 3 人，
所以数学组抽取 2 人，英语组抽取 1 人．
从数学组抽取的同学中至少有 1 名女同学的情况有：1 名男同学、1 名女同学；
2 名女同学.
所以所求概率 . ……………………4 分
（Ⅱ）由题意可知，ξ的所有可能取值为 0,1,2,3， ……………………5 分
所以 的分布列为:
＝0× 9
112＋1×3
7＋2× 45
112＋3× 5
56＝3
2. ……………………14 分
17.(本小题满分 14 分)
解:（Ⅰ）证明：因为 平面 ， ，故以 为原点，建立如图所示的空间直
角坐标系 .由已知可得各点坐标为:
，
……………………2 分
0 1 2 3
P 9
112
3
7
45
112
5
56
{ }0,1 ( )0, 3
2
6
8 6
729
π
5
14
9
2
8
2
3
1
5
1
3 =+=
C
CCCP
112
9)0( 1
4
1
3
2
8
2
3 =⋅==
C
C
C
CP ξ
7
3
112
48)1( 1
4
1
1
2
8
2
3
1
4
1
3
2
8
1
5
1
3 ==⋅+⋅==
C
C
C
C
C
C
C
CCP ξ
112
45)2( 1
4
1
3
2
8
2
5
1
4
1
1
2
8
1
5
1
3 =⋅+⋅==
C
C
C
C
C
C
C
CCP ξ
56
5
112
10)3( 1
4
1
1
2
8
2
5 ==⋅==
C
C
C
CP ξ
EB ⊥ ABD AB BD⊥ B
B xyz−
(0,0,0), (0,2,0), (3,0,0)B A D (3, 2,0), (0,0, 3)C E− 3, (0,1, 3), ,0,02F M
3 ,0, 3 , (3, 2,0), (0, 1, 3)2EM AD AF = − = − = −
ξ
( )ξE
ξ
…………12 分
…………10 分
…………8 分
…………6 分
…………11 分高三年级数学试卷 第 9 页（共 4 页）
高三年级数学试卷 第 10 页（共 4 页）
设平面 的一个法向量是
由 得
令 ，则
又因为 ， ……………………4 分
所以 ，又 平面 ，
所以 ∥平面 ……………………6 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面 的一个法向量是 .
因为 平面 ，所以
又因为 ，所以 平面 .
故 是平面 的一个法向量. ……………………8 分
所以 ，又二面角 为锐角，
故二面角 的大小为 ……………………9 分
（Ⅲ）假设线段 上存在点 ，使得直线 与直线 所成的角为
不妨设 ，则 ……………10 分
所以 ……………………11 分
由题意得
化简得
解得 ……………………13 分
因为 ，所以无解
即在线段 上不存在点 ，使得直线 与直线 所成的角为 ………14 分
18．(本小题满分 15 分)
解:（Ⅰ）设椭圆方程为 ，由题意知：
解之得： ， ……2 分 所以椭圆方程为： ……3 分
（Ⅱ）若 ，由椭圆对称性，知 ，所以 ，
此时直线 方程为 ， ……………………5 分
ADF ( , , )x y z=n
0
0
n AD
n AF
⋅ =
⋅ =
3 2 0
3 0
x y
y z
− =− + =
y=3 (2,3, 3)=n
3 ,0, 3 (2,3, 3) 3 0 3 02EM n ⋅ = − ⋅ = + − =
EM ⊥ n EM ⊂ ADF
EM ADF
ADF (2,3, 3)=n
EB ⊥ ABD EB BD⊥
AB BD⊥ BD ⊥ EBAF
(3,0,0)BD = EBAF
1cos , 2| || |
BDBD
BD
⋅= =nn
n
D AF B− −
D AF B− − 60
EB P CP AF 30
(0,0, )(0 3)P t t≤ ≤ (3, 2, ), (0, 1, 3)PC t AF= − − = −
2
| | | 2 3 |cos ,
| | | | 2 13
PC AF tPC AF
PC AF t
⋅ −= =
⋅ +
4 3 35t− =
35 0
4 3
t = − <
0 3t≤ ≤
EB P CP AF 30
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
2 2
1
2
1 9 14
c
a
a b
=
+ =
2
3
a
b
= =
2 2
14 3
x y+ =
AF FC= 31, 2A
31, 2B − −
BF 3 4 3 0x y− − =
2
3
132
32
2
=
+
−
t
t高三年级数学试卷 第 11 页（共 4 页）
高三年级数学试卷 第 12 页（共 4 页）
由 ，得 ，解得 （ 舍去）， ……6 分
故 ． ……………………7 分
（Ⅲ）①若直线 的斜率不存在.则直线 的方程为：
②若直线 的斜率存在.设 ，则 ，
直线 的方程为 ，代入椭圆方程 得:
……………………10 分
因为 是该方程的一个解，所以 点的横坐标 ，
又 在直线 上，所以 ，
同理， 点坐标为 ， ， ……………………13 分
所以 ，
即存在 ，使得 ． ……………………14 分
综合①②知存在 满足题意.……………………15 分
19．(本小题满分 16 分)
解:（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，
则由题意可得 ，解得 或 ， ……………………2 分
2 2
3 4 3 0,
1,4 3
x y
x y
− − = + =
27 6 13 0x x− − = 13
7x = 1x = −
( )1 1 7
13 317
BF
FD
− −= =
−
AF AF
.3
5
3
5
.2
5
17
13
2
3
14
9
,2
3
)1(1
2
3
2
3
.14
9,7
13,2
3,1,2
3,1,2
3,1
12
21
满足题意，即存在
此时：
==∴
=
−
−−
==−−
−−
=∴
−
−−
mkk
kk
DCBA
AF 0 0, )A x y（ ( )0 0,B x y− −
AF ( )0
0
11
yy xx
= −−
2 2
14 3
x y+ =
0x x= C 0
0
8 5
5 2C
xx x
−= −
( ),c CC x y ( )0
0
11
yy xx
= −− ( )0 0
0 0
311 5 2C c
y yy xx x
−= − =− −
D 0
0
8 5(5 2
x
x
+
+
0
0
3 )5 2
y
x+
0 0
0 0 0
2 1
0 0 0
0 0
3 3
5 2 5 2 5 5
8 5 8 5 3 3
5 2 5 2
y y
x x yk kx x x
x x
−−+ −= = =+ −−+ −
5
3m = 2 1
5
3k k=
5
3m =
{ }na d { }nb q
2
3 322 2
3 332 2
d q
d q
+ = −
+ =
1
2
3
8
q
d
= −
= −
1
0
q
d
= −
=
( ) 024158615 0
2
0
2
0
2
0 =+−−− xxxyxx
1=x
…………9 分
……12 分高三年级数学试卷 第 13 页（共 4 页）
高三年级数学试卷 第 14 页（共 4 页）
∵数列 是公差不为 0 的等差数列， ，
∴数列 的通项公式 ； ……………………4 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ， ……………………5 分
当 时， ， ……………………7 分
当 时，
………
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知 ， ……………………11 分
令 ， ，∴ 随着 的增大而增大， ……………………12 分
当 为奇数时， 在奇数集上单调递减， ，
当 为偶数时， 在偶数集上单调递增， ，…14 分
，
对 恒成立，
，
∴ 的最小值为 ． ……………………16 分
{ }na 1
2q∴ = −
{ }nb 13 2
n
nb = − × −
3 3 15 3( 1)( )2 8 8n
na n
−= + − − =
5n ≤
1 2
3 112 2 111 21 2
n
n
n nT b b b
− − = − −
= + + + =
− −
6n ≥
32
927
2
27
2
3
2
8
315
8
3)5(
8)2
1(12
))(5(8
)(8
2
56
5
765765
−+−=
−+−
⋅+−−=+−⋅+=
+⋅⋅⋅+++=+⋅⋅⋅+++=
nn
n-naanT
aaaTcccTT
n
nnn
3 112 2 111 21 2
n
n
nS
− − = = − − − −
1
n
n
t SS= − 0nS > t nS
n 11 2
n
nS = +
3 51, , 0,2 6n tS ∈ ∈
n 11 2
n
nS = −
3 7,1 , ,04 12nS t ∈ ∈ −
min max
7 5,12 6t t∴ = − =
1
n
n
A S BS
≤ − ≤ *n∈N
7 5, [ , ]12 6 A B ∴ − ⊆
B A− 5 7 17
6 12 12
− − =
≥−+−
≤
−−
=∴
6,32
927
2
27
2
3
5,2
11
2 nnn
n
T
n
n
…………9 分
…………10 分高三年级数学试卷 第 15 页（共 4 页）
高三年级数学试卷 第 16 页（共 4 页）
20. (本小题满分 16 分)
解:（Ⅰ）
……………………2 分
， ， ，
所以 ，故函数 在 上单调递减，
故 ； ，
所以函数 的值域为 . …………………5 分
（Ⅱ）原不等式可化为 ...(*)，
因为 恒成立，故（*）式可化为 . ……………6 分
令 ，则
①当 时， ，所以函数 在 上单调递增，
故 ，所以 ； ……………………7 分
②当 时，令 ，得 ，
当 时， ；当 时， .
i)当 即 时，
函数 ， …………………9 分
ii)当 即 时，函数 在 上单调递减，
，解得
综上， . ……………………11 分
（Ⅲ）令 则 . …………12 分
由 ，
故存在 ，使得 即 .
( ) e e (sin cos )x xf x x x′ = − + e (1 sin cos )x x x= − − e [1 2(sin( )]4
x x
π= − +
22e [sin( ) ]4 2
x x
π= − + −
2,0
π
x
3[ , ]4 4 4x
π π π∴ + ∈ 2sin( )4 2x
π∴ + ≥
( ) 0f x′ ≤ ( )f x [0, ]2
π
=max)(xf 0 0(0) e e sin 0 1f = − = =min)(xf 2 2( ) e e sin 02 2f
π ππ π= − =
( )f x [0,1]
e (1 sin ) ( 1)(1 sin )x x k x x− ≥ − −
1 sin 0x− ≥ e ( 1)x k x≥ −
( ) exg x kx k= − + ( ) exg x k′ = −
0k ≤ ( ) e 0xg x k′ = − > ( )g x [0, ]2
π
( ) (0) 1 0g x g k≥ = + ≥ 1 0k− ≤ ≤
0k > ( ) e 0xg x k′ = − = lnx k=
(0,ln )x k∈ ( ) e 0xg x k′ = − < (ln , )x k∈ +∞ ( ) e 0xg x k′ = − >
ln ,2k
π< 20 ek
π
< <
min( ) (ln ) 2 ln (2 ln ) 0g x g k k k k k k= = − = − >
ln ,2k
π≥ 2ek
π
≥ ( )g x [0, ]2
π
2
min( ) ( ) e 02 2g x g k k
ππ π= = − + ≥ 2
2 ee
12
k
π
π
π≤ ≤
−
2e1
12
k
π
π− ≤ ≤
−
1 21 3( ) e ( ) 1,2 2
xh x x−= + − − 1 3( ) e 2
xh x x−′ = + −
1 1
2 41 3 3( ) e 1 0, ( ) e 02 4 4h h
− −′ ′= − < = − >
0
1 3( , )2 4x ∈ 0( ) 0h x′ = 0 1
0
3e 2
x x− = −高三年级数学试卷 第 17 页（共 4 页）
高三年级数学试卷 第 18 页（共 4 页）
且当 时， ；当 时， .
故当 时，函数 有极小值，且是唯一的极小值， ………………14 分
故函数
，
因为 ，所以 ，
故
所以 ………………16 分
0( , )x x∈ −∞ ( ) 0h x′ < 0( , )x x∈ +∞ ( ) 0h x′ >
0x x= ( )h x
0 1 2
min 0 0
1 3( ) ( ) e ( ) 12 2
xh x h x x−= = + − −
2 2 2
0 0 0 0
3 1 3 1 3 3 1 5 3( ) ( ) 1 [( ) 1] ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2x x x x= − − + − − = − − − = − −
0
1 3( , )2 4x ∈ 2 2
0
1 5 3 1 3 5 3 1( ) ( ) 02 2 2 2 4 2 2 32x − − > − − = >
1 21 3( ) e ( ) 1 0,2 2
xh x x−= + − − >
1 21 3e ( ) 12 2
x x− > − − +
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