安徽省合肥市2020届高三数学（文）第三次质量检测试题（Word版附答案）

合肥市 2020 届高三第三次教学质量检测 数学试题(文科) (考试时间：120 分钟 满分：150 分) 第Ⅰ卷 (60 分) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.若集合 ，集合 ，则 A. B. C. D. 2.已知 是虚数单位，则复数 在复平面上所对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.在新冠肺炎疫情联防联控期间，某居委会从辖区内 A，B，C 三个小区志愿者中各选取 1 人，随机安排到这三个小区，协助小区保安做好封闭管理和防控宣传工作.若每个小区安排 1 人，则每位志愿者不安排在自己居住小区的概率为 A. B. C. D. 4.若 ，则 是 成立的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要 条件 5.已知函数 ( )，则不等式 的解集是 A. B. C. D. 6.已知向量 ， 满足 ，其中 是单位向量，则 在 方向上的投影是 A.1 B. C. D. 7.公元前 1650 年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开 始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，第一人分 得玉米 A. 斗 B. 斗 C. 斗 D. 斗 8.在 中，若 ，则 A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 9.某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地 测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的 光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光. 当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同.当横向速 度不为零时，反射光相对探测光会发生频移 ，其中 为测速仪测得被测物体的横向速度， 为激光波长， 为两束 探测光线夹角的一半，如图.若激光测速仪安装在距离高铁 1 { }1 3A x x= − < < { }2 2B x x= − < < A B = ( )2 2− ， ( )1 2− ， ( )2 3− ， ( )1 3− ， i 1 2i 1 iz −= + 1 6 1 3 1 2 2 3 x y R∈， 2 2x y> 1x y > ( ) 1 x xf x aa = − 1a > ( ) ( )22 1 0f x f x+ − > ( ) 11 2  −∞ − + ∞  ， ， ( )1 12  −∞ − + ∞   ， ， 1 12  −  ， 11 2  −  ， a b 2a b a b+ = −    b a b 3 4 1 2 1 4 10 10 10 10 8 8 7 × − 9 10 10 10 8 8 7 × − 8 10 10 10 8 8 7 × − 9 10 70 8 8 1 × − ΑΒC∆ 1 1 1 12sin sin tan tanA B A B  + = +   C 3 π C 2 3 π C 3 π C 6 π 2 sin p vf ϕ λ= v λ ϕ m处，发出的激光波长为 1550 ( )，测得某时刻频移为 (1/h)，则该时刻 高铁的速度约等于 A.320km/h B.330km/h C.340km/h D.350km/h 10.经过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于 ， 两点，则 的最小值 为 A. B.5 C.9 D.10 11.点 是正方体 的侧面 内的一个动点，若 与 的面 积之比等于 2，则点 的轨迹是 A.圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分 12.若关于 的不等式 在区间 ( 为自然对数的底数)上有实数 解，则实数 的最大值是 A. B. C. D. 第 II 卷 (90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题—第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第 22 题、第 23 题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.把答案填在答题卡上的相应位置. 13.设函数 (其中 为自然对数的底数)，则 的值等 于 . 14.某高中各年级男、女生人数如下表： 年级 性别 高一 高二 高三 男生 592 563 520 女生 528 517 按年级分层抽样，若抽取该校学生 80 人中，高二学生有 27 人，则上表中 . 15.已知数列 中 ，数列 的前 项和 .若数列 的前 项和 对于 都成立，则实数 的最小值等于 . 16.已知长方体 的棱 ， ，点 ， 分别为棱 ， 上 的动点.若四面体 的四个面都是直角三角形，则下列命题正确的是 .(写出所 有正确命题的编号) ①存在点 ，使得 ； ②不存在点 ，使得 ； ③当点 为 中点时，满足条件的点 有 3 个； ④当点 为 中点时，满足条件的点 有 3 个； ⑤四面体 四个面所在平面，有 4 对相互垂直. 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分.解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 某市积极贯彻落实国务院《“十三五”节能减排综合 工作方案》，空气质量明显改善.该市生态环境局统计了某 月(30 天)空气质量指数，绘制成如下频率分布直方图.已 知空气质量等级与空气质量指数对照如下表： nm 91nm 10 m−= 99.030 10× 2 4y x= F A B 4AF BF+ 9 2 P 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1DCC D APD∆ BCP∆ P x ( ) 22 lna x x a x+ ≤ + 1 ee     ， e a 1− ( ) 1 2 1 e e e − + ( )3 1 e e e − − ( )2 1 e e e − − ( ) ( )2 2 2 log 5 xe x e f x x x e  m cos sin x t y t α α =  = t 0 α π≤ < x E 2 +2 cos 3 0ρ ρ θ − = m E A C E m m n E B D ABCD ( ) 2 2 1f x x x= − − + m m 0a b c m+ + + = 2 2 2 2 4 2 0a b c b c+ + − + + ≥合肥市 2020 届高三第三次教学质量检测数学试题(文科) 参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 14.480 15.4 16.①②④ 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分. 17.(本小题满分 12 分) 解：(1)由题中图表可知，在这 30 天中，空气质量指数在区间 内的天数为 天， 空气质量等级为优或良，即空气质量指数不超过 100， ∴在这 30 天中随机抽取一天，其空气质量等级是优或良的概率为 . ………………………6 分 (2) 由 题 中 图 表 可 知 ， 在 这 30 天 中 ， 空 气 质 量 指 数 不 高 于 90 有 (天)， ∴某市民在这个月内，有 27 天适宜进行户外体育运动. ………………………12 分 18.(本小题满分 12 分) 解：(1)∵四边形 是菱形，∴ ∥ . 又∵ 平面 ， 平面 ，∴ ∥平面 . 同理得， ∥平面 . ∵ ， 平面 ，且 ， ∴平面 ∥平面 . 又∵ 平面 ， ∴ ∥平面 . ………………………………5 分 (2)∵ ∥ ， ∥ ，∴ . ∵ ， ， ∴ . 在菱形 中，∵ ， ∴ ， . ∵平面 ⊥平面 ，取 的中点为 ，连接 ， ∴ ⊥平面 ， ⊥平面 . 由(1)知，平面 ∥平面 ， ∴点 到平面 的距离为 . 又∵点 到平面 的距离为 ，连接 ， 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C B B D C B A D C A D 22e [ )90 110， 7 7 1 130 20 30 2300 600 100 600   − + + + × × =     1 1 141 30 15P += − = 7 7 1 20 30 27300 600 100   + + × × =     1 1A ACC AC 1 1AC AC ⊂ ABC 1 1AC ⊄ ABC 1 1AC ABC 1 1B C ABC 1 1AC 1 1B C ⊂ 1 1 1A B C 1 1AC 1 1 1B C C= ABC 1 1 1A B C 1 1A B ⊂ 1 1 1A B C 1 1A B ABC AC 1 1AC 1 1B C BC 1 1 1 60AC B ACB∠ = ∠ =  1 1 2AC AC= = 1 12 2B C BC= = 1 1 1 1 3 31 22 2 2A B CS∆ = × × × = 1 1A ACC 1 13AC AC= 1 60ACC∠ =  1 1 32 2 2 32A ACCS = × × =  ABC 1ACC AC M 1BM C M， BM 1ACC 1C M ABC ABC 1 1 1A B C B 1 1 1A B C 1 3C M = B 1 1A ACC 3BM = 1BC则 . ………………………………12 分 19.(本小题满分 12 分) 解：(1)由已知得 ( )，解得 ， ∴ . ……………………………6 分 (2)由题意得， . ∵ ，∴ ， ∴ ， ∴ 的值域为 . ……………………………12 分 20.(本小题满分 12 分) 解：设点 ， ， . (1)∵直线 经过坐标原点，∴ . ∵ ，∴ . 同理得， . ∴ ， ∴直线 与直线 的斜率之积为定值. ……………………………6 分 (2)设线段 的中点为 ，则 ∵ ，∴ ，则 . 将 代入 得， ， ∴线段 的中点 的轨迹方程为 . 同理，线段 和线段 中点的轨迹方程也为 . ∴ 三边的中点在同一个椭圆 上. ……………………………12 分 21.(本小题满分 12 分) 解：(1) . 当 时， 恒成立， 在 上单调递增. 当 时，由 得， ，∴ . 1 1 1 1 1 1 3 52 3 33 2 2B A B C B A ACCV V V− −  = + = × + × =    2 4 28 2 k k πϕ π πω ϕ π πϕ  = −  ⋅ + =   ( ) 0F x′ = 2 4 2 x a ae ± −= 2 4ln 2 a ax ± −=∴ 在 和 上单调递增， 在 上单调递减. …………………………………5 分 (2)①由(1)知，当 时， ，即当 时，曲线 恒在 上方. 按题意有， ，即 ，∴ . ②由①知 . 注意到 ， ∴ ， ∴ ， 两边同取自然对数得， ， 即 . …………………………………………12 分 22.(本小题满分 10 分) (1)曲线 的直角坐标方程为 ， 直线 的极坐标方程为 ( ). ………………………………5 分 (2)设点 ， 的极坐标分别为 ， . 由 得， ， ∴ ， ， ∴ . 同理得， . ∵ ， 当且仅当 ，即 时，等号成立， ∴四边形 面积的最大值为 7. ………………………………10 分 23.(本小题满分 10 分) (1) ， 根据函数图象得， 的最小值为-2， ∴ . ………………………………5 分 (2)由(1)知， ， ∴ ， ∴ ， 当且仅当 ， ，即 ， ， 时等号成立， ∴ . ………………………………10 分 ( )F x 2 4 ln 2 a a − − −∞   ， 2 4ln 2 a a + − + ∞   ， 2 24 4ln ln2 2 a a a a − − + −    ， 1x ≥ ( ) ( )1 0F x F≥ > 1x ≥ 1C 2C ( ) ( )1n nf x g x += 12n nx x ne e x− +− = 1 2 n nx x n e ex − + −= 1 2 2 n n nx x x n e e ex − + −= < 1 1x = 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 n nx x x n n n n e e ex x x x x x x − + +⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ < ⋅ ⋅ ⋅   1 1 1 2 1 1 2 n n n x x x n nx x x x e −+ + + +  ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ < ⋅    ( )1 2 1 1 1 1ln ln ln ln ln 2n n n nx x x x n x x x+ −+ + + + < + + + +  1 ln 2n nS T n+− > E ( )2 2+1 4x y+ = m θ α= Rρ ∈ A C ( )1 ρ α， ( )2 ρ α， 2 = +2 cos 3 0 θ α ρ ρ θ   − = 2 +2 cos 3 0ρ ρ α − = 1 2 2cosρ ρ α+ = − 1 2 3ρ ρ = − 2 1 2 2 cos 3AC ρ ρ α= − = + 22 sin 3BD α= + 2 2 2 21 2 cos 3 sin 3 cos 3 sin 3 72ABCDS AC BD α α α α= ⋅ = + ⋅ + ≤ + + + = 2 2cos 3 sin 3α α+ = + 3 4 4 π πα = 或 ABCD ( ) 3 1 2 2 1 1 3 1 1 3 1 x x f x x x x x x x − < − = − − + = − − ≤