合肥市 2020 届高三第三次教学质量检测
数学试题(理科)
(考试时间：120 分钟 满分：150 分)
第Ⅰ卷 (60 分)
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1.已知 为实数集，集合 ， ，则
A. B. C. D.
2.若复数 在复平面内对应的点关于原点对称， ，则
A.-2 B. C.2 D.
3.在新冠肺炎疫情联防联控期间，某居委会从辖区内 A，B，C 三个小区志愿者中各选取 2
人，随机安排到这三个小区，协助小区保安做好封闭管理和防控宣传工作.若每个小区安排 2
人，则每位志愿者不安排在自己居住小区，且每个小区安排的志愿者来自不同小区的概率为
A. B. C. D.
4.已知双曲线 ( ， )的顶点到渐近线的距离为 ，则该双曲线的离心
率为
A. B.2 C. D.
5.“关于 的方程 有实数解”的一个充分不必要条件是
A. B. C. D.
6.已知 ，则
A. B. C. D.
7.公元前 1650 年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开
始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，第一人分
得玉米
A. 斗 B. 斗 C. 斗 D. 斗
8. 已 知 三 个 内 角 ， ， 的 对 边 分 别 为 ， ， ， 若 ， 则
的最小值为
A. B.3 C. D.4
9.某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪
实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器
发出的光平均分成两束后射出，并在被测物体表面汇聚，探测
器接收反射光.当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光
频率相同；当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移
，其中 为测速仪测得被测物体的横向速度，
为激光波长， 为两束探测光线夹角的一半，如图.若激光测
速仪安装在距离高铁 1 处，发出的激光波长为 1550
R { }0 2A x x= < < { }3B x x= < ( )R A B =
{ }2 3x x< < { }2 3x x≤ < { }0 3x x x< ≤
2
a
2 3 3
2
2 3
3
x ( )2 1 2x xa + =
1 13 a< < 1
2a ≥ 2 13 a< < 1 12 a≤ <
3tan 3 2
πα + =
3sin cos
3 cos sin
α α
α α
+ =
−
1
9
3
9
1
3
3
3
9
10
70 8
8 1
×
−
10
10 10
10 8
8 7
×
−
9
10 10
10 8
8 7
×
−
8
10 10
10 8
8 7
×
−
ABC∆ A B C a b c 2 cosa b c B+ =
2b c
a b
+
2 2 2 3
2 sin
p
vf
ϕ
λ= v λ
ϕ
m nm( )，测得某时刻频移为 (1/h)，则该时刻高铁的速度约等于
A.320km/h B.330km/h C.340km/h D.350km/h
10.在长方体 中， ， ， 为棱 的中点，动点 满
足 ，则点 的轨迹与长方体的面 的交线长等于
A. B. C. D.
11.已知不等式 对一切正数 都成立，则实数
的取值范围是
A. B. C. D.
12.在矩形 中， ， ，点 分别为直线
上的动点， 交 于点 .若 ， ( )，矩
形 的对称中心 关于直线 的对称点是点 ，则 的周长为
A.12 B.16 C. D.
第Ⅱ卷 (90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题—第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.
第 22 题、第 23 题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.把答案填在答题卡上的相应位置.
13.某高中各年级男、女生人数统计如下表：
年级
性别 高一 高二 高三
男生 592 563 520
女生 528 517
按年级分层抽样，若抽取该校学生 80 人中，高二学生有 27 人，则上表中 .
14.在 的展开式中， 的系数为 .
15.已知数列 中 ，数列 的前 项和 .若数列 的前 项和
对于 都成立，则实数 的最小值等于 .
16.已知三棱锥 的三条侧棱 两两垂直，其长度分别为 .点
在底面 内的射影为 ，点 所对面的面积分别为 .在下列所给
的命题中，正确的有 .(请写出所有正确命题的编号)
①三棱锥 外接球的表面积为 ；
② ； ③ ；
④若三条侧棱与底面所成的角分别为 ，则 ；
⑤若点 是面 内一个动点，且 与三条侧棱所成的角分别为 ，则
.
三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(本小题满分 12 分)
已知函数 ( ).
⑴求函数 的值域；
⑵若方程 在区间 上恰有两个实数解，求 的取值范围.
91nm 10 m−= 99.030 10×
1 1 1 1ABCD A B C D− 6AB AD= = 1 2AA = M BC P
APD CPM∠ = ∠ P 1 1DCC D
2
3
π π 4
3
π
2π
( )1 ln 1xe x m x x− − > − + x
m
3
e −∞ ，
2
e −∞ ， ( ] 1−∞， ( ]e−∞，
ABCD 4AB = 4 3BC = G H， BC CD，
AH DG P 2DH DCλ= 1
2CG CBλ= 0 1λ< <
ABCD M AD N PMN∆
24λ 32λ
a
a =
544x x
− +
2x
{ }na na n= { }nb n 2 1n
nS = − n
n
a
b
n
nT M< *n N∀ ∈ M
A BCD− AB AC AD， ， a b c， ， A
BCD O A B C D， ， ， A B C DS S S S， ， ，
A BCD− ( )2 2 2a b c π+ +
2
A BCO DS S S∆⋅ = 3 3 3 3
A B C DS S S S< + +
1 1 1
α β γ， ， 2 2 2
1 1 1sin sin sin 1α β γ+ + =
M BCD AM 2 2 2
α β γ， ，
2 2 2
2 2 2cos cos cos 1α β γ+ + =
( ) ( )cos sin 3 cosf x x x xω ω ω= + 0ω >
( )f x
( ) 3
2f x = [ ]0 π， ω
人数18.(本小题满分 12 分)
如图，边长为 2 的等边 所在平面与菱形 所在
平面互相垂直， ， 为线段 的中点.
⑴求证：平面 ⊥平面 ；
⑵求点 到平面 的距离.
19.(本小题满分 12 分)
某市积极贯彻落实国务院《“十三五”节能减排综合工作方案》，空气质量明显改善.该
市生态环境局统计了某月(30 天)空气质量指数，绘制成如下
频率分布直方图.已知空气质量等级与空气质量指数对照如
下表：
⑴根据频率分布直方图估计，在这 30 天中，空气质量
等级为优或良的天数；
⑵根据体质检查情况，医生建议：当空气质量指数高于
90 时，市民甲不宜进行户外体育运动；当空气质量指数高于
70 时，市民乙不宜进行户外体育运动(两人是否进行户外体
育运动互不影响).
①从这 30 天中随机选取 2 天，记乙不宜进行户外体育运
动，且甲适宜进行户外体育运动的天数为 ，求 的分布列
和数学期望；
②以一个月空气质量指数分布的频率代替每天空气质量指数分布的概率(假定每天空气
质量指数互不影响)，甲、乙两人分别随机选择 3 天和 2 天进行户外体育运动，求甲恰有 2 天，
且乙恰有 1 天不宜进行户外体育运动的概率.
20.(本小题满分 12 分)
已知函数 ( 为自然对数的底数)，其中 .
⑴试讨论函数 的单调性；
⑵证明： .
21.(本小题满分 12 分)
空气质
量指数
(0，
50] (50，100](100，150](150，200](200，300] 300 以上
空气质
量等级
一级
(优)
二级
(良)
三级
(轻度污染
)
四级
(中度污染
)
五级
(重度污染
)
六级
(严重污染
)
ABC∆ 1 1A ACC
1 13AC AC= M AC
1BMC 1 1A BC
C 1 1A BC
X X
( ) x xf x e e ax−= − − e a R∈
( )f x
( )
2
2
1 3 2
ln 2 1
n
i
n n
i i n n=
− −> +∑在平面直角坐标系 中，已知点 是椭圆 ： 上的动点，不经过点 的直线
交椭圆 于 ， 两点.
⑴若直线 经过坐标原点，证明：直线 与直线 的斜率之积为定值；
⑵若 ，直线 与直线 交于点 ，试判断动点 的轨迹与直线 的位
置关系，并说明理由.
请考生在第 22、23 题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所
做的第一个题目计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.
22.(本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线 的参数方程为 ( 为参数， ).以坐标原
点为极点，以 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系.曲线 的极坐标方程为 ，
直线 与曲线 交于 ， 两点.
⑴求曲线 的直角坐标方程和直线 的极坐标方程；
⑵过原点且与直线 垂直的直线 ，交曲线 于 ， 两点，求四边形 面积的最
大值.
23.(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲
已知函数 的最小值为 .
⑴求 的值；
⑵若 ，证明： .
xOy P E
2
2 14
x y+ = P l
E A B
l PA PB
0OA OB OP+ + = l PO Q Q PA
m cos
sin
x t
y t
α
α
=
= t 0 α π≤ <
x E 2 +2 cos 3 0ρ ρ θ − =
m E A C
E m
m n E B D ABCD
( ) 2 2 1f x x x= − − + m
m
0a b c m+ + + = 2 2 2 2 4 2 0a b c b c+ + − + + ≥合肥市 2020 届高三第三次教学质量检测数学试题(理科)
参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.480 14.-960
15.4 16.①②④⑤
三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分.
17.(本小题满分 12 分)
解:(1) .
由 得， 的值域是 .……………………………5 分
(2)∵ ，∴ ，
由 正 弦 函 数 的 图 像 可 知 ， 在 区 间 上 恰 有 两 个 实 数 解 ， 必 须
，
解得 . ………………………………12
分
18.(本小题满分 12 分)
解：(1)∵四边形 是菱形，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴ 是等边三角形.
∵点 为线段 的中点，∴ .
又∵ ∥ ，∴ .
∵在等边 中， ，
由 ∥ 可得， .
又∵ ，∴ ，
∵ 平面 ，∴平面 ⊥平面 .……………………………5 分
(2)∵ ，平面 ABC⊥平面 ，且交线为 AC，
∴ ，∴直线 ， ， 两两垂直.
以点 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线
为坐标轴建立空间直角坐标系，如图，
则 ， ， ，
，
∴ ， ，
.
设平面 的一个法向量为 ，
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D A C D C B C B D A C A
( ) ( ) ( )1 3cos sin 3 cos sin 2 1 cos22 2f x x x x x xω ω ω ω ω= + = + + 3sin 2 3 2x
πω = + +
1 sin 2 13x
πω − ≤ + ≤
( )f x 3 31 12 2
− +
，
0 x π≤ ≤ 2 23 3 3x
π π πω ωπ≤ + ≤ +
( ) 3
2f x = [ ]0 π，
2 2 33
ππ ωπ π≤ + <
5 4
6 3
ω≤ <
1 1A ACC 1 1AC AC⊥
1 13AC AC= 1 =60ACC∠
1ACC∆
M AC 1C M AC⊥
AC 1 1AC 1 1 1C M AC⊥
ABC∆ BM AC⊥
AC 1 1AC 1 1BM AC⊥
1BM C M M= 1 1 1AC BMC⊥ 平面
1 1AC ⊂ 1 1A BC 1BMC 1 1A BC
BM AC⊥ 1 1A ACC
1 1BM ACC A⊥ 平面 MB MC 1MC
M MB MC 1MC
( )3 0 0B ，， ( )1 0 0 3C ，， ( )1 0 2 3A −， ，
( )0 1 0C ，，
( )1 1 0 2 0AC = ，， ( )1 3 0 3BC = − ，，
( )1 0 1 3CC = − ， ，
1 1A BC ( )n x y z= ，，∴ ，∴ .令 ，得 ，
∴ ，即点 C 到平面 的距离为 . ………………………………
12 分
19.(本小题满分 12 分)
解:(1)由频率分布直方图可得，空气质量指数在(90，110]的天数为 2 天，所以估计空气
质量指数在(90，100]的天数为 1 天，故在这 30 天中空气质量等级属于优或良的天数为 28
天.……………………3 分
(2)①在这 30 天中，乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数共 6
天，
∴ ， ， ，
∴ 的分布列为
∴ . …………………………………8 分
②甲不宜进行户外体育运动的概率为 ，乙不宜进行户外体育运动的概率为 ，
∴ . ………………………………12 分
20.(本小题满分 12 分)
解：(1) .
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时，由 得 ，∴ .
当 时， ，
当 时， .
∴ 在 和 上单调递增，
在 上单调递减.………………………………5 分
(2)由(1)知，当 时， 在 上单调递增，
∴ 在 上单调递增.
当 时， ，即 ，
0 1 2
1 1
1
0
0
AC n
BC n
⋅ = ⋅ =
0
3 3 0
y
x z
=− + =
1x = ( )1 0 1n = ，，
1 3 6
22
CC n
d
n
⋅
= = =
1 1A BC 6
2
( ) 2
24
2
30
920 145
CP X C
= = = ( ) 1 1
6 24
2
30
481 145
C CP X C
⋅= = = ( ) 2
6
2
30
12 29
CP X C
= = =
X
92 48 1 20 1 2145 145 29 5EX = × + × + × =
1
10
3
10
2
2 1
3 2
1 9 3 7 567
10 10 10 10 50000P C C = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
( ) x xf x e e a−′ = + −
2a ≤ ( ) 2 0x xf x e e a a−′ = + − ≥ − ≥ ( )f x R
2a > ( ) 0f x′ =
2 4
2
x a ae
± −=
2 4ln 2
a ax
± −=
2 24 4ln ln2 2
a a a ax
− − + − ∈ −∞ + ∞ ， ， ( ) 0f x′ >
2 24 4ln ln2 2
a a a ax
− − + − ∈
， ( ) 0f x′ <
( )f x
2 4ln 2
a a − − −∞
，
2 4ln 2
a a + − + ∞
，
2 24 4ln ln2 2
a a a a − − + −
，
2a = ( ) 2x xf x e e x−= − − R
( ) ( ) 1ln 2lng x f x x xx
= = − − ( )0 + ∞，
2n Z n∈ ≥且 1 12ln 1 2ln1 01n nn
− − > − − =
2 1 2lnn nn
− >
X
P 92
145
48
145
1
29∴当 时， ，
∴ .
………………………………12
分
21.(本小题满分 12 分)
解: 设点 ， ， .
(1)∵直线 经过坐标原点，∴ .
∵ ，∴ .
同理得 .
∴ .
∴直线 与直线 的斜率之积为定值. ……………………………5 分
(2)∵ ，∴ .
设 ，则 .
由 ，得 ，
∴动点 的轨迹方程为 . ……………………………8 分
设直线 与直线 交于点 ，则点 为线段 的中点，且 ，
当 时，∵ ， ，∴ ，
∴直线 的方程为 ，整理得 .
将 代入动点 的轨迹方程得， (※).
将 代入(※)，整理得 .
∵ ，∴直线 与动点 的轨迹相切.
当 时，直线 的方程为 ，∴直线 与动点 的轨迹相切.
综上可知，直线 与动点 的轨迹相切. ……………………………12 分
22.(本小题满分 10 分)
(1)曲线 的直角坐标方程为 ，
直线 的极坐标方程为 ( ). ………………………………5 分
(2)设点 ， 的极坐标分别为 ， .
由 得， ，∴ ， ，
2n Z n∈ ≥且 2
1 2 1 1
ln 1 1 1n n n n n
> = −− − +
( )
2
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 21ln 1 3 2 4 1 1 2 1 2 n 1
n
i
n n
i i n n n n n=
− −> − + − + + − = + − − =− + + +∑
( )0 0P x y， ( )1 1A x y， ( )2 2B x y，
l 2 1 2 1x x y y= − = −，
0
2
20 14
x y+ = 0
2
2 01 4
xy = −
1
2
2 11 4
xy = −
00 11
0 1
0 1 0 1 0 1
22 22
2 2
0 1 0 1
2 2 2 2 2 2
0 1 0 1
1 1 4 44 4 1
4PA PB
xx xx
y yy y y yk k x x x x x x x x x x
− −− − − −− + ⋅ = ⋅ = = = = −− + − − −
PA PB
0OA OB OP+ + = 2OP OQ= −
( )Q x y， 0
0
2
2
x x
y y
= −
= −
0
2
20 14
x y+ = 2 24 1x y+ =
Q 2 24 1x y+ =
OB PA M M PA 2 2
2 2
x yM − − ，
2 0y ≠ 0
2
20 14
x y+ = 1
2
21 14
x y+ = 1 0 1 0 2
1 0 1 0 2
1
4 4PA
y y x x xk x x y y y
− += = − ⋅ = −− +
PA 2 2 2
22 4 2
y x xy xy
+ = − +
2
2
2
4
x xy y
+= −
2
2
2
4
x xy y
+= − Q ( ) ( )2 2 2 2
2 2 2 24 4 4 1 0x y x x x y+ + + − =
2
22
2 14
x y+ = 2 2
2 24 4 0x x x x+ + =
2 2
2 216 16 0x x∆ = − = PA Q
2 0y = PA 1x = ± PA Q
PA Q
E ( )2 2+1 4x y+ =
m θ α= Rρ ∈
A C ( )1
ρ α， ( )2
ρ α，
2
=
+2 cos 3 0
θ α
ρ ρ θ
− =
2 +2 cos 3 0ρ ρ α − = 1 2 2cosρ ρ α+ = − 1 2 3ρ ρ = −∴ .同理得 .
∵ ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
∴四边形 面积的最大值为 7. ………………………………10 分
23.(本小题满分 10 分)
(1) ，
根据函数图象得， 的最小值为-2，
∴ . ………………………………5 分
(2)由(1)知， ，
∴ ，
∴ ，
当且仅当 ， ，即 ， ， 时等号成立，
∴ . ………………………………10 分
2
1 2 2 cos 3AC ρ ρ α= − = + 22 sin 3BD α= +
2 2 2 21 2 cos 3 sin 3 cos 3 sin 3 72ABCDS AC BD α α α α= ⋅ = + ⋅ + ≤ + + + =
2 2cos 3 sin 3α α+ = + 3
4 4
π πα = 或
ABCD
( )
3 1
2 2 1 1 3 1 1
3 1
x x
f x x x x x
x x
− < −
= − − + = − − ≤
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