蚌埠市高三年级数学（理）试卷第 1页（共 4 页）
蚌 埠 市 2 0 2 0 届 高 考 模 拟 考 试
数 学（理工类）
本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷
上无效。
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的 A、B、C、D 的四个选项中，
只有一个选项是符合题目要求的）
1． 已知 i 2 iz ，则复数 z 在复平面内对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2． 已知集合 26, 3, 2,1,2,3,5 , 5 6 ,A B x x x x Z ，则 A B
A. 2,3,6 B. 3,2 C. 5,1 D. 5,3,2,1
3．已知命题 π: 0, , sin2p x x x
，则 p 为
A. π0, , sin2x x x
B. π0, , sin2x x x
C. 0 0 0
π0, , sin2x x x
D. 0 0 0
π0, , sin2x x x
4．已知 3.0
3
13 3,2log2，
3
1log cba ,则
A. cba B. bca C. bac D. acb
5. 2019 年以来，世界经济和贸易增长放缓，
中美经贸摩擦影响持续显现，我国对外贸
易仍然表现出很强的韧性.今年以来，商
务部会同各省市全面贯彻落实稳外贸决策
部署，出台了一系列政策举措，全力营造
法治化、国际化、便利化的营商环境，不断
提高贸易便利化水平，外贸稳规模、提质
量、转动力取得阶段性成效，进出口保持
稳中提质的发展势头，右图是某省近五年
进出口情况统计图，下列描述错误．．的是
A．这五年，2015 年出口额最少 B. 这五年，出口总额比进口总额多
C．这五年，出口增速前四年逐年下降 D. 这五年，2019 年进口增速最快
6. 函数 tan lnf x x x x 在
2
π,00,2
π 内的图象大致是
第 5 题图
蚌埠市高三年级数学（理）试卷第 2页（共 4 页）
7．已知双曲线
2
2
2: 1 0yC x bb
右焦点为 F ，圆 2 2 1x y 与双曲线 C 的渐近线在第一象
限内的交点为 M，△OMF 面积为 2 ，则双曲线C 的渐近线方程为
A. 2 2y x B. 2y x C. 2
2y x D. 2
4y x
8．在△ ABC 中，D 为 BC 上一点，E 为线段 AD 的中点，若 2BD DC ，且 BE xAB yAC ，
则 x y
A. 2
3
B. 1
2
C. 1
3
D. 1
3
9. 北京 2022 年冬奥会和冬残奥会色彩系统的主色包括霞光红、迎春黄、天霁蓝、长城灰、瑞雪
白；间色包括天青、梅红、竹绿、冰蓝、吉柿；辅助色包括墨、金、银.若各赛事纪念品的色
彩设计要求：主色至少一种、至多两种，间色两种、辅助色一种，则某个纪念品的色彩搭配
中包含有瑞雪白、冰蓝、银色这三种颜色的概率为
A. 8
225
B. 2
45
C. 1
15
D. 2
15
10. 已知函数 3 sin cos Rf x x x x ，将 xfy 的图象上所有点的横坐标缩短到原来
的
2
1 倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动 π
6
个单位长度，得到 xgy
的图象，则以下关于函数 xgy 的结论正确的是
A. 若 1 2,x x 是 g x 的零点，则 1 2x x 是 2π 的整数倍
B. 函数 g x 在区间 π π,4 4
上单调递增
C. 点 3π ,04
是函数 g x 图象的对称中心
D. π
3x 是函数 g x 图象的对称轴
11. 已知正方体 1111 DCBAABCD 棱长为 4， P 是 1AA 中点，过点 1D 作平
面 α ，满足 CP ⊥平面 α ，则平面 α 与正方体 1111 DCBAABCD 的截面
周长为
A. 4 5 6 2 B. 12 2
C. 8 2 8 D. 8 5
12. 已知 O 为坐标原点，抛物线 pxyC 2: 2 上一点 A 到焦点 F 的距离为 4，若点 M 为抛物线 C
准线上的动点，给出以下命题：
① 当△MAF 为正三角形时， p 的值为 2；
② 存在 M 点，使得 0MA MF ；
③ 若 3MF FA ，则 p 等于 3；
④ OM MA 的最小值为 2 13 ，则 p 等于 4 或 12.
其中正确的是
A. ①③④ B. ②④ C. ①③ D. ②③④
第 11 题图
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213)( 2 ii pxx
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.若直线 y x a 是曲线 ln 2y x 的切线，则实数 a =_____________.
14.
8
2020
11 1x xx
的展开式中， 3x 的系数为_____________.（用数字回答）
15. 已 知 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 f x 满 足 2f x f x ， 且 在 1,2 上 的 表 达 式 为
2 2xf x ，则函数 f x 与 2log , 0,
, 0,
x xg x x x
的图象的交点的个数为_______.
16.在 ABC 中，设角 , ,A B C 的对边分别是 , ,a b c ，若 sin sinsin 2
A CB ，则 1 1
sin sinA C
的
最小值为________.
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试
题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17.（12 分）
已知数列 na 和 nb ， 1 2a ， 1 1 1
n nb a
， 1 2n na b ，
(1) 证明： 1 2
nb
是等比数列；
(2) 若 1
2
n n
n n
b bc ，求数列 nc 的前 n 项和 nS .
18.（12 分）
某省为迎接新高考，拟先对考生某选考学科的实际得分进行等级赋分，再按赋分后的分数从
高分到低分划 A,B,C,D,E 五个等级，考生实际得分经赋分后的分数在 30 分到 100 分之间.在
等级赋分科学性论证时，对过去一年全省高考考生的该学科成绩重新赋分后进行分析， 随
机抽取 2000 名学生的该学科赋分后的成绩, 得到如下频率分布直方图.(不考虑缺考考生
的试卷)
附：若 2( , )X N ，则 0.6826P X ，
2 2 0.9544P X ， 3 3 0.9974P X ，
213 14.59 ,
第 18 题图
蚌埠市高三年级数学（理）试卷第 4页（共 4 页）
（1）求这 2000 名考生赋分后该学科的平均分 x （同一组中数据用该组区间中点作代表）；
（2）由频率分布直方图可以认为，学生经过赋分以后的成绩 X 服从正态分布 2( , )X N ，
其中 近似为样本平均数 x ， 2 近似为样本方差 2s .
(i)利用正态分布，求 (50.41 79.59)P X ，
(ii)某市有 20000 名高三学生，记Y 表示这 20000 名高三学生中赋分后该学科等级为 A 等
（即得分大于 79.59 ）的学生数，利用(i)的结果，求 EY .
19.（12 分）
如图，等腰直角三角形 ABC 所在的平面与半圆弧 AB 所在的平面
垂直， AC AB ， P 是弧 AB 上一点，且 30PAB .
(1) 证明：平面 BCP 平面 ACP ；
(2) 若Q 是弧 AP 上异于 PA, 的一个动点，当三棱锥 APQC
体积最大时，求二面角 CPQA 的余弦值.
20.（12 分）
已知 M 是椭圆
2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
（ ）上一点， 1 2,F F 分别为椭圆 C 的左、右焦点，且
1 2 2F F ， 1 2
π
3F MF ，△ 1 2F MF 的面积为 3 .
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）直线 l 过椭圆 C 右焦点 2F ，交该椭圆于 A，B 两点，AB 中点为 Q ，射线OQ 交椭圆于
P ，记△ AOQ 的面积为 1S ，△ BPQ 的面积为 2S ，若 2 13S S ，求直线 l 的方程.
21.（12 分）
已知函数 e 1 sinxf x a x （a∈R).
（1）当 0,πx 时， 0f x 恒成立，求实数 a 的取值范围；
（2）当 1a 时，数列 na 满足： 0 1na ， 1n na f a ，求证： na 是递减数列.
(参考数据：sin1 0.84 )
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22. [选修 4－4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系 xOy 中，四边形 OABC 是正方形，其中 (2,0)A ， (0,2)C ，以O 为极点， x 轴
的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 E 的极坐标方程为 2cos .
（1）求曲线 E 的直角坐标方程和直线 AC 的极坐标方程；
（2）点 Q 是曲线 E 上的动点，求 22 QCQA 的取值范围.
23.[选修 4－5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 ( ) | 2 1| 2 | |f x x x a
（1）若 1a ，求 ( )f x 的最大值；
（2）若 ( ) 2 0f x 恒成立，求 a 的范围.
第 19 题图
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蚌 埠 市 20 2 0 届 高 考 模 拟 考 试
数学（理工类）参考答案及评分标准
一、选择题：
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答 案 C D D B C A A B B D A C
二、填空题：
13. ln 2 1 14. 98 15. 6 16. 4 3
3
三、解答题：
17.（本题满分 12 分）
解：（1） 1 1 1
n nb a
， 1 2n na b , 212
11
1
nbb nn
,
21
2
121
1nn bb , …………………2 分
又 21 a ， 111
11
ab
，解得
2
121,3
2
1
1
bb ， …………………3 分
1 2
nb
是以
2
1 为首项，
2
1 为公比的等比数列. …………………5 分
(2) 由（1）知
nn
nb
2
1
2
1
2
121 1
，则
12
2
1
n
n
nb ，……………6 分
12
1
12
1
1212
2
2 2121
1
1
nnnn
n
n
nn
n
bbc ，
12
1
12
1
12
1
12
1
12
1
12
1
214332 nnnS
12
1
3
1
2
n
18.（本题满分 12 分）
解：（1）依题意，
35 0.05 45 0.1075 55 0.19 65 0.3 75 0.2x
85 0.1025 95 0.05 ……………………………… 2 分
65 ………………………………4 分
（2）(i)由（1）可知， (65,213)X N ， …………………………………6 分
所以 (50.41 79.59) 0.6826P X P X ………8 分
…………………8 分
…………………12 分
蚌埠市高三年级数学（理）答案第 2页（共 4 页）
.31741587.020000 人所以 EY
(ii)因为 1( 79.59) 0.15872
P XP X
， …………10 分
……………………………………12 分
19.（本题满分 12 分）
解：（1）∵平面 ABC⊥平面 ABP，AC⊥AB,
平面 ABC∩平面 ABP=AB， ,ABCAC 平面
,ABPAC 平面 …………………………………………………2 分
又 ,, BPACABPBP 平面 ………………………3 分
,, BPAPAB 为直径 又 ,, AAPACBPAC
,ACPBP 平面 ……………………………………………………5 分
又 ., ACPBCPBCPBP 平面平面平面 …………………………6 分
（2） ,, ACPACAPQAC 平面平面
∴平面 ACP⊥平面 AQP
当三棱锥 C-APQ 体积最大时，Q 为 AP 的中点. ………………7 分
πPAB AQ QP BP ＝ ， ＝ ＝6 ，且
3
πQAB
设 AB AC＝ ＝4，则 2 3AQ BP AP＝ ＝2， ＝ ，
故以 A 为原点， ABAC, 分别为 x 轴，y 轴正方向，
建立空间直角坐标系 xyzA
则 0,0,0 , 4,0,0 , 0,1, 3 , 0,3, 3A C Q P ，
4,0,0 4, 3, 3 0, 2,0AC PC PQ ， ， ， …………………9 分
设平面 PQC 的法向量为 , ,x y zm ，
则 0
0
PC
PQ
m
m
，即 3 3 0
2 0
x y z
y
4 ，
可得平面 PQC 的一个法向量 3, , 0 4m ，易知 AC
为平面 APQ 的一个法向量，
4 3 57cos , 194 3 0 16
ACAC
AC
mm
m
， …………………11 分
A PQ C二面角 － － 的余弦值为 57
19 . ………………12 分
20.（本题满分 12 分）
解：（1）由 1 2 2F F 可知 1c .设 ,, 21 nMFmMF 则 2m n a .
由 1 2
π
3F MF 与
1 2
3F MFS ,可得 1 sin 32 3mn ，即 4mn ， ………2 分
又在△ 1 2F MF 中结合余弦定理得， 2 24 2 cos 3m n mn ，
即 24 ( ) 3m n mn ，得 4m n ， ……………………………4 分
所以 2a ，故 2 3b ，所以椭圆 C 的方程为
2 2
14 3
x y . ………………6 分
蚌埠市高三年级数学（理）答案第 3页（共 4 页）
（2） 2 13 ,S S 1 1| || | sin 3 | || | sin2 2PQ QB BQP OQ QA AQO ∴
| | 3| |PQ OQ即 | | 4 | | 4 ,P QOP OQ x x ∴ ，从而 ……………………………8 分
当 AB 斜率不存在时， 1 2S S ，不符合题意；
当 AB 斜率存在时，设直线 AB 的方程为 1y k x ，
设点 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，则
2 2
1 1
2 2
2 2
14 3
14 3
x y
x y
，
两式作差可得 1 2 1 2
1 2 1 2
3
4
y y y y
x x x x
，即 3
4AB OPk k ，即 3
4OPk k
.
故直线OP 的方程为 3
4y xk
. ……………………………………10 分
联立 2 2
3
4
14 3
y xk
x y
，解得
2
2
2
16
3 4P
kx k
；联立
1
3
4
y k x
y xk
，解得
2
2
4
3 4Q
kx k
；
因为 4 ,P Qx x 所以
2
2
2 43
44
43
4
k
k
k
k
，解得 1
2k ，
直线 AB 方程为 1 12y x . ………………………………………12 分
21.（本题满分 12 分）
解：（1）因为 0,πx ， e cos , e sinx xf x a x f x a x .
① 当 0a 时，即 0a ， sin 0, sin 0x a x ，
又 e 1 0x ， e 1 sin 0x a x ，
即 0f x 恒成立，符合题意； …………………………………2 分
② 当 0 1a 时， e sin 0xf x a x
f x 在区间 0,π 单调递增， 0 1 0, '(0) 0f a f x f ，
f x 在区间 0,π 单调递增，
0 0, (0) 0f f x f ，符合题意； ……………………………………4 分
③ 当 1a 时， e sin 0xf x a x f x 在区间 0,π 单调递增，
π
2π0 1 0, =e 02f a f ， 0 00,π , 0x f x 使 ，且
00 , 0,x x f x f x 当 时 单调递减， 0 π , 0,x x f x f x 当 时 单调递增，
0 0 0f x f ，不符合题意； 综上所述， a 的范围是 ,1 . …………6 分
（2）由题意， 1a ， e 1 sin , 0,1xf x x x ，
令 e 1 sinxg x f x x x x ， e cos 1xg x x ，
蚌埠市高三年级数学（理）答案第 4页（共 4 页）
e sin 0xg x x ， g x 在区间 0,1 单调递增， ………………………8 分
011cos)1(,01)0( egg ， 1 10,1 , 0x g x 使 ，
10 , 0,x x g x g x 单调递减， 1 1, 0,x x g x g x 单调递增，
0 0, 1 e 1 sin1 1 e 2 0.84 0g g ，
0g x ，即当 0,1 ,x f x x ， …………………………………10 分
由（1）知 e 1 sin , 0,1xf x x x 单调递增，
0 1na ， 10 (0) ( ) (1) 1 sin1 1n nf a f a f e ∴
而 ,0)(1 nnnn aafaa 即 1n na a ，故 na 是递减数列. ………………12 分
22. （本题满分 10 分）
解：（1）由 2cos ，得 2 2 cos
从而 2 2 2x y x ， 故曲线 E 的直角方程为 1)1( 22 yx . …………3 分
（注：不化为标准形式不扣分）
而直线 AC 的普通方程为 2x y ,
所以其极坐标方程为 cos sin 2 . ………………………………5 分
（2）因为点 Q 在曲线 E 上，所以可设其坐标为 (1 cos ,sin ) ，………………6 分
则 2 2| | | |QA QC
2 2(cos 1) (sin ) 2 2(1 cos ) (sin 2) 8 4sin . ………8 分
因为 1 sin 1 ，所以 2 24 | | | | 12QA QC ，
所以 2 2| | | |QA QC 的取值范围是[4,12] . …………………………………10 分
23. （本题满分 10 分）
解：（1）当 1a 时， ( ) | 2 1| 2| 1|f x x x ， …………………………………1 分
所以，当 1x 时， ( ) 2 1 2 2 3f x x x ； …………………………2 分
当 11 2x 时， ( ) 2 1 2 2 4 1 3f x x x x ； …………………3 分
当 1
2x 时， ( ) 2 1 2 2 3f x x x . …………………………………4 分
所以 ( )f x 的最大值为 3. ………………………………………………………5 分
（2）因为 ( ) | 2 1| 2| | | 2 1| | 2 2 |f x x x a x x a
| (2 2 ) (1 2 ) | |1 2 |x a x a ， ………………………………7 分
当 x=a 时等号成立.
依题意|1 2 | 2a ，
所以 1 3[ , ]2 2a . …………………………………………………………10 分
（以上答案仅供参考，其它解法请参考以上评分标准酌情赋分）
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