蚌埠市高三年级数学（文）试卷第 1 页（共 4 页）
蚌 埠 市 2 0 2 0 届 高 考 模 拟 考 试
数 学（文史类）
本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷
上无效。
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的 A、B、C、D 的四个选项中，
只有一个选项是符合题目要求的）
1. 设集合 { 2,2,4,6}A ， 2{ | 12 0}B x x x ，则 A B
A. ( 2,2) B. { 2,0,2} C. {2,4} D. { 2,2}
2. 已知i 是虚数单位，若 (i 2) 2iz ，则 z
A. 2 4i
5 5
B. 2 4i
5 5
C. 2 4i
5 5
D. 2 4i
5 5
3. 已知 为锐角， π 3sin( )3 3
，则 cos
A. 6 3
6 2
B. 6 3
6 2
C. 6 1
6 2
D. 6 1
6 2
4. 双曲线
2 2
2 2 1x y
a b
的一条渐近线过 ( 1,2) ，则双曲线的离心率为
A. 5 B. 10
2
C. 5
2
D. 2
5. 2019 年以来，世界经济和贸易增
长放缓，中美经贸摩擦影响持续
显现，我国对外贸易仍然表现出
很强的韧性. 今年以来，商务部会
同各省市全面贯彻落实稳外贸决
策部署，出台了一系列政策举措，
全力营造法治化、国际化、便利化
的营商环境，不断提高贸易便利化
水平，外贸稳规模、提质量、转动力取得阶段性成效，进出口保持稳中提质的发展势头，右图
是某省近五年进出口情况统计图，下列描述错误．．的是
A．这五年，2015 年出口额最少 B. 这五年，出口总额比进口总额多
C．这五年，出口增速前四年逐年下降 D. 这五年，2019 年进口增速最快
第 5 题图
蚌埠市高三年级数学（文）试卷第 2 页（共 4 页）
6. 已知 0.5
3 1
3
log 2, log 4, 3a b c ,则
A. a b c B. a c b C. b c a D. b a c
7. 已知数列{ }na 的前 n 项和为 nS ， 1 2 1nS nn
，则 1 7a a
A. 30 B. 29 C. 28 D. 27
8. 函数 tan lnf x x x x 在
2
π,00,2
π 内的图象大致是
9. 在△ ABC 中，D 为 BC 上一点，E 为线段 AD 的中点，若 2BD DC ，且 BE xAB yAC ，
则 x y
A. 2
3
B. 1
2
C. 1
3
D. 1
3
10. 已知四棱锥 ABCDS 的底面 ABCD 为边长为 2 的菱形， 5 SCSA ， 3 SDSB ,
E 为 AB 中点，则 SE 与底面 ABCD 所成角的正切值为
A. 1
2
B. 2
2
C. 2 D. 2
11. 已知函数 )2
π|φ|,0,0φ)(cos(ω)( AxAxf 的图象如图所示，且 ( )f x 在 0x x 时
取得最小值，则 0| |x 的最小值为
A.
6
π B.
3
π C.
2
π D.
3
π2
第 11 题图 第 12 题图
蚌埠市高三年级数学（文）试卷第 3 页（共 4 页）
12. 已知正方体 1111 DCBAABCD 棱长为 4， P 是 1AA 中点，过点 1D 作平面 ，满足 CP 平
面 ，则平面 与正方体 1111 DCBAABCD 的截面周长为
A. 12 2 B. 4 5 6 2 C. 8 2 8 D. 8 5
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 请将答案填在答题卷相应横线上）
13. 已知命题 π: 0, , sin 02p x x x
，则 p 为____________________.
14. 已知函数
2
2 , 1( )
log (1 ), 1
x xf x
x x
，则 (0) ( 3)f f ____.
15. 已知 O 为坐标原点，抛物线 2: 2C y px 上一点 A 到焦点的距离为 4，若点 M 为抛物线 C 准
线上的动点，且 OM MA 的最小值为 2 13 ，则 p 等于______.
16. 在 ABC 中，设角 , ,A B C 的对边分别是 , ,a b c ，若 sin sinsin 2
A CB ，则 1 1
sin sinA C
的最小值为________.
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试
题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（12 分）
已知等差数列{ }na 的公差不为 0， 1 1a ，且满足 4 6 9, ,a a a 成等比数列.
（1）求数列{ }na 的通项公式；
（2）设
2
1
n
n n
b a a
，记数列 nb 的前 n 项和 nS ，证明： 3
4nS .
18. （12 分）
某省为迎接新高考，拟先对考生某选考学
科的实际得分进行等级赋分，再按赋分后
的分数从高分到低分划 A,B,C,D,E 五个等
级，考生实际得分经赋分后的分数在 30
分到 100 分之间.在等级赋分科学性论证
时，对过去一年全省高考考生的该学科成
绩重新赋分后进行分析，随机抽取 2000
名考生的该学科赋分后的成绩, 得到如上频率分布直方图. （不考虑缺考考生的试卷）.
（1）求这 2000 名考生该学科赋分后的平均分 x （同一组中数据用该组区间中点作代表）；
（2）某市有 20000 名考生，请估计赋分后成绩不低于 80 分的人数；
（3）用分层抽样的方式在 60 分到 80 分的学生中抽取一个容量为 5 的样本，再从这 5 人中
任选两人，求这两人分数都超过 70 分的概率.
第 18 题图
蚌埠市高三年级数学（文）试卷第 4 页（共 4 页）
19. （12 分）
如图，等腰直角三角形 ABC 所在的平面与半圆弧 AB 所
在的平面垂直， AC AB ， P 是弧 AB 上一点，且
30PAB .
（1）证明： ACPBCP 平面平面 ；
（2）若Q 是弧 AP 上异于 PA, 的一个动点，
且 4AB ，当三棱锥 APQC 体积最大时，
求点 A 到平面 PCQ 的距离.
20. （12 分）
已知函数 ( ) e 1 sinxf x a x R).( a
（1）当 1a 时，求曲线 ( )f x 在 ))0(,0( f 处的切线方程；
（2）若当 0,πx 时， 0f x 恒成立，求实数 a 的取值范围.
21. （12 分）
已知椭圆
2 2
2: 1 03
x yC aa
（ ）的离心率为 1
2
， 1 2,F F 分别为椭圆C 的左、右焦点.
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）直线l 过椭圆C 右焦点 2F ，交该椭圆于 BA, 两点， AB 中点为Q ，射线OQ 交椭圆于
P ，记△ AOQ 的面积为 1S ，△ BPQ 的面积为 2S ，若 2 13S S ，求直线l 的方程.
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22. [选修 4－4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系 xOy 中，四边形OABC 是正方形，其中 (2,0)A ， (0,2)C ，以O 为极点， x 轴
的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 E 的极坐标方程为 2cos .
（1）求曲线 E 的直角坐标方程和直线 AC 的极坐标方程；
（2）点Q 是曲线 E 上的动点，求 2 2| | | |QA QC 的取值范围.
23. [选修 4－5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 ( ) | 2 1| 2 | |f x x x a
（1）若 1a ，求 ( )f x 的最大值；
（2）若 ( ) 2 0f x 恒成立，求 a 的范围.
第 19 题图
蚌埠市高三年级数学（文）参考答案第 1 页（共 4 页）
蚌 埠 市 2 0 2 0 届 高 考 模 拟 考 试
数学（文史类）参考答案及评分标准
一、选择题：
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答 案 D A C A C D B A B C D B
二、填空题：
13. 0 0 0
π0, , sin 02x x x
14. 1 15. 4 16. 4 3
3
三、解答题：
17. （本题满分 12 分）
（1）设等差数列{ }na 的公差为 ( 0)d d ，
由 4 6 9, ,a a a 成等比数列，得 2
6 4 9a a a ， ………………………………………………2 分
即 2
1 1 1( 5 ) ( 3 )( 8 )a d a d a d ，
整理得 2
1 0d a d ，
结合 1 1a ， 0d ，解得 1d ， ……………………………………………………5 分
所以 na n . ………………………………………………………………………………6 分
（2）由（1）知
2
1 1 1 1 1( )( 2) 2 2n
n n
b a a n n n n
， ………………………………8 分
故 )5
1
3
1()4
1
2
1()3
1
1
1[(2
1
nS … )]2
11(
nn
1 1 1 1(1 )2 2 1 2n n
………………………………………………………10 分
3 1 1 1( )4 2 1 2n n
3
4
. …………………………………………………12 分
18. （本题满分 12 分）
（1）依题意，
35 0.05 45 0.1075 55 0.19 65 0.3 75 0.2x 85 0.1025 95 0.05
……………………………………………………………………………………… 2 分
65 ……………………………………………………………………………………4 分
（2）依题意，所求人数为 20000×（0. 01025×10+0. 00500×10）=3050 ………………6 分
（3）由频率分布直方图可知，60 分到 80 分之间的学生人数比为 3:2，所以按照分层抽样的
方式抽的样本中，60 分到 70 分的有 3 人，分别记为 ,,, 321 AAA 70 分到 80 分的有 2 人，
分别记为 ., 21 BB …………………………………………………………………………8 分
从中任选两人，列举如下：
),,( 21 AA ),,( 31 AA ),,( 11 BA ),,( 21 BA ),,( 32 AA ),,( 12 BA ),,( 22 BA ),,( 13 BA ),,( 23 BA
),,( 21 BB 共 10 种情况，………………………………………………………………10 分
而两人分数都超过 70 分的共有 1 种情况，
所以从这 5 人中任选两人，这两人分数都超过 70 分的概率 1
10p . ………………12 分
蚌埠市高三年级数学（文）参考答案第 2 页（共 4 页）
19. （本题满分 12 分）
（1）∵平面 ABC 平面 ABP ， ABAC ，
平面 ABC 平面 ABABP ， AC 平面 ABC ，
,ABPAC 平面 ……………………………………………………………………2 分
又 ,, BPACABPBP 平面 ……………………………………………………3 分
,, BPAPAB 为直径
又 ,, AAPACBPAC
,ACPBP 平面 ……………………………………………………………………5 分
又 ., ACPBCPBCPBP 平面平面平面 ………………………………………6 分
（2） ,, ACPACAPQAC 平面平面
∴平面 ACP⊥平面 AQP
当三棱锥 C-APQ 体积最大时，Q 为 AP 的中点. ……………………………………7 分
πPAB AQ QP BP ＝ ， ＝ ＝6 ，且
3
πQAB
4 ACAB ，则 2 PBQPAQ ， 32AP
32
3222
1sin2
1 AQPQPAQS
APQ ， ……………………………8 分
在△CPQ 中， 5224 2222 AQACCQ ，
,72324 2222 APACPC
,
52
1
2522
28420
2cos
222
QPCQ
CPPQCQCQP
,20
19sin CQP …………………………………………………………………10 分
1920
192522
1sin2
1 CQPQPCQS PQC
.
设点 A 到平面 PCQ 的距离为 d ，则由 APQCPCQA VV ,
，
19
574，433
1·193
1，·3
1·3
1 ddACSdS APQPQC 即得
点 A 到平面 PCQ 的距离为
19
574 . ………………………………………………12 分
20. （本题满分 12 分）
（1）当 1a 时， ( ) e 1 sinxf x x ， ( ) e cosxf x x ，
则 (0) 0, (0) 0f f ， ………………………………………………………………2 分
所以曲线 ( )f x 在 0x 处的切线方程为 0 0 ( 0)y x ，
即 0y . …………………………………………………………………………………4 分
蚌埠市高三年级数学（文）参考答案第 3 页（共 4 页）
（2）因为 0,πx ， cos , sinx xf x e a x f x e a x .
① 当 0a 时，即 0a ， sin 0, sin 0x a x ，又 1 0xe ，
1 sin 0xe a x ，即 0f x 恒成立，符合题意；………………………6 分
② 当 0 1a 时， sin 0xf x e a x
f x 在区间 0,π 单调递增， 0 1 0, 0f a f x ，
f x 在区间 0,π 单调递增，
0 0, 0f f x ，符合题意；……………………………………………8 分
③ 当 1a 时， sin 0xf x e a x f x 在区间 0,π 单调递增，
π
2π0 1 0, =e 02f a f ， 0 00,π , 0x f x 使 ，
00 , 0,x x f x f x 单调递减；
0 π, 0,x x f x f x 单调递增；
0 0 0f x f ，不符合题意；………………………………………………11 分
综上所述， a 的范围是 ,1 . ……………………………………………………12 分
21. （本题满分 12 分）
（1）由题意可知椭圆的离心率为
2 3 1
2
a
a
，解得 2a ，……………………………3 分
所以椭圆C 的方程为
2 2
14 3
x y . ……………………………………………………4 分
（2） 2 13S S ，
1 1| || | sin 3 | || | sin2 2PQ QB BQP OQ QA AQO
| | 3| |, | | 4 | |, 4 ,P QPQ OQ OP OQ x x ……………………………………6 分
AB 斜率不存在时， 1 2S S ，不符合题意；………………………………………7 分
当 AB 斜率存在时，设直线 AB 的方程为 1y k x ，
设点 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，则
2 2
1 1
2 2
2 2
14 3
14 3
x y
x y
，
两式作差可得 1 2 1 2
1 2 1 2
3
4
y y y y
x x x x
，即 3
4AB OPk k ，即 3
4OPk k
.
故直线OP 的方程为 3
4y xk
. …………………………………………………9 分
蚌埠市高三年级数学（文）参考答案第 4 页（共 4 页）
联立 2 2
3
4
14 3
y xk
x y
，解得
2
2
2
16
3 4P
kx k
；
联立
1
3
4
y k x
y xk
，解得
2
2
4
3 4Q
kx k
；
因为 QP xx 4 ，所以 2
2
2 43
44
43
||4
k
k
k
k
，解得 1
2k ，
直线 AB 方程为 1 12y x . ……………………………………………………12 分
22. （本题满分 10 分）
解：（1）由 2cos ，得 2 2 cos
从而 2 2 2x y x ， 故曲线 E 的直角方程为 1)1( 22 yx . ……………………3 分
（注：不化为标准形式不扣分）
而直线 AC 的普通方程为 2x y ,
所以其极坐标方程为 cos sin 2 . …………………………………………5 分
（2）因为点 Q 在曲线 E 上，所以可设其坐标为 (1 cos ,sin ) ，………………………6 分
则 2 2| | | |QA QC
2 2(cos 1) (sin ) 2 2(1 cos ) (sin 2) 8 4sin . ………………8 分
因为 1 sin 1 ，所以 2 24 | | | | 12QA QC ，
所以 2 2| | | |QA QC 的取值范围是[4,12] . …………………………………………10 分
23. （本题满分 10 分）
解：（1）当 1a 时， ( ) | 2 1| 2| 1|f x x x ， ………………………………………1 分
所以，当 1x 时， ( ) 2 1 2 2 3f x x x ；…………………………………2 分
当 11 2x 时， ( ) 2 1 2 2 4 1 3f x x x x ；…………………………3 分
当 1
2x 时， ( ) 2 1 2 2 3f x x x . …………………………………………4 分
所以 ( )f x 的最大值为 3. ………………………………………………………………5 分
（2）因为 ( ) | 2 1| 2| | | 2 1| | 2 2 |f x x x a x x a
| (2 2 ) (1 2 ) | |1 2 |x a x a ，………………………………………7 分
当 ax 时等号成立.
依题意|1 2 | 2a ，
所以 1 3[ , ]2 2a . ……………………………………………………………………10 分
（以上答案仅供参考，其它解法请参考以上评分标准酌情赋分）
微信/支付宝扫码支付