宜春市 2020 届高三年级模拟考试数学(理)试卷
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.已知集合 A＝{x||x|>x}，B＝{－1，0，1，2}，则 A∩B＝
A.{－1，0} B.{－1} C.{2，3} D.{0，2，3}
2.在△ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边，若 b＝2acosC，则此三角形一定是
A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形
3.已知函数 f(x)在 x0 处的导数为 f'(x0)，则 等于
A.mf'(x0) B.－mf'(x0) C.－ mf'(x0) D. mf'(x0)
4.在(2x＋y)(x－y)5 的展开式中，x4y2 的系数为
A.－20 B.－10 C.15 D.5
5.函数 f(x)＝2020x＋sin(2020x)，若满足 f(x2＋x)＋f(1－m)≥0 恒成立，则实数 m 的取值范围
为
A.[1，＋∞) B.(－∞， ] C.[2，＋∞) D.(－∞，1]
6.在新冠肺炎疫情期间，某医院有 10 名医生报名参加“援鄂医疗队”，其中有 3 名女医生。现
从中抽选 5 名医生，用 X 表示抽到男医生的人数，则 X＝3 的概率为
A. B. C. D.
7.元朝著名的数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走。遇店添
一倍，逢友饮一斗。”基于此情景，设计了如图所示的程序框图，若输入的 x＝ ，输出的 x＝
9，则判断框中可以填
A.k>4 B.k>5 C.k>6 D.k>7
8.如图，在四边形 ABCD 中，AB//CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2CD，E 是 BC 边上一点且
，F 是 AE 的中点，则下列关系式不正确的是
( )0 0f x f (x m x)lim x
− − ∆
∆
1
m
1
m
3
4
7
12
5
36
1
12
5
12
5
4
BC 3EC= A. B.
C. D.
9.己知四棱锥 P－ABCD，底面 ABCD 为矩形，侧面 PCD⊥平面 ABCD，BC＝2 ，CD＝PC
＝PD＝2 ，若点 M 为 PC 的中点，则下列说法正确的个数为
(1)PC⊥平面 ADM (2)四棱锥 M－ABCD 的体积为 12
(3)BM//平面 PAD (4)四棱锥 M－ABCD 外接球的表面积为 36π
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
10.太极图被称为“中华第一图”。从孔庙大成殿梁柱，到楼观台、三茅宫标记物：从道袍、卦
摊、中医、气功、武术到韩国国旗……太极图无不跃居其上。这种广为人知的太极图，其形
状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”。在某个太极图案中，阴影部分可
表示为 A＝{(x，y)|x2＋(y－1) 2≤1 或 ，设点(x，y)∈A，则 z＝3x＋4y 的
最大值与最小值之差为
A.19 B.18 C.－1 D.20
11.已知定义在[0， ]上的函数 f(x)＝sin(ωx－ )(ω>0)的最大值为 ，则正实数 ω 的取值个
数最多为
A.4 B.3 C.2 D.1
12.已知抛物线 C 方程为 x2＝4y，F 为其焦点，过点 F 的直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点，
且抛物线在 A，B 两点处的切线分别交 x 轴于 P，Q 两点，则|AP|·|BQ|的取值范围为
A.( ，＋∞) B.[2，＋∞) C.(2，＋∞) D.[0，2)
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.已知双曲线 C： 的离心率为 ，则 C 的渐近线方程为 。
1BC AB AD2
= + - 1 1AF AB AD3 3
= +
1 2BF AB3 3 AD= + 1 2CF AB AD6 3
= − −
3
6
( )
2 2
22
x y
4x y l l
x 0
+ ≤
+ + ≥
≤
6
π
6
π
5
ω
1
2
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 5
214.若复数 Z 满足方程 x2－4x＋5＝0，且 在复平面内对应的点位于第一象限，则 Z＝ 。
15.己知数列{an}中 a1＝11，an＋1＝an＋ ，若对任意的 m∈[1，4]，任意的 n∈N*使得 an1 时，h(x)有且仅有 2 个零点。
20.(12 分)己知椭圆 C： 的左、右焦点分别为 F1、F2，离心率为 ，点
Z
1
( 1)n n +
1
xe
1
16
n n+2
1
b b
2
4
5
ln 2
2
1
2
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 1
2P 是椭圆 C 上的一个动点，且△PF1F2 面积的最大值为 。
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)椭圆 C 与 x 轴交于 A、B 两点，直线 AP 和 BP 与直线 l：x＝－4 分别交于点 M，N，试探
究以 MN 为直径的圆是否恒过定点，若是，求出所有定点的坐标；若否，请说明理由。
21.(12 分)超级细菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物
越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐
药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，
高烧，痉挛，昏迷甚至死亡。某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，
现有 n(n∈N*)份血液样本，每个样本取到的可能性相等，有以下两种检验方式：(1)逐份检验，
则需要检验 n 次：(2)混合检验，将其中 k(k∈N*且 k≥2)份血液样本分别取样混合在一起检验，
若检验结果为阴性，则这份的血液全为阴性，因而这 k 份血液样本只要检验一次就够了；如
果检验结果为阳性，为了明确这 k 份血液究竞哪儿份为阳性，就要对这 k 份血液再逐份检验，
此时这 k 份血液的检验次数总共为 k＋1 次。假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验
结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是用性结果的概率为 p(05 的解集；
(2)问： 是否存在最小值?若存在，请求出 m 的值；若不存在，请说明理由。
2020 年宜春市高三（理）统考试卷答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
x 2 2t
y 1 2t
= +
= − −
2
4
m
4( ) ( 2)f x m m
+ −答案 B C A C B D B C C A C B
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13. 14.2-i 15. 16.-e
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（1）设数列 的公比为 .由 得 ，所以
由条件可知 ，故 ，由 ，得 2 分
故数列 的通项公式为 ；..4 分
（2） .
故 8 分
.所以数列 的前 项和 . .12 分
.
(2)以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则 D（0，0，0），A（4，0，0），B（4，3，0），
F（4，3，--3），C（0，4，0）
则
xy 2
1±= ( ] [ ), 6 3,−∞ − +∞
{ }na q 4 6 3 916a a a a= 2 2
5 616a a= 2 1
16q =
0q > 1
4q = 2
1
16a = 1
1
4a =
{ }na 1
4n na =
4 4
1log log 4n n nb a n= = = −
( )
+−=+=
+ 2
11
2
1
2
11
2 nnnnbb nn
+−++
+
=+++=
+ 2
11......4
1-2
1
3
1-12
11......11
24231 nnbbbbbbT
nn
n
( )( )214
53n2
++
+=
nn
n
+2
1
nnbb
n ( )( )214
53n2
++
+=
nn
nTn
分...5..............................//,//D
,
//
,
3,3,5,4
)1(18.
BCEDFBEF
BEDFDEBF
DEBF
ABCDBFABCDDE
BFDEAEAD
ADDEABCDDE
平面则
为平行四边形四边形
平面平面又
同理可得
，平面
∴
∴=
∴
⊥⊥
==∴==
⊥∴⊥
)0,4,0(),3,3,0( =−= DCAF
YX A B CDE FZ令 ，则
设平面 CDM 的法向量 ，则
即 ，得
又平面 ABF 的法向量 ，
设平面 ABF 与平面 CDM 的夹角为 ，则
，则
即：M 点与 F 点重合时满足题意..12 分
19.（1） 可得 ..2 分
在 处的切线方程为 ，即 .
..4 分
在 处的切线方程为 即 ，
故
可得 6 分
（2）证明：由（1）可得 ，
，..8 分
令 ，则 ，
，
时， 有两根 且 ，
，
得： ，
在 上， ，
)10( ≤≤= λλ AFAM )3,3,4( λλ −=+= AMDADM
),,( zyxn =
=⋅
=⋅
0
0
DMn
DCn
=−+
=
0334
04
zyx
y
λλ )4,0,3( λ=n
)0,0,1(=m
θ
5
3cos,5
4sin == θθ
5
3
169
3,coscos 2
=
+
=> 22 0t t m− − = 1 2,t t 1 20t t< <
1 2( ) 2( )( ) 0x xh x e t e t′ = − − =
2lnx t=
2( ln ), t−∞ ( ) 0h x′
2(ln ) (0) 0h t h< =
x → −∞ ( ) ,h x x→ +∞ → +∞ ( )h x → +∞
2( ln ), t−∞ 2(ln , )t +∞ ( )h x
1m > ( )h x
C 1
2 P C
1 2PF F△ 3
2 2 2
1
2
1 2 32
c
a
a b c
c b
=
= +
× × =
2
3
1
a
b
c
=
=
=
C
2 2
14 3
x y+ =
( )2,0A − ( )2,0B
2
2
2 2
3 1 4 3
4 4 4AP BP
x
yk k x x
− = = = −− −
AP ( )2y k x= + BP ( )3 24y xk
= − −
M N
0y =
M N ( )0,1− ( )0,7−
kE =)( 1ξ
kk pkPpP )1(1)1(,)1()1( 22 −−=+=−== ξξ
kkk pkkpkpE )1(1])1(1)[1()1()( 2 −−+=−−++−=ξ
kN 2
94- ，( )kM 2-4- ，
( ) ( ) 02
924 2 =
−+++
kykyx
72 −=x11 −=x，
则 即 .4 分
（Ⅱ）（1）当 时，有
则猜想：
下面用数学归纳法进行证明：
当 时， 满足
假设当 时，
则当 时，
设 ，则
整理可得：
)()( 21 ξξ EE = kpkkk )1(1 −−+=∴
,1)1( kp k =− )2()1(1
1
≥∈−= ∗ kNkkp k 且
2=n 3
1
22
1
2
2
2
1
2
2
21
2
23
1
1 exxx
xx
xx
xe =⇒=−
−=⋅−
3
1−
=
n
n ex
1=n 11 =x
kn = 3
1−
=
k
k ex
1+= kn )1....11(
13221
2
1
3
1
1
2
1
1
3
1
+
+
−
+
+
=
− +++⋅⋅=∑⋅
kk
k
ii
k
k
i xxxxxxxexx
xe
)11(1
1
∗
+
∈−≤≤= Nmkmxxa
mm
m 且 3
2
1
1
1
−
+
−
−
== ex
x
a
a
m
m
m
m
1
3
1
3
2
3
)1(2
3
1
1
121
113221
1
]1[
1...11....11
+
−−−−
+
−
+−
+
−
−=
++++=++++∴
k
kk
kk
k
kkkk
x
e
e
ee
xxaaaxxxxxxxx
)1....11(
13221
2
1
3
1
1
2
1
1
3
1
+
+
−
+
+
=
− +++⋅⋅=∑⋅∴
kk
k
ii
k
k
i xxxxxxxexx
xe
1
1
1
)(]1[
1
]1[
3
2
2
1
3
2
1
3
2
32
1
3
)1(2
1
3
1
3
2
3
)1(2
3
1
2
1
3
1
−
−=
−
⋅−−⋅−∴
+
−
−⋅⋅=
++
−−−
+
−−
+
−−−−
+
−
e
x
e
xeexe
x
e
e
eexe
kk
kk
k
k
k
kk
k
0))(( 3
2
1
3
1 =+−
−
++
k
k
k
k exex
（舍去）或 3
2
1
3
1
−
++ −==∴
k
k
k
k exex由可得： 对一切 都成立。
即 为等比数列..8 分
（2）依题可知：
由（1）可知：
令 ，则
所以 在[2，4）上单调递增，在 上单调递减
则 的最大值为 812 分
22.（1）直线 ；曲线 C： .4 分
(2)直线 的参数方程为： 代入曲线方程得：
设 M,N 对应的参数分别为 ：则
..10 分
22、（1）依题意：|x-4|+|2x+1|>5
3
1−
=
n
n ex ∗∈ Nn
}{ nx
8
7
11
x
p −=
011)1()()( 4
21 >−=−−=− −k
k kepkEE ξξ
04ln1ln4
>−⇒>−∴ kkk
k
)2(4ln)( ≥−= kkkkf k
k
kkf 4
4
4
11)(' −=−=
)(kf ),4( +∞
04
88ln)8(,04
99ln)9( >−=>++−> xxxx 得时，当
分综上，原不等式解集为 4......).........,0()3
2,( +∞−−∞
>+−
≤≤−++
−
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