江西省宜春市2020届高三数学（文）5月模拟试卷（Word版带答案）

宜春市 2020 届高三年级模拟考试数学(文)试卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.若集合 M＝{x|－2m＋n B.mn>m－n>m＋n C.m－n>m＋n＝mm D.m＋n>m－n＝mn 9.将函数(f(x)＝sin(2x＋ )的图象上各点的横坐标伸长到原来的 4 倍(纵坐标不变)，再将所得 到的图象向右平移 m(m>0)个单位长度，得到函数 g(x)的图象。若 g(x)为偶函数，则 m 的最小 值为 A. B. C. D. 10.对于 R 上可导的任意函数 f(x)，若满足(x－1)f'(x)≤0，则必有 A.f(0)＋f(2)2f(1) 11.已知双曲线 C： 的右焦点为 F，O 为坐标原点。以 F 为圆心，OF 为 半径作圆 F，圆 F 与 C 的渐近线交于异于 O 的 A，B 两点。若|AB|＝ |OF|，则 C 的离心率 为 A. B. C. D.2 12.己知函数 f(x)＝ ，若函数 g(x)＝f(x)－ax＋2a 存在零点，则实数 a 的取值范围为 A.[－ ，e3] B.(－∞，－ ]∪[e3，＋∞) C.[－ ， ] D.(－∞，－ ]∪[e2，＋∞) 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 6 π 6 π 3 π 2 3 π 4 3 π 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b − = > > 3 2 10 5 1 7 3 + 2 3 3 2 x x 2x 1 2 x 0 e x 0 − − + − ≤ > 3 2 2 AB GF x l cos y 3 sin α α = + = +(2)设直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 P1，P2，指出 θ0 的范围，并求 的取值范 围。 23.[选修 4－5：不等式选讲](10 分) 已知 a，b，c 为正数，且满足 a＋b＋c＝3。 (1)证明： ≤3； (2)证明：9ab＋bc＋4ac≥l2abc。 宜春市 2020 届高三模拟考试数学（文科）试卷 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A D A C B C C D B C B 1 2 1 1 OP OP + ab bc ac+ +二、填空题 13． -2 14． 15． 16.64 三、解答题 17.（12 分） 解：（1）∵ 是等差数列，公差 ， ， ， 可得 ， ，解得 ， ，……………3 分 所以 的通项公式 .…………………………5 分 （2） ，…………………………9 分 数列 的前 项和 .…………………………12 分 18．（12 分） 解：（1）C 学校高中生的总人数为 ， C 学校参与“创文”活动的人数为 ．…………………………4 分 （2）A 校没有参与“创城”活动的这 1 人记为 ，B 校没有参与“创文”活动的这 5 人分别 记为 ，任取 2 人共 15 种情况，如下： ，这 15 种情况发生的可能性是 相等的．…………………………6 分 设事件 N 为抽取 2 人中 A，B 两校各有 1 人没有参与“创文”活动，有 ，共 5 种情况． 9 32 6 π { }na 0d ≠ 5 14a = 2 3 1 11a a a= 1 4 14a d+ = ( ) ( )2 1 1 12 10a d a a d+ = + 1 2a = 3d = { }na ( )1 1 3 1na a n d n= + − = − ( )( )1 1 1 1 1 1 3 1 3 2 3 3 1 3 2n n n b a a n n n n+  = = = − − + − +  { }nb n 1 1 1 1 1 1 1 3 2 5 5 8 3 1 3 2nS n n  = − + − +⋅⋅⋅+ − − +  1 1 1 1 1 3 2 3 2 6 9 6 6 4 n n n n  = − = − = + + +  200100 40008000 ÷ = 804000 3200100 × = 1A 1,B 2 ,B 3,B 4 ,B 5B 1 1,A B 1 2 ,A B 1 3 1,A B A 1 4 ,A B 1 5 ,A B 1 2 ,B B 1 3,B B 1 4 ,B B 1 5 ,B B 2 3,B B 2 4 ,B B 2 5 ,B B 3 4 ,B B 3 5 ,B B 4 5B B 1 1,A B 1 2 ,A B 1 3 1,A B A 1 4 ,A B 1 5A B则 ． 故 恰 好 A ， B 两 校 各 有 1 人 没 有 参 与 “ 创 文 ” 活 动 的 概 率 为 ．…………………………8 分 （3）依题意， ，所以 ． 又 ，所以 ， ．…………………………10 分 因为 ，所以中位数在第三组， 所以中位数为 ．…………………………12 分 19．（12 分） 证明：（1） 为等边三角形，且 为 的中点， . 平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， .…………………………3 分 又 ， ， 、 平 面 ， 平 面 ；…………………………6 分 （2） ，且 ， ， . 又 是边长为 的等边三角形，且 为 的中点，则 ，………8 分 且 ， 的面积为 . 因此，三棱锥 的体积为 . …………………………12 分 20．（12 分） 解：（1）当 时， ，则 ，………2 分 又 ，则 在 处的切线方程为： ，即 ．……4 分 （2） ， 又 ，设 ， ， ，………………………6 分 5 1( ) 15 3P N = = 1 3 ( 0.008 0.035 0.027 ) 10 1a b+ + + + × = 0.03a b+ = 4a b= 0.024a = 0.006b = 0.08 0.24 0.5,0.08 0.24 0.35 0.5+ < + + > 0.5 0.08 0.2470 75.140.035 − −+ ≈ PAC∆ M PA PACM ⊥∴  PAB ⊥ PAC PAB  PAPAC = ⊂CM PAC ⊥∴CM PAC ⊂AB PAB CMAB ⊥∴ ACAB ⊥ CACCM = AC ⊂CM PAC ⊥∴ AB PAC ACAB ⊥ 2=AC 42 == ACBC 3222 =−=∴ ACBCAB PAC∆ 2 M PA PACM ⊥ 360sin == PCCM PMC∆ 2 3 2 312 1 2 1 =××=⋅=∆ CMPMS PMC BMCP − 1322 3 3 1 3 1 =××=⋅= ∆− ABSV PMCBMCP 1a = ( ) ( sin cos ) xf x x x x e′ = − − ⋅ ( )0 1f ′ = − (0) 1f = − ( )f x 0x = 1y x+ = − 1 0x y+ + = ( ) ( sin cos 1) xf x ax x x a e′ = − − + − ⋅ 0xe > ( ) sin cos 1g x ax x x a= − − + − ( ) 0f x′∴ = ( ) 0g x∴ = ( ) cos sin 2 sin 4g x a x x x a π ′ = − + = − +  因 ，故 ， 又 ，故 对 恒成立，即 在区间 单调递增；…………8 分 又 ， ； 故当 时， ，此时 在区间 内恰好有 个零点．…10 分 当 时， ，此时 在区间 内没有零点； 综上结论得证．…………………………12 分 21.（12 分） 解：（1）由题意知 ，…………………………2 分 将 P 点坐标代入椭圆方程 得 ，解得 ， 所以椭圆方程为 .…………………………4 分 （2）由题意知，直线 的斜率存在，且不为 0，设直线 为 ， 代入椭圆方程得 . 设 ，则 ，……………6 分 所以 的中点坐标为 ， 所以 .………………8 分 因为 G 是 的外心，所以 G 是线段 的垂直平分线与线段 的垂直平分线的交点， 的垂直平分线方程为 ， 令 ，得 ，即 ，所以 ，…………………………10 分 (0, )x π∈ 2 sin ( 1, 2]4x π − ∈ −   1a ≥ ( ) 0g x′ ≥ (0, )x π∈ ( )g x ( )0,π (0) 2g a= − ( ) ( 1) 0g aπ π= + > 1 2a≤ < (0) 2 0g a= − < ( )f x′ ( )0,π 1 2a ≥ (0) 2 0g a= − ≥ ( )f x′ ( )0,π 2a = 2 2 2 2 1x y a b + = 2 9 1 4 14 b + = 3b = 2 2 14 3 x y+ = AB AB 1x my= + ( )2 23 4 6 9 0m y my+ + − = ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 1 2 1 22 2 6 9,3 4 3 4 my y y ym m − −+ = =+ + AB 2 2 4 3,3 4 3 4 m m m −   + +  ( )22 2 2 1 2 2 2 12 112 11 1 =3 4 3 4 mmAB m y y m m m ++= + − = + × + + ABQ∆ AB AQ AB 2 2 3 4 3 4 3 4 my m xm m  + = − − + +  0y = 2 1 3 4x m = + 2 1 ,03 4G m   +  2 2 2 2 1 3 313 4 3 4 mGF m m += − =+ +所以 ，所以 为定值，定值为 4.……………………12 分 （二）选考题： 22.（10 分） 解：（1）将曲线 的参数方程 ，消去参数 ， 得 .…………………………2 分 将 及 代入上式,得 .…………4 分 （2）依题意由知 . 将 代入曲线 的极坐标方程,得 . 设 ,则 ， .…………6 分 所以 .……8 分 因为 ,所以 ,则 , 所以 的取值范围为 .…………………………10 分 23. （10 分） （1）证明： . （2）证明： . 证明：（1）因为 ， 为正数，所以 ， 同理可得 ， ，……………………2 分 所以 ， 当且仅当 时，等号成立 故 . …………………………5 分 ( )2 2 2 2 2 12 1 | | 123 4 43 3 3 3 4 m AB m mGF m + += = =+ + 2 | |AB GF C    += += α α sin3 cos1 y x α 1)3()1( 22 =−+− yx θρ cos=x θρ sin=y 03sin32cos22 =+−− θρθρρ     ∈ 2,60 ππθ 0θθ = C 2 0 02 cos 2 3 sin 3 0ρ ρ θ ρ θ− − + = ),(),,( 022011 θρθρ PP 0021 sin32cos2 θθρρ +=+ 321 =ρρ      +=+=+=+=+ 6sin3 4 3 sin32cos21111 0 00 21 21 2121 πθθθ ρρ ρρ ρρOPOP     ∈ 2,60 ππθ     ∈+ 3 2,360 πππθ      ∈     + 3 4,3 32 6sin3 4 0 πθ 21 11 OPOP +       3 4,3 32 3ab bc ac+ + ≤ 9 4 12ab bc ac abc+ + ≥ a b 2a b ab+ ≥ 2b c bc+ ≥ 2a c ac+ ≥ ( )2 2 2 2a b c ab bc ac+ + ≥ + + 1a b c= = = 3ab bc ac+ + ≤（2）要证 ，只需证 即证 ， 即证 ， 即证 . 因为 ， ， ， ………………8 分 所以 ， 当且仅当 ， ， 时，等号成立，从而 得证. …………………………10 分 9 4 12ab bc ac abc+ + ≥ 1 4 9 12a b c + + ≥ ( ) 1 4 9 36a b c a b c  + + + + ≥   4 9 9 41 4 9 36a b a c b c b a c a c b + + + + + + + + ≥ 4 9 9 4 22a b a c b c b a c a c b + + + + + ≥ 4 2 4 4a b b a + ≥ = 9 2 9 6a c c a + ≥ = 9 4 2 36 12b c c b + ≥ = 4 9 9 4 22a b a c b c b a c a c b + + + + + ≥ 1 2a = 1b = 3 2c = 9 4 12ab bc ac abc+ + ≥