江苏省七市2020届高三数学6月第三次调研试卷（Word版带答案）

1 2020 届高三模拟考试试卷 数　　学 (满分 160 分，考试时间 120 分钟) 2020．6 参考公式： 柱体的体积公式：V 柱体＝Sh，其中 S 为柱体的底面积，h 为高． 锥体的体积公式：V 锥体＝1 3Sh，其中 S 为锥体的底面积，h 为高． 一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分． 1. 已知集合 A＝{－1，0，1}，B＝{0，2}，则 A∪B＝________． 2. 设复数 z 满足(3－i)z＝ 10，其中 i 为虚数单位，则 z 的模是________． 3. 如图是一个算法流程图，则输出 k 的值是________． 4. 某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 4∶4∶3.为了解学生对防震减灾知识的 掌握情况，现采用分层抽样的方法抽取 n 名学生进行问卷检测．若高一年级抽取了 20 名学生， 则 n 的值是________． 5. 今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没．“三 药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化 湿败毒方、宜肺败毒方．若某医生从“三药三方”中随机选出 2 种，则恰好选出 1 药 1 方的 概率是________． 6. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y2＝4x 的准线是双曲线x2 a2－y2 2 ＝1(a＞0)的左 准线，则实数 a 的值是________． 7. 已知 cos(α＋β)＝ 5 13，sin β＝3 5，α，β均为锐角，则 sin α的值是________． 8. 公园里设置了一些石凳供游客休息，这些石凳是经过正方体各棱的中点截去 8 个一样2 的四面体得到的(如图)．设石凳的体积为 V1，正方体的体积为 V2，则V1 V2 的值是________． 9. 已知 x＞1，y＞1，xy＝10，则 1 lg x＋ 4 lg y的最小值是________． 10. 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 4S2，S4，－2S3 成等差数列，且 a2＋a3＝2， 则 a6 的值是________． 11. 海伦(Heron，约公元 1 世纪)是古希腊亚历山大时期的数学家，以他的名字命名的“海 伦公式”是几何学中的著名公式，它给出了利用三角形的三边长 a，b，c 计算其面积的公式 S △ABC＝ p（p－a）（p－b）（p－c），其中 p＝a＋b＋c 2 .若 a＝5，b＝6，c＝7，则借助“海伦 公式”可求得△ABC 的内切圆的半径 r 的值是________． 12. 如图，△ABC 为等边三角形，分别延长 BA，CB，AC 到点 D，E，F，使得 AD＝BE ＝CF.若BA → ＝2AD → ，且 DE＝ 13，则AF → ·CE → 的值是________． 13. 已知函数 f(x)＝{k（1－2 x），x < 0， x2－2k，x ≥ 0. 若函数 g(x)＝f(－x)＋f(x)有且仅有四个不同的 零点，则实数 k 的取值范围是________． 14. 在平面直角坐标系 xOy 中，过点 P(2，－6)作直线交圆 O：x2＋y2＝16 于 A，B 两点， C(x0，y0)为弦 AB 的中点，则 （x0＋1）2＋（y0－3）2的取值范围是________． 二、 解答题：本大题共 6 小题，共 90 分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤． 15. (本小题满分 14 分) 在 △ABC 中 ， 角 A ， B ， C 所 对 的 边 分 别 为 a ， b ， c. 若5（sin C －sin B ） a ＝ 5sin A －8sin B b＋c . (1) 求 cos C 的值； (2) 若 A＝C，求 sin B 的值．3 16. (本小题满分 14 分) 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AC⊥BC，点 D，E 分别是 A1B1，BC 的中点．求证： (1) 平面 ACD⊥平面 BCC1B1； (2) B1E∥平面 ACD. 17. (本小题满分 14 分) 某单位科技活动纪念章的结构如图所示，O 是半径分别为 1 cm，2 cm 的两个同心圆的圆 心，等腰三角形 ABC 的顶点 A 在外圆上，底边 BC 的两个端点都在内圆上，点 O，A 在直 线 BC 的同侧．若线段 BC 与劣弧 BC ︵ 所围成的弓形面积为 S1，△OAB 与△OAC 的面积之和 为 S2，设∠BOC＝2θ. (1) 当 θ＝ π 3 时，求 S2－S1 的值； (2) 经研究发现当 S2－S1 的值最大时，纪念章最美观，求当纪念章最美观时，cos θ的 值．[求导参考公式：(sin 2x)′＝2cos 2x，(cos 2x)′＝－2sin 2x]4 18. (本小题满分 16 分) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1， F2，过点 F2 的直线交椭圆于 M，N 两点．已知椭圆的短轴长为 2 2，离心率为 6 3 . (1) 求椭圆的标准方程； (2) 当直线 MN 的斜率为 5时，求 F1M＋F1N 的值； (3) 若以 MN 为直径的圆与 x 轴相交的右交点为 P(t，0)，求实数 t 的取值范围．5 19. (本小题满分 16 分) 已知{an}是各项均为正数的无穷数列，数列{bn}满足 bn＝an·an＋k(n∈N*)，其中常数 k 为正整数． (1) 设数列{an}前 n 项的积 Tn＝2 n（n－1） 2 ，当 k＝2 时，求数列{bn}的通项公式； (2) 若{an}是首项为 1，公差 d 为整数的等差数列，且 b2－b1＝4，求数列{ 1 bn }的前 2 020 项的和； (3) 若{bn}是等比数列，且对于任意的 n∈N*，an·an＋2k＝a 2n＋k，其中 k≥2，试问：{an} 是等比数列吗？请证明你的结论．6 20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)＝aln x x ，g(x)＝x＋ln a ex ，其中 e 是自然对数的底数． (1) 若函数 f(x)的极大值为1 e，求实数 a 的值； (2) 当 a＝e 时，若曲线 y＝f(x)与 y＝g(x)在 x＝x0 处的切线互相垂直，求 x0 的值； (3) 设函数 h(x)＝g(x)－f(x)，若 h(x)＞0 对任意的 x∈(0，1)恒成立，求实数 a 的取值范 围．7 2020 届高三模拟考试试卷 数学附加题 (满分 40 分，考试时间 30 分钟) 21. 【选做题】 在 A，B，C 三小题中只能选做两题，每小题 10 分，共 20 分．若多做， 则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． A. (选修 42：矩阵与变换) 已知 m∈R，α＝[1 1 ]是矩阵 M＝[ 1 m 2 1 ]的一个特征向量，求 M 的逆矩阵 M－ 1. B. (选修 44：坐标系与参数方程) 在极坐标系中，圆 C 的方程为 ρ＝2rsin θ(r＞0)．以极点为坐标原点，极轴为 x 轴正半 轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为{x＝ 3＋t， y＝1＋ 3t (t 为参数)．若直线 l 与圆 C 恒有公 共点，求 r 的取值范围． C. (选修 45：不等式选讲) 已知 x＞1，y＞1，且 x＋y＝4，求证： y2 x－1＋ x2 y－1≥8.8 【必做题】 第 22，23 题，每小题 10 分，共 20 分．解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤． 22. 某“芝麻开门”娱乐活动中，共有 5 扇门，游戏者根据规则开门，并根据打开门的 数量获取相应奖励．已知开每扇门相互独立，且规则相同．开每扇门的规则是：从给定的 6 把钥匙(其中有且只有 1 把钥匙能打开门)中，随机地逐把抽取钥匙进行试开，钥匙使用后不 放回．若门被打开，则转为开下一扇门；若连续 4 次未能打开，则放弃这扇门，转为开下一 扇门；直至 5 扇门都进行了试开，活动结束． (1) 设随机变量 X 为试开第一扇门所用的钥匙数，求 X 的分布列及数学期望 E(X)； (2) 求恰好成功打开 4 扇门的概率． 23. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点为 F，准线与 x 轴的交点为 E.过点 F 的直线与抛物线相交于 A，B 两点，EA，EB 分别与 y 轴相交于 M，N 两点．当 AB⊥x 轴时，EA＝2. (1) 求抛物线的方程； (2) 设△EAB 的面积为 S1，△EMN 的面积为 S2，求 S1 S2的取值范围．9 2020 届高三模拟考试试卷(南通、扬州、泰州等七市) 数学参考答案及评分标准 1. {－1，0，1，2}　2. 1　3. 5　4. 55　5. 3 5　6. 2　7. 33 65　8. 5 6　9. 9　10. －32　11. 2 6 3 12. －9 2　13. (27，＋∞)　14. [ 10， 42) 15. 解：(1) 在△ABC 中，因为5（sin C －sin B ） a ＝5sin A －8sin B b＋c ， 所以由正弦定理 a sin A＝ b sin B＝ c sin C，得 5(b＋c)(c－b)＝a(5a－8b)， 即 a2＋b2－c2＝8 5ab，(4 分) 所以由余弦定理得 cos C＝a2＋b2－c2 2ab ＝4 5.(7 分) (2) 因为 cos C＝4 5，C∈(0，π)，所以 sin C＝ 1－cos2C＝3 5，(9 分) 所以 sin 2C＝2sin Ccos C＝24 25.(12 分) 因为 A＝C，所以 sin B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sin 2C＝24 25.(14 分) 注：(1) 正弦定理与 a sin A＝ b sin B＝ c sin C，写一个不扣分，两者都不写，扣 2 分； 余弦定理同样； (2) 只要有 sin B＝sin(A＋C)，就不扣分，否则扣 2 分． 16. 证明：(1) 在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，CC1⊥平面 ABC. 因为 AC⊂平面 ABC，所以 CC1⊥AC.(2 分) 因为 AC⊥BC，BC∩CC1＝C，BC，CC1⊂平面 BCC1B1， 所以 AC⊥平面 BCC1B1.(4 分) 因为 AC⊂平面 ACD， 所以平面 ACD⊥平面 BCC1B1.(6 分) (2) (证法 1)取 AC 的中点 F，连结 DF，EF. 因为在△ABC 中，点 E 是 BC 的中点，点 F 是 AC 的中点，10 所以 EF∥AB，且 EF＝1 2AB.(8 分) 因为点 D 是 A1B1 的中点，所以 B1D＝1 2A1B1. 因为在棱柱 ABCA1B1C1 中，AB∥A1B1，且 AB＝A1B1， 所以 EF∥DB1，且 EF＝DB1，(10 分) 所以四边形 EFDB1 是平行四边形，所以 B1E∥FD.(12 分) 因为 B1E⊄平面 ADC，FD⊂平面 ADC， 所以 B1E∥平面 ACD.(14 分) (证法 2)取 AB 的中点 G，连结 EG，B1G. 因为在△ABC 中，点 E 是 BC 的中点，点 G 是 AB 的中点， 所以 EG∥AC. 因为 GE⊄平面 ACD，AC⊂平面 ACD， 所以 EG∥平面 ACD.(8 分) 在棱柱 ABCA1B1C1 中，AB∥A1B1，且 AB＝A1B1. 因为点 D 是 A1B1 的中点，点 G 是 AB 的中点， 所以 AG∥DB1，且 AG＝DB1， 所以四边形 AGB1D 是平行四边形，所以 B1G∥AD. 因为 B1G⊄平面 ACD，AC⊂平面 ACD， 所以 B1G∥平面 ACD.(10 分) 因为 EG∥平面 ACD，BG，GE⊂平面 B1GE，B1G∩GE＝G， 所以平面 B1GE∥平面 ACD.(12 分) 因为 B1E⊂平面 B1GE， 所以 B1E∥平面 ACD.(14 分) 注：少一个条件 2 分全扣；(1)中没有“在直三棱柱 ABCA1B1C1 中”全扣． 17. 解：过点 O 作 OD⊥BC 于点 D，则点 D 为 BC 的中点． 又△ABC 为等腰三角形，所以 A，O，D 三点共线， 所以∠AOB＝∠AOC＝π－θ. 所以 S1＝1 2×2θ×12－1 2×12×sin 2θ＝θ－1 2sin 2θ，(2 分)11 S2＝2×1 2×1×2sin(π－θ)＝2sin θ，θ∈(0， π 2 )．(4 分) 注：只要有 S1 结果的就给 2 分；同样，只要有 S2 结果的就给 2 分． (1) 当 θ＝ π 3 时，S2－S1＝2sin θ－(θ－1 2sin 2θ)＝2sin π 3 －( π 3 －1 2sin 2π 3 )＝5 3 4 － π 3 . 答：当 θ＝ π 3 时，S2－S1 的值为(5 3 4 － π 3 )cm2.(6 分) (2) 设 f(θ)＝S2－S1＝2sin θ－θ＋1 2sin 2θ，θ∈(0， π 2 )， 所以 f′(θ)＝2cos θ－1＋cos 2θ＝2(cos2θ＋cos θ－1)．(8 分) 令 f′(θ)＝0，得 cos θ＝ 5－1 2 ，cos θ＝ － 5－1 2 (舍去)， 记 cos θ0＝ 5－1 2 ，02，所以PM → ＝(x1－t，y1)，PN → ＝(x2－t，y2)． 因为点 P 在以 MN 为直径的圆上，所以PM → ⊥PN → ， 所以PM → ·PN → ＝(x1－t)(x2－t)＋y1y2＝0， 所以 x1x2－t(x1＋x2)＋t2＋y1y2＝0.(10 分) ①当直线 MN 倾斜角为 0 时，N(－ 6，0)，M( 6，0)，所以 t＝ 6. ②当直线 MN 倾斜角不为 0 时，设直线 MN 的方程为 x＝my＋2. 由{x＝my＋2， x2 6 ＋y2 2 ＝1，消去 x，得(m2＋3)y2＋4my－2＝0， 所以{Δ＝16m2＋8（m2＋3） > 0， y1＋y2＝ －4m m2＋3， y1y2＝ －2 m2＋3， 所以 x1x2＝(my1＋2)(my2＋2)＝m2y1y2＋2m(y1＋y2)＋4， x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4.(12 分) 所以(m2＋1)y1y2＋(2m－tm)(y1＋y2)＋4－4t＋t2＝0， 所以 m2＝－3t2－12t＋10 t2－6 ≥0，(14 分) 解得 60，所以 r′(x)>0， 所以 r(x)＝xex＋eln x－e 在(0，＋∞)上单调递增．(7 分) 因为 r(1)＝0，且 r(x0)＝0，所以 x0＝1.(8 分) (3) h(x)＝x＋ln a ex －aln x x ，设 m(x)＝ex－ex，则 m′(x)＝ex－e.令 m′(x)＝0，得 x＝1. 列表如下： x (－∞，1) 1 (1，＋∞) m′(x) － 0 ＋ m(x) 极小值 所以 m(x)最小值＝m(1)＝0. 所以 ex≥ex，所以 ln ex≥ln ex，即 x≥1＋ln x，即 ln x≤x－1.(10 分) 注：主要出现上面一行内容，就给 2 分． ① a≥1 e时，ln a≥－1.因为 0