赣州市 2020 年高三适应性考试
数学文科试卷
（全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟） 2020 年 5 月
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1.已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.已知 ， 是关于 的方程 的一个根，则 （ ）
A. B.0 C.1 D.2
3.从某班 50 名同学中选出 5 人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将 50 名同学按 01，
02，…，50 进行编号，然后从随机数表的第 1 行第 5 列和第 6 列数字开始从左往右依次选取两个数字，则
选出的第 5 个个体的编号为（注：表为随机数表的第 1 行第 2 行）
0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6297
7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 1676
A.24 B.36 C.46 D.47
4.若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
5.已知函数 是定义在 上的偶函数，且 ， ，则
（ ）
6.意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以生一对兔子，而
一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子.假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依次为：1，1，2，3，
5，8，13，21，34，55，89，144……，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是
{ }0,1,2,3,4A = { }| ,B x x n n A= = ∈ A B =
{ }0 { }0,1 { }1,2 { }0,1,2
,m n∈R i x 2 0x mx n+ + = m n+ =
1−
cos78 m° = ( )sin 51− ° =
1
2
m +− 1
2
m−− 1
2
m + 1
2
m−
( )f x R (1 ) (1 )f x f x− = − + (0) 1f =
(0) (1) (2020)f f f+ + + =
，其中 ， .若从该数列的前 120 项中随机地抽取一个数，则这
个数是奇数的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.函数 的图象大致为
A B C D
8.圆 上恰有两点到直线 的距离为 ，则 的取值范围是
（ ）
A. B. C. D.
9.在 中，角 、 、 所对的边分别为 ， ， ，若 ，
，则 外接圆的面积为（ ）
第 9 题图
A. B. C. D.
10.某锥体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
( )*
1 2 3,n n na a a n n N− −= + ≥ ∈ 1 1a = 2 1a =
1
3
2
3
1
2
3
4
2( ) sin ln( 1 )f x x x x= ⋅ + −
2 2 4 4 0x y y+ − − = 0( 0)x y a a− + = > 2 a
( )4,8 [4,8) ( )0,4 (0,4]
ABC△ A B C a b c 2a = (sin 2 sin ) ( )b B C a c− = +
(sin sin )A C− ABC△
π 2π 3π 4π
A.2 B. C. D.
11.已知平面向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，若对任意的正实数 ， 的最小值为
，则 （ ）
A. B. C. D.0
12.已知双曲线 的渐近线为 ，过右焦点 的直线 与双曲线交于 ，
两点且 ，则直线 的斜率为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.已知向量 ， ，且 ，则实数 ________.
14.若 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为________.
15.已知函数 ，则 在 处的切线方程为________.
16.如图，正方体 的棱长为 ， ， ， 分别为 ， ， 的中点， 点是
正方形 内的动点.若 平面 ，则 点的轨迹长度为________.
第 16 题图
三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个考生都必
5 33
4 33
2 33
a b θ 2a = 1b = λ a bλ−
3 cosθ =
2
2
1
2
1
2
±
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 3y x= ± F l A
B 3AF FB= l
3± 15± 1± 5±
(3,1)a = ( 1,2)b = − ( ) ( )a mb a b+ − m =
x y
2 1 0
2 2 0
3 2 0
x y
x y
x y
− + ≥
+ − ≤
− − ≤
z x y= +
( )( ) ln 2 (e) 3f x x x f x′= − + − − ( )f x 1x =
1 1 1 1ABCD A B C D− 1 E F P 1 1B C 1 1C D CD Q
1 1BCC B PQ AEF Q
须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题
17.（本小题满分 12 分）
已知等差数列 的前 项和为 ， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前 项和 .
18.（本小题满分 12 分）
2020 年是全面建成小康社会目标实现之年，也是全面打赢脱贫攻坚战收官之年.某乡镇在 2014 年通过精准
识别确定建档立卡的贫困户共有 500 户，结合当地实际情况采取多项精准扶贫措施，每年新脱贫户数如下
表
年份 2015 2016 2017 2018 2019
年份代码 1 2 3 4 5
脱贫户数 55 68 80 92 100
（1）根据 2015-2019 年的数据，求出 关于 的线性回归方程 ，并预测到 2020 年底该乡镇
500 户贫困户是否能全部脱贫；
（2）2019 年的新脱贫户中有 20 户五保户，20 户低保户，60 户扶贫户.该乡镇某干部打算按照分层抽样的
方法对 2019 年新脱贫户中的 5 户进行回访，了解生产生活、帮扶工作开展情况.为防止这些脱贫户再度返
贫，随机抽取这 5 户中的 2 户进行每月跟踪帮扶，求抽取的 2 户不都是扶贫户的概率.
参考公式： ，
19.（本小题满分 12 分）
已知三棱锥 ， ， ， 是线段 上靠近 点的三等分点，三角形
{ }na n nS 3 9S = 1 3 92a a a+ =
{ }na
( )2 1n
n nb a= ⋅ + { }nb n nT
x
y
y x y bx a= +
( )( )
( )
1 1
22 2
1 1
ˆ
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
x y nxy x x y y
b
x nx x x
= =
= =
− − −
= =
− −
∑ ∑
∑ ∑
ˆa y bx= −
P ABC− 2AC BC= = 120ACB∠ = ° M AB B
为等边三角形
（1）求证： ；
（2）若三棱锥 的体积为 ，求线段 的长度.
第 19 题图
20.（本小题满分 12 分）
已知椭圆 ： 的离心率为 ，且椭圆 经过点 .抛物线 ：
与椭圆有公共的焦点.
（1）求抛物线 的标准方程；
（2）在 轴上是否存在定点 ，使得过 的动直线 交抛物线 于 ， 两点，等式恒成立，如果存
在试求出定点 的坐标，若不存在请说明理由.
21.（本小题满分 12 分）
已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 ，求证： ..
（二）选考题
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂
题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答则按所做的第一题记分.
PBC
BC PM⊥
P ABC− 5
3 PM
C
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 1
2
C 31, 2P
E
2 2 ( 0)y px p= >
E
x M M l E A B
M
( ) ln ln 2 ( )2
af x x a x x x a = + − ⋅ − ∈ R
( )f x
0 2a< < ( )e 2 ( 1)af a a+ < −
22.（本小题满分 10 分）[选修 4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的参数方程为
（ 为参数）.
（1）求曲线 ， 的普通方程；
（2）已知点 ，若曲线 ， 交于 ， 两点，求 的值.
23.（本小题满分 10 分）[选修 4-5：不等式选讲]
已知正实数 ， 满足 .
（1）求 的最小值；
（2）求证： .
赣州市 2020 年高三适应性考试
文科数学参考答案
一、选择题
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D C A A C B C A A C B B
12.解：（法一）由题意， ， ， ，双曲线方程为 .
设直线 ： ，即 .
直线与双曲线联立方程组，消去 可得： ， .
xOy 1C
22 2
2
2
x t
y t
= +
=
t 2C
3
cos
tan
x
y
θ
θ
=
=
θ
1C 2C
( 2,0)M − 1C 2C A B MA MB−
a b 4a b+ =
1 1
a b
+
2 21 1 25
2a ba b
+ + + ≥
2e = 3b a= 2c a= 2 2 23 3x y a− =
l x c my− = 2x a my= +
x ( )2 2 23 1 12 9 0m y may a− + + = 0∆ >
令 ， ，则 ①， ②.
， .
与①②联立方程组可解得： ， .
（法二）根据圆锥曲线统一定义， ， ， 分别是 ， 到右准线的距离.
分别过 ， 作准线的垂线，垂足为 ， .
令 ，则 ， ， .
延长 交右准线于点 ， ， ， .
为所求直线的倾斜角 或倾斜角的补角，
， ，
二、填空题
13. ； 14. ； 15. ； 16. .
16.解：如图，连结 交 的延长线于点 ，连结 ，交 于点 ，
延长 交 的延长线于点 ，连结 交 于点 ，连结 ， ，则五边形 即为平
面 截正方体的截面.
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2 2
12
3 1
may y m
−+ = −
2
1 2 2
9
3 1
ay y m
= −
3AF FB=
1 23y y∴ = −
2 1
15m = 1 15k m
= = ±
1 2
2AF BF ed d
= = = 1d 2d A B
A B 1A 1B
( 0)BF t t= > 3AF t= 1 2
tBB = 1
3
2
tAA =
AB P 1 1BB AA 1
1
1
3
PB BB
PA AA
∴ = = 2PB t=
1PBB∠ α
1cos 4
α = ± 15sin 4
α = tan 15k α= = ±
1− 2− 2 0x y− − = 13
6
EF 1 1A D G AG 1DD M
FE 1 1A B H AH 1BB N EN MF ANEFM
AEF
易得 ， 分别为 和 的三等分点，则 .
取 中点 ， 上靠近 点的三等分点 ，
易得 ， ， ，
平面 平面 ，
平面 平面 ，
在线段 上， .
三、解答题
17.解：（1）设等差数列 的公差为 ，
由题意得： 即 ……………………………………………………………1 分
所以 ， . ……………………………………………………………………………………………3 分
所以 . …………………………………………………………………………………………………5 分
（2） ，
，………………………………………………6 分
M N 1DD 1BB
2 21 1 13
2 3 6NE = + =
BC R 1CC C S
PR EF RS NE RS NE=
∴ PRS AEF
PRS 1 1BCC B RS=
Q∴ RS 13
6RS =
{ }na d
1
1 1
3 3 9
3 4 8
a d
a d a d
+ =
+ = +
1
1
3
2
a d
a d
+ =
=
1 2a = 1d =
1na n= +
( )( 1) 2 1 ( 1) 2 1n n
nb n n n= + ⋅ + = + ⋅ + +
1 2 3 ( 3)2 2 3 2 4 2 ( 1) 2 2
n
n
n nT n
⋅ += × + × + × + + + ⋅ +
令 ，……①
，……② ………………………………………………7 分
①-②得：
………………………8 分
………………………………………………………………………………………………………9 分
所以 .………………………………………………………………………………………………10
分
所以 . …………………………………………………………………………………12 分
18.解：（1）
， ……………………………………………………………2 分
，…………………………………………………………………………2 分
， ……………………………………………………………………………………3 分
， …………………………………………………………………………………………4 分
当 时， ，
即预测 2020 年一年内该乡镇约有 113 贫困户脱贫.…………………………………………………………5 分
预测 6 年内该乡镇脱贫总户数有 ，
即预测到 2020 年底该乡镇 500 户贫困户能全部脱贫.………………………………………………………6 分
1 2 32 2 3 2 4 2 ( 1) 2n
nM n= × + × + × + + + ⋅
2 3 4 12 2 2 3 2 4 2 ( 1) 2n
nM n += × + × + × + + + ⋅
( )1 2 3 1 12 1 2
2 2 2 2 2 ( 1) 2 2 ( 1) 21 2
n
n n n
nM n n+ +
× −
− = × + + + + − + ⋅ = + − + ⋅−
12nn += − ⋅
12n
nM n += ⋅
2
1 32 2
n
n
n nT n + += ⋅ +
5
1
1 55 2 68 3 80 4 92 5 100 1299i i
i
x y
=
= × + × + × + × + × =∑
3x = 55 68 80 92 100 395 795 5y
+ + + += = =
5
2
1
1 4 9 16 25 55i
i
x
=
= + + + + =∑
2
1299 5 3 79 114ˆ 11.455 5 3 10b
− × ×= = =− ×
79 11.4 3 44.8a = − × =
11.4 44.8y x∴ = +
6x = 11.4 6 44.8 113.2y = × + =
∴ 55 68 80 92 100 113 508 500+ + + + + = >
（2）由题意可得：按分层抽样抽取的 5 户脱贫户中，
有 1 户五保户 ，1 户低保户 ，3 户扶贫户 ， ， .…………………………………………………7 分
从这 5 户中选 2 户，共有 10 种情况：
， ， ， ， ， ， ， ， ， . ……………………9 分
记 2 户不都是扶贫户为事件 ，则事件 共有 3 种情况： ， ， ，
.…………………………………………………………………………………………………11 分
.
求抽取的 2 户不都是扶贫户的概率为 …………………………………………………………………12 分
19.解：（1）证明：取 的中点 ，连结线段 ；由 ， ，
得 ，则 .………………………………………………………………………2 分
在 中， ，由余弦定理可得，
；
， .……………………………………………………………………3 分
由于 为等边三角形， 为 的中点，则 ，…………………………………………4 分
平面 ， ………………………………………………………………………………………5 分
. …………………………………………………………………………………………………6 分
a b c d e
( , )a b ( , )a c ( , )a d ( , )a e ( , )b c ( , )b d ( , )b e ( , )c d ( , )c e ( , )d e
A A ( , )c d ( , )c e ( , )d e
3( ) 10P A∴ =
3 7( ) 1 10 10P A = − =
∴ 7
10
BC D DM 2AC BC= = 120ACB∠ = °
2 3AB = 1 2 3
3 3BM AB= =
BDM△ 30DBM∠ = °
2 2 32 cos30 3DM BD BM BD BM °= + − ⋅ ⋅ =
2 2 2BD DM BM∴ + = BD DM∴ ⊥
PBC△ D BC PD BC⊥
BC∴ ⊥ PDM
BC PM∴ ⊥
（2）（法一）由（1）知 平面 ，
平面 ，则平面 平面 .……………………………………………………………7 分
作 ，垂足为 ，平面 平面 ，则 平面 ，
即为三棱锥 的高.………………………………………………………………………………8 分
由 ，
得 .…………………………………………………………………………………………………10 分
在等边三角形 中， ，则 ，
在直角三角形 中， ，则 ；
在 中， .………………………………12 分
（法二）： ， ………………………………………………………………………8 分
， ，
，………………………………………………………………10 分
， . …………………………………………………………………11 分
在 中， ，
.…………………………………………………………………………………………………12 分
BC ⊥ PDM
BC ⊆ ABC ABC ⊥ PDM
PN DM⊥ N ABC PDM DM= PN ⊥ ABC
PN P ABC−
1 1 1 52 2 sin1203 3 2 3P ABC ABCV S PN PN− = ⋅ = × × × × °⋅ =△
15
3PN =
PBC 2BC = 3PD =
PDN 5sin 3
PNPDM PD
∠ = = 2cos 3PDM∠ =
PDM△ 2 2 2 cos 2PM DM PD DM PD PDM= + − ⋅ ⋅ ∠ =
1
6
P BDM BDM
P ABC BCA
V S
V S
−
−
= = △
△
5 1 1
18 3 3P BDM B PDM PDM PDMV V S BD S− −∴ = = = ⋅ =△ △ 3PD =
5 1 33 sin6 2 3PDMS PDM∴ = = × × ∠△
5sin 3PDM∴ ∠ = 2cos 3PDM∠ =
PDM△ 2 2 2 2 cos 2PM PD DM PD DM PDM= + − ⋅ ∠ =
2PM∴ =
20.解：（1）联立方程组 解得： ， ， .……………………………………3
分
椭圆 的焦点坐标为 .
， ， ，
抛物线 的标准方程为 .………………………………………………………………………………5 分
（2）设 ， ， ，
假设直线 方程为 ，代入 中，得： ， ，
， ，…………………………………………………………………………………7 分
， .……………………………………………8 分
整理得： 对任意的 恒成立.……………………………………………………10 分
即存在点 即存在点 .…………………………………………………………12 分
注：若用其他解法，相应给分
21.解： 的定义域为 ，
2 2 2
2 2
1
2
1 9 14
c
a
c a b
a b
=
= −
+
=
2a = 3b = 1c =
∴ C ( 1,0)±
0p > 12
p∴ = 2p =
E 2 4y x=
( ,0)M t ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
l x t my− = 2 4y x= 2 4 4 0y my t− − = 0∆ >
1 2 4y y m+ = 1 2 4y y t= −
( ) ( )22 2 2 2
1 1 1| | 1MA x t y m y= − + = + ( )2 2 2
2| | 1MB m y= +
( )
2 2
1 2
22 2 2 2 2 2
1 2 1 2
1 1 1 1 1 1
| | | | 1 1
y y
MA MB m y y m y y
+∴ + = + = + +
( )
( )
2 2
1 2 1 2
22 2 2
1 2
21 1 16 8 1
1 1 16 4
y y y y m t
m m ty y
+ − += = ⋅ =+ +
( )2 2 24 2 0m t t t− + − = m
2
2
4 0
2 0
t
t t
− =∴ − =
2t∴ = (2,0)M
( )f x (0, )+∞
1( ) ln ln 1 22 2
a af x x a x xx x
′ = + − + − −
………………………………………………………………………………………………1 分
若 ， 在 上单调递减，在 上单调递增；
若 ，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 ， 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 ， 上单调递增；
综上所述：
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；…………………………………………3 分
当 时， 在 上单调递增；…………………………………………………………………4 分
当 时， 在 上单调递减，在 ， 上单调递增；………………………………5 分
当 时， 在 上单调递减，在 ， 上单调递增；…………………………6 分
（2）
，…………………………………………………………………………………7 分
令 ， ， .…………………………………8 分
，
， 在 上单调递增， .………………………………………………9 分
， 在 上单调递增， .………………………………………………10 分
而 ，
( )(ln 1)x a x
x
− −=
0a ≤ ( )f x (0,e) (e, )+∞
0a > ea = ( )f x (0, )+∞
ea > ( )f x (e, )a (0,e) ( , )a +∞
0 ea< < ( )f x ( ,e)a (0, )a (e, )+∞
0a ≤ ( )f x (0,e) (e, )+∞
ea = ( )f x (0, )+∞
ea > ( )f x (e, )a (0,e) ( , )a +∞
0 ea< < ( )f x ( ,e)a (0, )a (e, )+∞
( ) 2
e 2 ( 1) e 2e ( 2)( 1)2
a a aaf a a a a a a
+ − − = − + − − − +
2
( 2) e 1 2
a aa a
= − − − −
2
( ) e 1 2
a ag a a= − − − ( ) e 1 ( )ag a a aϕ′ = − − = ( ) e 1aaϕ′ = −
0 2a< ( )aϕ (0,2) ( ) (0) 0aϕ ϕ> =
( ) 0g a′ > ( )g a (0,2) ( ) (0) 0g a g> =
2
e 12
a a a∴ − > + 2 0a − A B
( 2 ) ( 2 )MA MB NA a NB a NA NB∴ − = + − + = −
A B 1t 2t
22 2
2
2
x t
y t
= +
=
2
2 13
x y− = 2 2 2 1 0t t− − =
1 2 2 2t t+ = 1 2 1t t = −
1 2 2 2MA MB NA NB t t∴ − = − = + =
4a b+ = 1 1 1 1 1 1( ) 2 14 4
b aa ba b a b a b
+ = + + = + +
b a
a b
= 2a b= =
1 1
a b
∴ +
法二：“ ， ， ，
，
即 时等号成立， 的最小值为 1.
法三：由柯西不等式得： ，
又 ，进而得： ，故 的最小值为 1.
当且仅当“ ”时等号成立.
注：其它解法相应给分
（2）法一：由
得： .……………………………………………………………8 分
由（1）知： ，
进而得： ，
当且仅当“ ”时等号成立.………………………………………………………………………10 分
法二；由 得： ， .
由 ，
当且仅当“ ”时等号成立.
法三：由柯西不等式得：
0a > 0b > 4a b+ =
2
1 1 4 1
2
a b a b
a b ab a ba b
+ +∴ + = = =++
2a b= = 1 1
a b
∴ +
21 1 1 1( ) 4a b a ba b a b
+ + ⋅ + ⋅ =
4a b+ = 1 1 1a b
+
1 1
a b
+
2a b= =
( )2 2 22 ( )a b a b+ +
2 2 21 1 1 1 1
2a b a ba b a b
+ + + + + +
1 1 1a b
+
2 2 21 1 1 1 1 25
2 2a b a ba b a b
+ + + + + +
2a b= =
( )2 2 22 ( )a b a b+ +
2 2 21 ( ) 82a b a b+ + =
2
2 2
1 1 1 1 1 1
2 2a b a b
+ +
2 2
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2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1(1 1)2 2a b a b a ba b a b a b
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