1
1
1 21
y
O x
2
2
2
xO
y
1 21
1
1
1
1
1 21
y
O x
2 2
xO
y
1 21
1
1
北京市东城区 2019-2020 学年度第二学期高三综合练习（二）
数学 2020.6
本试卷共 4 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，
将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 题，每题 4 分，共 40 分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1) 已知全集 ，集合 ， ，那么
(A) (B) (C) (D)
(2) 已知三个函数 ，则
(A) 定义域都为 (B) 值域都为 (C)在其定义域上都是增函数 (D) 都是奇函数
(3) 平面直角坐标系中，已知点 的坐标分别为 ，且四边形 为平行四边形，那么 点的
坐标为
(A) (B) (C) (D)
(4) 双曲线 的渐近线与直线 交于 两点，且 ，那么双曲线 的离心率为
(A) (B) (C) (D)
(5) 已知函数 的图象如图所示，
那么函数 的图象可能为
{ }0,1,2,3,4,5=U { }0,1,2=A { }5=B ( ) =U A B
{ }0,1,2 { }3,4,5 { }1,4,5 { }0,1,2,5
3
3, 3 , logxy x y y x= = =
R R
, ,A B C (0,1),(1,0),(4,2) ABCD D
(3,3) ( 5,1)− (3, 1)− ( 3,3)−
2
2
2: 1yC x b
− = 1x = ,A B 4AB = C
2 3 2 5
( ) logaf x x b= +
( ) xg x a b= +2
(A) （B） （C） （D）
(6) 已知向量 ， ， ，那么下列结论正确的是
(A) 与 为共线向量 (B) 与 垂直
(C) 与 的夹角为钝角 (D) 与 的夹角为锐角
(7) 《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题
“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”（一步=1.5 米）意思是现有扇形田，弧长为 45 米，直径为 24
米，那么扇形田的面积为
(A) 平方米 (B)
平方米
(C) 平方米 (D) 平方米
(8) 已知函数 ，那么“ ”是“ 在 上为增函数”的
(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件
(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件
(9) 已知一个几何体的三视图如图所示，正（主）视图是由一个半圆弧和
一个正方形的三边拼接而成的，俯视图和侧（左）视图分别为一个正方形
和一个长方形，那么这个几何体的体积是
（A） （B）
（C） （D）
(0,5)=a (4, 3)= −b ( 2, 1)= − −c
−a b c −a b c
−a b a −a b b
135 270 540 1080
2( ) lnf x x ax= + 0a > ( )f x (0, )+∞
π1 2
+ π1 4
+
π1 8
+ 1 π+
俯视图
侧（左）视图正（主）视图
1
1
1.53
(10) 函 数 是 定 义 域 为 的 奇 函 数 ， 且 它 的 最 小 正 周 期 是 ， 已 知
. 给出下列四个判断：
① 对于给定的正整数 ，存在 ，使得 成立;
② 当 时，对于给定的正整数 ，存在 ，使得 成立;
③ 当 ( )时，函数 既有对称轴又有对称中心;
④ 当 ( )时， 的值只有 0 或 .
其中正确判断的有
(A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4 个
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 题，每题 5 分，共 25 分。
(11) 复数 的共轭复数 为_________.
(12) 已知 ，则 的值为 .
(13) 设 是三个不同的平面， 是两条不同的直线，给出下列三个结论：
①若 ， ，则 ；
②若 ， ，则 ；
③若 ， ，则 .
( )f x R T
, [0, ],4( )=
, ( , ],2 4 2
∈
− ∈
Tx x
f x T T Tx x
( ) ( )( )g x f x a a R= + ∈
n ∈a R
1
( ) ( ) 0
n
i
i T i Tg fn n=
⋅ ⋅ =∑
= 4
Ta n ( 1)∈ ≠k kR
1
( ) ( ) 0
n
i
i T i Tg k fn n=
⋅ ⋅ =∑
= 4
Ta k ∈k Z ( ) ( )g x f x+
= 4
Ta k ∈k Z ( ) ( )g x f x+
4
T
1 i
iz
−= z
1cos2 3
α = ( )2 2πcos ( ) 2cos π2
α α+ − −
, ,α β γ m n，
m α⊥ n α⊥ m n∥
m α⊥ m β⊥ α β∥
α γ⊥ β γ⊥ α β∥4
E
A1
B C
D
其中，正确结论的序号为 ．
注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其他得 3 分。
(14) 从下列四个条件① ；② ；③ ；④ 中选出三个条件，能使满足所选条件
的△ 存在且唯一，你选择的三个条件是___（填写相应的序号）,所选三个条件下的 的值为 ____.
(15) 配件厂计划为某项工程生产一种配件，这种配件每天的需求量是 件. 由于生产这种配件时其他生产设备必
须停机，并且每次生产时都需要花费 元的准备费，所以需要周期性生产这种配件，即在一天内生产出这种配
件，以满足从这天起连续 天的需求，称 为生产周期(假设这种配件每天产能可以足够大). 配件的存储费为每件
每天 元（当天生产出的配件不需要支付存储费，从第二天开始付存储费）. 在长期的生产活动中，为使每个生产
周期内每天平均的总费用最少，那么生产周期 为_______.
三、解答题共 6 题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题 14 分）
如图①，四边形 中， ， ， ， ， 为 中点.
将 沿 折起到 的位置，如图②.
（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）若 ，求 与平面 所成角的正弦值.
图① 图②
A DE
CB
a c= 2 π
6C = cos B = − 2
4 7b =
ABC c
200
5000
n n
2
n
ABCD //AD BC CD BC⊥ 1BC CD= = 2AD = E AD
ABE∆ BE 1ABE∆
1A EB ⊥ 1A ED
1 90A ED∠ = 1AC 1A BD5
（17）（本小题 14 分）
已知 为等比数列，其前 项和为 ，且满足 ， . 为等差数列，其前 项和为 ，
如图____， 的图象经过 , 两个点．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若存在正整数 ，使得 ，求 的最小值.
从图①，图②，图③中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
图① 图② 图③
（18）（本小题 14 分）
某志愿者服务网站在线招募志愿者，当报名人数超过计划招募人数时，将采用随机抽取的方法招募志愿者，下
表记录了 四个项目最终的招募情况，其中有两个数据模糊，记为 .
项目 计划招募人数 报名人数
A 50 100
B
A
6
5
3
4
2
nO
Tn
1 2 3 4
3
1
2
1
B
A
1
2
1
3
4321
Tn
O n
2
4
3
5
6
B
A
6
5
3
4
2
nO
Tn
1 2 3 4
3
1
2
1
{ }na n nS 3 1a = 3 23 1S a= + { }nb n nT
nT A B
nS
n n nb S> n
, , ,A B C D ,a b6
B 60
C 80
D 160 200
甲同学报名参加了这四个志愿者服务项目，记 为甲同学最终被招募的项目个数，已知 ,
.
（Ⅰ）求甲同学至多获得三个项目招募的概率；
（Ⅱ）求 ， 的值；
（Ⅲ）假设有十名报了项目 A 的志愿者(不包含甲)调整到项目 D，试判断 如何变化(结论不要求证明).
(19) （本小题 14 分）
已知椭圆 的一个顶点坐标为 ，离心率为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）若直线 与椭圆 交于不同的两点 ， ，线段 的中点为 ，点 ，求证：点
不在以 为直径的圆上．
（20）（本小题 15 分）
已知 .
（Ⅰ）当 时，求证： 在 上单调递减；
（Ⅱ）若对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围；
（Ⅲ）若 有最小值，请直接给出实数 的取值范围.
a
b
ξ 1( 0) 40P ξ = =
1( 4) 10P ξ = =
a b
Eξ
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > (0, 1)A −
2
3
C
( 1)( 0)y k x k= − ≠ C P Q PQ M (1,0)B M
AB
( ) sin ( )xf x e x ax a= + + ∈R
2a = − ( )f x ( 0)−∞，
0x ≥ ( ) 1f x ≥ a
( )f x a7
（21）（本小题 14 分）
设数列： ， . 已知 （ ），定义
数表 ，其中
（Ⅰ）若 ， ，写出 ;
（Ⅱ）若 是不同的数列，求证： 数表 满足“ （ ）”的充
分必要条件为“ ”;
（Ⅲ）若数列 与 中的 1 共有 个, 求证： 数表 中 1 的个数不大于 .
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
1 2 nA a a a： ， ，，L 1 2 nB b b b： ， ，，L { }01i ja b ∈， ， , , , ; , , ,i n j n= = 1 2 1 2 n n×
11 12 1
21 22 2
1 2
( )
n
n
n n nn
x x x
x x xX A B
x x x
=
，
L
L
M M M M
L
1
0
i j
ij
i j
a b
x a b
== ≠
，
，
: 1,1,1,0A : 0,1,0,0B ( )X A B，
A B， n n× ( )X A B， =ij jix x , , , ; , , , ;1 2 1 2= = ≠ i n j n i j
1( 1,2, , )+ = =k ka b k nL
A B n n n× ( )X A B，
2
2
n8
北京市东城区 2019-2020 学年度第二学期高三综合练习（二）
数学参考答案及评分标准 2020.6
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
（1）B （2）C （3）A （4）D （5）B
（6）B （7）B （8） A （9）C （10）C
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
（11） （12）
（13）①② （14）①③④， ，或者②③④，
（15）
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题 14 分）
1 i− + 1−
7
2 2
59
z
x
y
D
CB
A1
E
（Ⅰ）证明：因为四边形 中， ， ， ， ，
为 中点，
所以 .
故 图②中， ， .
又 因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 .
又 因为 平面 ，
所以 平面 平面 . ……………6 分
（Ⅱ）解： 由 得 ，
又 ， ,
因此，建立如图所示的空间直角坐标系 ．
由 ，
得 ， ， ，
，
， ，
设平面 的法向量为 ，
则 即 令 得 ，
所以 是平面 的一个法向量.
ABCD //AD BC CD BC⊥ 1BC = 2AD =
E AD
BE AD⊥
1BE A E⊥ BE DE⊥
1A E DE E= 1A E DE ⊂ 1ADE
BE ⊥ 1ADE
BE ⊂ 1A EB
1A EB ⊥ 1A DE
1 90A ED∠ =
1AE DE⊥
1A E BE⊥ BE DE⊥
E xyz−
1 1A E CD DE= = =
1(0,0,1)A (1,0,0)B (1,1,0)C
(0,1,0)D
1 (1,0, 1)A B = −
1 (0,1, 1)A D = −
1ABD ( , , )n x y z=
1
1
0
0
A B
A D
⋅ =
⋅ =
，
，
n
n
0
0
x z
y z
− =
− =
，
， 1z = 1, 1x y= =
(1,1,1)=n 1A BD10
又 ,
设直线 与平面 所成角为 ，
所以 ． ……………14 分
（17）（本小题 14 分）
解：（Ⅰ）由 ，得 ，即 ，
因为 ，
所以 ， .
所以 . ………………………………6 分
（Ⅱ）由图①知： ， ，可判断 ，数列 是递减数列；而 递增，由于
，
所以选择①不满足“存在 ，使得 ”
由图②知： ， ，可判断 ，数列 是递增数列；
由图③知： ， ，可判断 ，数列 是递增数列.
所以选择②③均可能满足“存在 ，使得 ”
第一种情况：
如果选择条件②即 ， ，可得： ， .
当 时， 不成立，
1 (1,1, 1)A C = −
1AC 1A BD θ
1
1
1
| | 1 1sin | cos , | 33 3| || |
θ ⋅= 〈 〉 = = =
⋅
nn
n
ACAC
AC
3 23 1S a= + 1 22a a= 3 3
2
2a a
q q
=
3 0a ≠
1
2q = 1 4a =
3
14 1 12 8 1 8 21 21 2
n
n
n nS −
− = = − = − −
1 1 1T b= = 3 3T = − 0d < { }nb { }38 2 n−−
1 1b S<
n n nb S>
1 1 1T b= = 3 6T = 0d > { }nb
1 1 3T b= = − 3 0T = 0d > { }nb
n n nb S>
1 1 1= =T b 3 6T = 1d = nb n=
=1,2,3,4,5,6,7n n nb S>11
当 时，
所以 使得 成立的 的最小值为 8. ………………………………14 分
第二种情况：
如果选择条件③即 ， ，可得： ， .
当 时， 不成立，
当 时， 成立，
所以 使得 成立的 的最小值为 5. ………………………………14 分
（18）（本小题 14 分）
解：因为 ，
所以 ，且 .
设事件 A 表示“甲同学被项目 A 招募”，由题意可知， ；
设事件 B 表示“甲同学被项目 B 招募”，由题意可知， ；
设事件 C 表示“甲同学被项目 C 招募”，由题意可知， ；
设事件 D 表示“甲同学被项目 D 招募”，由题意可知， ；
（Ⅰ）由于事件“甲同学至多获得三个项目招募”与事件“ ”是对立的，
所以甲同学至多获得三个项目招募的概率是 . ………………………………4 分
（Ⅱ）由题意可知，
；
8n = 3 8
8 8 88, 8 2 −= = − n
1 1 3= = −T b 3 0T = 3d = 3 6nb n= −
=1,2,3,4n n nb S>
5n = 3 5
5 5 59, 8 2 −= = − n
1( 0) 40P ξ = =
60a > 80b >
50 1( ) 100 2P A = =
60( )P B a
=
80( )P C b
=
160 4( ) 200 5P D = =
4ξ =
1 91 ( 4) 1 10 10P ξ− = = − =
1 60 80 4 1( 0) ( ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )2 5 40P P ABCD a b
ξ = = = − ⋅ − ⋅ − ⋅ − =12
；
解得 ， . ………………………………12 分
（Ⅲ） 变大. ………………………………14
分
(19) （本小题 14 分）
（Ⅰ）解：由题意可知
解得
所以 椭圆 的方程为 ． ………………………………4 分
（Ⅱ）证明：设 ， ， ．
由 得 ，
所以 .
所以 当 为任何实数时，都有 ．
所以 ， ．
因为 线段 的中点为 ,
所以 ， ,
1 60 80 4 1( 4) ( ) 2 5 10P P ABCD a b
ξ = = = ⋅ ⋅ ⋅ =
120a = 160b =
Eξ
=
=
=+
,1
,2
3
,222
b
a
c
acb
=
=
=
,3
,1
,2
c
b
a
C 14
2
2
=+ yx
1 1( , )P x y 2 2( , )Q x y ),( 00 yxM
2
2 1,4
( 1),
x y
y k x
+ =
= −
2 2 2 2(4 +1) 8 4 4 0k x k x k− + − =
2 2 2 2 2( 8 ) 4 (4 1)(4 4) 48 16k k k k∆ = − − × + − = +
k 0∆ >
2
1 2 2
8
4 1
kx x k
+ = +
2
1 2 2
4 4
4 +1
kx x k
−=
PQ M
2
1 2
0 2
4
2 4 1
x x kx k
+= = + 0 0 2( 1) 4 1
−= − = +
ky k x k13
因为 ,
所以 ， ．
所以
.
又因为 ， ，
所以 ，
所以 点 不在以 为直径的圆上． ………………………………14 分
（20）（本小题 15 分）
（Ⅰ）解： ,
对于 ，
当 时， ，
所以 .
所以 在 上单调递减. ………………………………4 分
（Ⅱ）解：当 时， ，对于 ，命题成立，
(1,0)B
0 0( , 1)AM x y= +
0 0( 1, )BM x y= −
2 2
0 0 0 0 0 0 0 0( 1) ( 1)=AM BM x x y y x x y y⋅ = − + + − + +
2 2
2 2
2 2 2 2
4 4=( ) ( )4 1 4 1 4 1 4 1
k k k k
k k k k
− −− + ++ + + +
3 2
2 2
4 3= 4 1
k k k
k
− − −
+（ ）
2
2 2
(4 3 1)= 4 1
k k k
k
− + +
+（ ）
2
2 2
3 7[4( ) ]8 16= 4 1
k k
k
− + +
+（ ）
0k ≠ 23 74( ) 08 16k + + >
0AM BM⋅ ≠
M AB
'( ) cosxf x e x a= + +
2a = −
0x < 1,cos 1xe x< ≤
'( ) cos 2 0xf x e x= + − <
( )f x ( ),0−∞
0x = ( ) 1 1f x = ≥ R∈a14
当 时，设 ，
则 .
因为 ，
所以 ， 在 上单调递增.
又 ，
所以 .
所以 在 上单调递增，且 .
① 当 时， ，
所以 在 上单调递增.
因为 ，
所以 恒成立.
② 当 时， ，
因为 在 上单调递增，
又当 时， ，
所以 存在 ，对于 ， 恒成立.
所以 在 上单调递减，
所以 当 时， ，不合题意.
综上，当 时，对于 ， 恒成立. ………………………………13 分
0x > ( ) cos= + +xg x e x a
'( ) sinxg x e x= −
1, sin 1> ≤xe x
'( ) sin 1 1=0xg x e x= − > − ( )g x ( )0,+∞
(0) 2= +g a
( ) 2> +g x a
'( )f x ( )0,+∞ '( ) 2> +f x a
2a ≥ − '( ) 0>f x
( )f x ( )0,+∞
(0) 1f =
( ) 1>f x
2a < − '(0) 2 0f a= + <
'( )f x [0, )+∞
ln(2 )= −x a '( ) 2 cos 2 cos 0= − + + + = + >f x a x a x
0 (0, )x ∈ +∞ 0(0, )∈x x '( ) 0f x <
( )f x ( )00, x
0(0, )∈x x ( ) (0) 1< =f x f
2a ≥ − 0x ≥ ( ) 1f x ≥15
（Ⅲ）解： . ………………………………15 分
（21）（本小题 14 分）
（Ⅰ）解： . ………………………………3 分
（Ⅱ）证明：
若 ，由于
令 ，由此数列 .
由于 .
从而有 ( ).
若 ( ).
由于 是不同的数列，
(1)设 ， ，对任意的正整数 ，
①若 ，可得 ， ，
所以 .
②若 ，可得 ， ，
所以 .
同理可证 ， 时，有 成立.
(2)设 ， ，对任意的正整数 ，
① 若 ，可得 ， ，
所以有 ，则 是相同的数列，不符合要求.
② 若 ，可得 ， ，
0a <
0 1 0 0
0 1 0 0( ) 0 1 0 0
1 0 1 1
X A B
=
，
" "⇒
1( 1,2, , )+ = =k ka b k nL 1
0
i j
ij
i j
a b
x a b
== ≠
，
，
1
0
j i
ji
j i
a b
x a b
== ≠
，
，
1 2 nA a a a： ， ，，L 1 2 nB a a a− − −：1 ，1 ，，1L
=i ja b ⇔ 1i ja a= − ⇔ 1i ja a+ = ⇔ 1j ia a= − ⇔ =j ia b
=ij jix x , , , ; , , , ;1 2 1 2= = ≠ i n j n i j
" "⇐
=ij jix x , , , ; , , , ;1 2 1 2= = ≠ i n j n i j
A B，
1=1a 1=0b 1>k
1 1= =1k kx x 1= 1=ka b 1= 0=ka b
1+ =k ka b
1 1= =0k kx x 0=kb 1=ka
1+ =k ka b
1=0a 1=1b 1( 1,2, , )+ = =k ka b k nL
1=1a 1=1b 1>k
1 1= =1k kx x 1= 1=ka b 1= 1ka b =
1k ka b= = A B，
1 1= =0k kx x 0=kb 0ka =16
所以有 ,则 是相同的数列，不符合要求.
同理可证 ， 时， 是相同的数列，不符合要求.
综上，有 数表 满足“ ”的充分必要条件为“ ”.
………11 分
（Ⅲ）证明：由于数列 中的 1 共有 个，设 中 1 的个数为 p，
由此有， 中 0 的个数为 ， 中 1 的个数为 ， 中 0 的个数为 p.
若 ，则数表 的第 i 行为数列 ，
若 ，则数表 的第 i 行为数列 ，
所以 数表 中 1 的个数为 .
所以 数表 中 1 的个数不大于 . ………………………………14 分
k ka b= A B，
1=0a 1=0b A B，
n n× ( )X A B， =ij jix x 1( 1,2, , )k ka b k n+ = = L
A B， n A
A n p− B n p− B
=1ia ( )X A B， 1 2 nB b b b： ， ，，L
=0ia ( )X A B， 1 2 nB b b b：1- ，1- ，，1-L
( )X A B，
2
2( )( ) ( ) 2 ( ) 2( )2 2
p n p np n p n p p p n p
+ −− + − = − ≤ =
n n× ( )X A B，
2
2
n
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