2020年北京市通州区高考数学一模试卷 含答案

2020 年高考数学一模试卷 一、选择题（共 10 小题） 1.已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2.已知复数 （i 是虚数单位），则 （ ） A.1 B.2 C. D.3 3.函数 的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 4.已知 为定义在 R 上的奇函数，且 ，下列一定在函数 图象上的点是（ ） A. B. C. D. 5.已知 a，3，b，9，c 成等比数列，且 ，则 等于（ ） A. B. C. D. 1 6.已知抛物线 （ ）的焦点与双曲线 的右焦点重合，则 （ ） A. B.2 C. D. 4 7.在 的展开式中，常数项是（ ） A. B. C.20 D.160 8.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点 ， .则 （ ） { }0 2A x x= < ≤ { }1 3B x x= < < A B = { }0 3x x< < { }2 3x x< < { }0 1x x< ≤ { }1 2x x< ≤ ( )2z i i= + z = 5 ( ) sin 2 cos2f x x x= + 2 π π 2π 4π ( )f x ( )1 2f = ( )f x ( )1, 2− ( )1, 2− − ( )1,2− ( )2,1 0a > 3 3log logb c− 1− 1 2 − 1 2 2 2y px= 0p > 2 2 13 x y− = p = 2 2 2 612x x  −   160− 20− ( )cos ,sinA α α cos ,sin3 3B π πα α    + +         OA OB+ =  A.1 B. C.2 D.与 有关 9.若 ， ，则“ ”是“ ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 10.某同学在数学探究活动中确定研究主题是“ （ ， ）是几位数”，他以 （ ）为例做 研究，得出相应的结论，其研究过程及部分研究数据如表： （ ） N 的位数 一位数 一位数 一位数 两位数 两位数 两位数 三位数 三位数 三位数 四位数 …… …… …… 试用该同学的研究结论判断 是几位数（参考数据 ）（ ） 3 α 0a > 0b > 1ab ≥ 2a b+ ≥ na 1a > *n∈N 2n *n∈N 2nN = 0n > lg N 12 lg 2 22 lg 4 32 lg8 42 1 lg1.6+ 52 1 lg3.2+ 62 1 lg6.4+ 72 2 lg1.28+ 82 2 lg 2.56+ 92 2 lg5.12+ 102 3 lg1.024+ 504 lg 2 0.3010≈ A.101 B.50 C.31 D.30 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 11.已知向量 ， ，其中 .若 ， 共线，则 m 等于______. 12.圆 的圆心到直线 的距离为______. 13.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于______. 14.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三， 问物几何？”，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列 ，则 ______； ______. （注：三三数之余二是指此数被 3 除余 2，例如“5”） 15.给出下列四个函数，① ；② ；③ ；④ ，其中值域 为 的函数的序号是______. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 85 分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16.已知 ，满足 ， ，______，判断 的面积 是否成立？说明理由. 从① ，② 这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格处并作答. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 17.2019 年 1 月 1 日，我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》，附加扣除的专项包括子女教育、 继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人. 某单位有老年员工 140 人，中年员工 180 人， 青年员工 80 人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取 20 人，调查享受个人所得税专项附加扣除 ( )1, 2a = − ( )3,b m= − m R∈ a b ( )2 21 1x y− + = 3 1 0x y+ + = { }na 1a = na = 2 1y x= + 1 2y x x= + + + 2 1xy = + 2 cosy x x= + [ )1,+∞ ABC△ 7a = 2b = ABC△ 2S > 3A π= 21cos 7B = 的情况，并按照员工类别进行各专项人数汇总，数据统计如表： 专项员工人数 子女教 育 继续教育 大病医疗 住房贷款利 息 住房租金 赡养老人 老员工 4 0 2 2 0 3 中年员工 8 2 1 5 1 8 青年员工 1 2 0 1 2 1 （Ⅰ）在抽取的 20 人中，老年员工、中年员工、青年员工各有多少人； （Ⅱ）从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取 2 人，记 X 为选出的中年员工的人数，求 X 的 分布列和数学期望. 18.如图，已知四边形 为菱形，且 ，取 中点为 E. 现将四边形 沿 折起至 ，使得 . （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求二面角 的余弦值； （Ⅲ）若点 F 满足 ，当 平面 时，求 的值. 19.已知椭圆 C： （ ）的离心率为 ，点 在椭圆 C 上. （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设 O 为原点，过原点的直线（不与 x 轴垂直）与椭圆 C 交于 M、N 两点，直线 、 与 x 轴分 别交于点 E、F.问：y 轴上是否存在定点 G，使得 ？若存在，求点 G 的坐标；若不存在， 说明理由. ABCD 60A∠ = ° AD EBCD BE EBHG 90AEG∠ = ° AE ⊥ EBHG A GH B− − AF ABλ=  EF∥ AGH λ 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > 2 2 ( )0,1A AM AN OGE OFG∠ = ∠ 20.已知函数 ，设 . （Ⅰ）求 的极小值； （Ⅱ）若 在 上恒成立，求 a 的取值范围. 21.用 表示一个小于或等于x的最大整数.如： ， ， . 已知实数列 ， ，… 对于所有非负整数 i 满足 ，其中 是任意一个非零实数. （Ⅰ）若 ，写出 ， ， ； （Ⅱ）若 ，求数列 的最小值； （Ⅲ）证明：存在非负整数 k，使得当 时， . 参考答案 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1.已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【分析】利用交集定义能求出 . 解：∵集合 ， ， ∴ . 故选：D. 2.已知复数 （i 是虚数单位），则 （ ） A.1 B.2 C. D.3 【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可 ( ) ( ) xf x x a e x a= − + + ( ) ( )g x f x′= ( )g x ( ) 0f x > ( )0,+∞ [ ]x [ ]2 2= [ ]4.1 4= [ ]3.1 4− = − 0a 1a [ ] [ ]( )1i i i ia a a a+ ⋅= − 0a 0 2.6a = − 1a 2a 3a 0 0a > [ ]{ }ia i k≥ 2i ia a += { }0 2A x x= < ≤ { }1 3B x x= < < A B = { }0 3x x< < { }2 3x x< < { }0 1x x< ≤ { }1 2x x< ≤ A B { }0 2A x x= < ≤ { }1 3B x x= < < { }1 2A B x x= < ≤ ( )2z i i= + z = 5 解：因为复数 ，所以 ， 故选：C. 3.函数 的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【分析】函数 y 解析式提取 变形，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出 的 值代入周期公式即可求出最小正周期. 解：函数 ， ∵ ，∴ . 故选：B. 4.已知 为定义在 R 上的奇函数，且 ，下列一定在函数 图象上的点是（ ） A. B. C. D. 【分析】根据 是奇函数即可得出 ，从而得出点 在 的图象上. 解：∵ 是定义在 R 上的奇函数，且 ， ∴ ， ∴ 一定在函数 的图象上. 故选：B. 5.已知 a，3，b，9，c 成等比数列，且 ，则 等于（ ） A. B. C. D. 1 【分析】根据等比数列的性质和对数的运算性质即可求出. 解：a，3，b，9，c 成等比数列， ( )2 1 2z i i i= + = − + ( )2 21 2 5z = − + = ( ) sin 2 cos2f x x x= + 2 π π 2π 4π 2 ω 2sin 2 cos2 2 sin 2 2y x x x  = + = +    2ω = T π= ( )f x ( )1 2f = ( )f x ( )1, 2− ( )1, 2− − ( )1,2− ( )2,1 ( )f x ( )1 2f − = − ( )1, 2− − ( )f x ( )f x ( )1 2f = ( )1 2f − = − ( )1, 2− − ( )f x 0a > 3 3log logb c− 1− 1 2 − 1 2 则 ， ， ∴ ， ∴ ， 故选：A. 6.已知抛物线 （ ）的焦点与双曲线 的右焦点重合，则 （ ） A. B.2 C. D. 4 【分析】根据双曲线方程可得它的右焦点坐标，结合抛物线 的焦点坐标 ，可得 ， 得 . 解：∵双曲线 中 ， ∴ ，得双曲线的右焦点为 因此抛物线 的焦点 即 ∴ ，即 故选：D. 7.在 的展开式中，常数项是（ ） A. B. C.20 D.160 【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 0，求出 r 的值，即可求得常数项. 解： 展开式的通项公式为 ， 81bc = 2 27b = 2 1 3 b b bc c = = 3 3 3log log 1 13logb c = = −− 2 2y px= 0p > 2 2 13 x y− = p = 2 2 2 2 2y px= ,02 p     22 p = 4p = 2 2 13 x y− = 2 3a = 2 1b = 2 2 2c a b= + = ( )2,0F 2 2y px= ,02 p     ( )2,0F 22 p = 4p = 612x x  −   160− 20− 612x x  −   ( ) ( ) ( )6 6 6 2 1 6 62 1 1 2r r rr r r r r rT C x x C x− − − − + = ⋅ ⋅ − ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ 令 ，可得 ，故 展开式的常数项为 ， 故选：A. 8.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点 ， .则 （ ） A. 1 B. C. 2 D.与 有关 【分析】根据题意，求出向量 、 的坐标，进而可得 的坐标，由向量模的公式以及和角公 式计算可得答案. 解：根据题意， ， . 则 ， ， 则有 ， 故 ， 则 ； 故选：B. 9.若 ， ，则“ ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6 2 0r− = 3r = 612x x  −   3 68 160C− ⋅ = − ( )cos ,sinA α α cos ,sin3 3B π πα α    + +         OA OB+ =  3 α OA OB OA OB+  ( )cos ,sinA α α cos ,sin3 3B π πα α    + +         ( )cos ,sinOA α α= cos ,sin3 3OB π πα α    = + +          cos cos ,sin sin3 3OA OB π πα α α α    + = + + + +           2 2 2 cos cos sin sin3 3OA OB π πα α α α      + = + + + + +               2 2cos cos 2sin sin 2 2cos 33 3 3 π π πα α α α   = + + + + = + =       3OA OB+ =  0a > 0b > 1ab ≥ 2a b+ ≥ 【分析】 ， ，利用基本不等式的性质可得： ，可由 ，得出 .反之 不成立. 解： ， ，∴ ， 若 ，则 . 反之不成立，例如取 ， . ∴“ ”是“ ”的充分不必要条件. 故选：A. 10.某同学在数学探究活动中确定研究主题是“ （ ， ）是几位数”，他以 （ ）为例做 研究，得出相应的结论，其研究过程及部分研究数据如表： （ ） N 的位数 一位数 一位数 一位数 两位数 两位数 两位数 三位数 三位数 三位数 0a > 0b > 2a b ab+ ≥ 1ab ≥ 2a b+ ≥ 0a > 0b > 2a b ab+ ≥ 1ab ≥ 2a b+ ≥ 5a = 1 10b = 1ab ≥ 2a b+ ≥ na 1a > *n∈N 2n *n∈N 2nN = 0n > lg N 12 lg 2 22 lg 4 32 lg8 42 1 lg1.6+ 52 1 lg3.2+ 62 1 lg6.4+ 72 2 lg1.28+ 82 2 lg 2.56+ 92 2 lg5.12+ 四位数 …… …… …… 试用该同学的研究结论判断 是几位数（参考数据 ）（ ） A.101 B. 50 C. 31 D. 30 【分析】因为 ，所以 ，则 ，由表中数据规律可知，N 的位数是 31 位数. 解：∵ ，∴ ， 则 ， 由表中数据规律可知，N 的位数是 31 位数， 故选：C. 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 11.已知向量 ， ，其中 .若 ， 共线，则 m 等于 6. 【分析】因为 ， 共线，即 ，根据两向量平行的坐标表示列式求解即可. 解：若 ， 共线，即 ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ . 故答案为：6. 12.圆 的圆心到直线 的距离为 1. 【分析】先求出圆的圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可算出结果. 102 3 lg1.024+ 504 lg 2 0.3010≈ 50 1004 2= 1002N = 100lg lg 2 100lg 2 30 lg1.26N = = ≈ + 50 1004 2= 1002N = 100 0.10lg lg 2 100lg 2 30.10 30 0.10 30 lg10 30 lg1.26N = = ≈ = + = + ≈ + ( )1, 2a = − ( )3,b m= − m R∈ a b a b a b ∥ a b a b ∥ ( )1, 2a = − ( )3,b m= − ( )1 2 3m× = − × − 6m = ( )2 21 1x y− + = 3 1 0x y+ + = 解：圆 的圆心坐标为 ， 所以圆 的圆心到直线 的距离 ， 故答案为：1. 13.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于 . 【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积. 解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱锥体. 如图所示： 所以： . 故答案为： . ( )2 21 1x y− + = ( )1,0 ( )2 21 1x y− + = 3 1 0x y+ + = ( )22 1 1 1 1 3 d += = + 16 3 3 1 1 16 34 2 3 43 2 3V = × × × × = 16 3 3 14.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三， 问物几何？”，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列 ，则 8； .（注： 三三数之余二是指此数被 3 除余 2，例如“5”） 【分析】由三三数之余二，五五数之余三，可得数列 的公差为 15，首项为 8.利用通项公式即可得出. 解：由三三数之余二，五五数之余三，可得数列 的公差为 15，首项为 8. ∴ ， . 故答案为：8， . 15.给出下列四个函数，① ；② ；③ ；④ ，其中值域 为 的函数的序号是①②④. 【分析】①由 ，得 ，由此得出结论；②由绝对值不等式的性质即可得出结论；③由 ，得 ，由此得出结论；④由函数 的奇偶性及单调性即可得出结论. 解：①∵ ， ∴ ， 故值域为 ，符合题意； ② ，故值域为 ，符合题意； ③∵ ， ∴ ， 故值域为 ，不合题意； ④函数 为偶函数，且 ， ，故 在 R 上单调 递增， { }na 1a = na = 15 7n − { }na { }na 1 8a = ( )8 15 1 15 7na n n= + − = − 15 7n − 2 1y x= + 1 2y x x= + + + 2 1xy = + 2 cosy x x= + [ )1,+∞ 2 0x ≥ 2 1 1x + ≥ 2 0x > 2 1 1x + > ( ) 2 cosf x x x= + 2 0x ≥ 2 1 1x + ≥ [ )1,+∞ ( ) ( )1 2 1 2 1y x x x x= + + + ≥ + − + = [ )1,+∞ 2 0x > 2 1 1x + > ( )1,+∞ ( ) 2 cosf x x x= + ( ) 2 sinf x x x′ = − ( ) 2 cos 0f x x′′ = − > ( )f x′ 又 ，故当 时， 单调递增，则当 时， 单调递减， 又 ，故其值域为 ，符合题意. 故答案为：①②④. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 85 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16.已知 ，满足 ， ，______，判断 的面积 是否成立？说明理由. 从① ，② 这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格处并作答. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【分析】选①，先利用余弦定理可解得 ，从而求得三角形面积为 ，由此作出判断； 选②，先利用余弦定理可得 ，结合已知条件可知 是 A 为直角的三角形，进而求得面积为 ，此时 不成立. 解：选①， 的面积 成立，理由如下： 当 时， ， 所以 ，所以 ， 则 的面积 ， 因为 ， 所以 成立. 选②， 的面积 不成立，理由如下： 当 时， ， ( )0 0f ′ = ( )0,x∈ +∞ ( )f x ( ),0x∈ −∞ ( )f x ( )0 1f = [ )1,+∞ ABC△ 7a = 2b = ABC△ 2S > 3A π= 21cos 7B = 3c = 3 3 2 3c = ABC△ 3 2S > ABC△ 2S > 3A π= 21 4 7cos 2 2 2 cA c + −= = ⋅ 2 2 3 0c c− − = 3c = ABC△ 1 1 3sin 2 3 sin 32 2 3 2S bc A π= = × × × = 3 273 4 22 4 = > = 2S > ABC△ 2S > 21cos 7B = 2 2 2 21cos 2 7 a c bB ac + −= = 即 ，整理得， ，所以 ， 因 ， ， 所以 是 A 为直角的三角形， 所以 的面积 ， 所以不成立. 17. 2019 年 1 月 1 日，我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》，附加扣除的专项包括子女教育、 继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人.某单位有老年员工 140 人，中年员工 180 人， 青年员工 80 人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取 20 人，调查享受个人所得税专项附加扣除 的情况，并按照员工类别进行各专项人数汇总，数据统计如表： 专项员工人 数 子女教育 继续教育 大病医疗 住房贷款利 息 住房租金 赡养老人 老员工 4 0 2 2 0 3 中年员工 8 2 1 5 1 8 青年员工 1 2 0 1 2 1 （Ⅰ）在抽取的 20 人中，老年员工、中年员工、青年员工各有多少人； （Ⅱ）从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取 2 人，记 X 为选出的中年员工的人数，求 X 的 分布列和数学期望. 【分析】（Ⅰ）先算出该单位的所有员工数量，再根据分层抽样的特点，逐一求解样本中老年、中年、青 年员工的数量即可. （Ⅱ）随机变量 X 的可取值为 0，1，2，结合超几何分布计算概率的方式逐一求取每个 X 的取值所对应的 概率即可得分布列，进而求得数学期望. 解：（Ⅰ）该单位员工共 人， 抽取的老年员工 人， 27 4 21 72 7 c c + − = 2 2 3 3 0c c− + = 3c = 2 7a = 2 2 4 3 7b c+ = + = ABC△ ABC△ 1 1 2 3 3 22 2S bc= = × × = < 140 180 80 400+ + = 20140 7400 × = 中年员工 人， 青年员工 人. （Ⅱ）X 的可取值为 0，1，2， ， ， . 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 P 数学期望 . 18.如图，已知四边形 为菱形，且 ，取 中点为 E. 现将四边形 沿 折起至 ，使得 . （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求二面角 的余弦值； （Ⅲ）若点 F 满足 ，当 平面 时，求 的值. 【分析】（Ⅰ）只需证明 ， ， ，由线面垂直的判定定理可得证明； （Ⅱ）以 E 为原点， ， ， 所在直线分别为 x，y，z 轴，求得平面 的法向量和平面 的法向量.设二面角 的大小为 （ ），即可得到所求值； （Ⅲ）由 ，则 ，由 .计算可得所求值. 20180 9400 × = 2080 4400 × = ( ) 2 3 2 8 30 28 CP X C = = = ( ) 1 1 3 5 2 8 151 28 C CP X C ⋅= = = ( ) 2 5 2 8 100 28 CP X C = = = 3 28 15 28 10 28 ( ) 3 15 10 50 1 228 28 28 4E X = × + × + × = ABCD 60A∠ = ° AD EBCD BE EBHG 90AEG∠ = ° AE ⊥ EBHG A GH B− − AF ABλ=  EF∥ AGH λ GE AE⊥ BE AE⊥ GE BE E= EA EB EG AGH EBHG A GH B− − θ 90θ < ° AF ABλ=  ( )1 , 3 ,0F λ λ− 0n EF⋅ = 解：（Ⅰ）证明：在左图中， 为等边三角形，E 为 中点 所以 ，所以 . 因为 ， 所以 . 因为 ， ， 所以 平面 . （Ⅱ）设菱形 的边长为 2， 由（Ⅰ）可知 ， ， . 所以以 E 为原点， ， ， 所在直线分别为 x，y，z 轴， 建立如图空间坐标系 可得 ， ， ， . ， 设平面 的法向量为 ， 所以 ，即 . 令 ，则 . 平面 的法向量为 . 设二面角 的大小为 （ ） . （Ⅲ）由 ，则 ， 所以 . 因为 平面 ，则 . ABD△ AD BE AD⊥ BE AE⊥ 90AEG∠ = ° GE AE⊥ GE AE⊥ BE AE⊥ GE BE E= AE ⊥ EBHG ABCD GE AE⊥ BE AE⊥ GE BE⊥ EA EB EG ( )1,0,0A ( )0, 3,0B ( )0,0,1G ( )0, 3,2H ( )1,0,1AG = − ( )1, 3,2AH = − AGH ( ), ,n x y z= 0 0 n AG n AH  ⋅ = ⋅ =        0 3 2 0 x z x y z − + =− + + = 1x = 31, ,13n  = −     EBHG ( )1,0,0EA = A GH B− − θ 90θ < ° 21cos cos , 7n EAθ = =  AF ABλ=  ( )1 , 3 ,0F λ λ− ( )1 , 3 ,0EF λ λ= − EF∥ AGH 0n EF⋅ =  即 . 所以 . 19.已知椭圆 C： （ ）的离心率为 ，点 在椭圆 C 上. （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设 O 为原点，过原点的直线（不与 x 轴垂直）与椭圆 C 交于 M、N 两点，直线 、 与 x 轴分 别交于点 E、F.问：y 轴上是否存在定点 G，使得 ？若存在，求点 G 的坐标；若不存在， 说明理由. 【分析】（Ⅰ）利用椭圆的离心率结合 ，求出 a，得到椭圆方程. （Ⅱ）设 ，由题意及椭圆的对称性可知 （ ），求出 ， 的方程， 求出 E 的坐标，F 的坐标，假设存在定点 使得 ，得到 ，求出 n，即 可.说明存在点 G 坐标为 满足条件. 解：（Ⅰ）由题意得 ， ， 又 解得 ， ， 1 2 0λ− = 1 2 λ = 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > 2 2 ( )0,1A AM AN OGE OFG∠ = ∠ 1b = ( )0 0,M x y ( )0 0,N x y− − 0 1y ≠ ± AM AN ( )0,G n OGE OFG∠ = ∠ OE OG OG OF = ( )0, 2± 2 2 ce a = = 1b = 2 2 2a b c= + 2a = 1c = 所以椭圆方程为 . （Ⅱ）设 ，由题意及椭圆的对称性可知 （ ）， 则直线 的方程为 ， 直线 的方程为 ， 则 E 点坐标为 ，F 点坐标为 . 假设存在定点 使得 ， 即 （也可以转化为斜率来求）， 即 即 ， 即 所以 ， 所以存在点 G 坐标为 满足条件. 20.已知函数 ，设 . （Ⅰ）求 的极小值； （Ⅱ）若 在 上恒成立，求 a 的取值范围. 【分析】（Ⅰ）求出导函数得到 ，通过求解导函数判断导函数的符号，判断函数的 单调性，求解函数的极值求解即可. 2 2 12 x y+ = ( )0 0,M x y ( )0 0,N x y− − 0 1y ≠ ± AM 0 0 1 1yy xx −= + AN 0 0 1 1yy xx += + 0 0 ,01 x y    −  0 0 ,01 x y  −  +  ( )0,G n OGE OFG∠ = ∠ tan tanOGE OFG∠ = ∠ OE OG OG OF = 2OG OE OF= 2 2 0 2 0 21 xn y = =− 2n = ± ( )0, 2± ( ) ( ) xf x x a e x a= − + + ( ) ( )g x f x′= ( )g x ( ) 0f x > ( )0,+∞ ( ) ( )1 1xg x x a e= − + + （Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，通过 时，当 时，判断函数的单调性，求和函数的 最值，推出结果即可. 解：（Ⅰ） ， 由题意可知 ， 所以 ， 当 时 ， 在 上单调递增； 当 时 ， 在 上单调递减， 所以 在 处取得极小值，为 . （Ⅱ）由（Ⅰ）得 当 时 ， 所以 在单调递增，所以 ， 即 时 在 恒成立. 当 时 ， 又 ， 又由于 在 上单调递增；在 上单调递减； 所以在 上一定存在 使得 ， 所以 在 递减，在 递增， 所以 ， 所以在 存在 ，使得 ， ( ) ( ) 2 1af x g x e −′ = ≥ − + 2a ≤ 2a > ( ) ( )1 1xf x x a e′ = − + + ( ) ( )1 1xg x x a e= − + + ( ) ( )2 xg x x a e′ = − + 2x a> − ( ) 0g x′ > ( )g x ( )2,a − +∞ 2x a< − ( ) 0g x′ < ( )g x ( ), 2a−∞ − ( )g x 2x a= − ( ) 22 1ag a e −− = − + ( ) ( ) 2 1af x g x e −′ = ≥ − + 2a ≤ ( ) 2 1 0af x e −′ ≥ − + > ( )f x ( ) ( )0 0f x f> = 2a ≤ ( ) 0f x > ( )0,+∞ 2a > ( ) ( )0 0 2 0f g a′ = = − < ( ) ( ) 1 0af a g a e′ = = + > ( )f x′ ( )2,a − +∞ ( )0, 2a − ( )0,a 0x ( )0 0f x′ = ( )f x ( )00, x ( )0 ,x +∞ ( ) ( )0 0 0f x f< = ( )0,+∞ 0x ( )0 0f x ( ) 0f x > ( )0,+∞ ( ],2−∞ [ ]x [ ]2 2= [ ]4.1 4= [ ]3.1 4− = − 0a 1a [ ] [ ]( )1i i i ia a a a+ ⋅= − 0a 0 2.6a = − 1a 2a 3a 0 0a > [ ]{ }ia i k≥ 2i ia a += 0 2.6a = − [ ] [ ]( )1 0 0 0 1.2a a a a= − = −⋅ 2a 3a 0 0a > [ ]0 0a ≥ [ ] [ ]( )1 0 0 0 0a a a a= − ≥ [ ] 0ia ≥ 1i ≥ [ ] [ ]( )1 0i i i ia a a a+ = − ≥ [ ] 0ia ≥ 0i∀ ≥ [ ]0 1i ia a≤ − < [ ] [ ]( ) [ ]1i i i i ia a a a a+ = − ≤ [ ] [ ]1i ia a+ ≤ 0i∀ ≥ 0i∀ ≥ [ ] 0ia > [ ] [ ]1 1i ia a+ ≤ − 0i∀ ≥ [ ] [ ]0na a n≤ − 1n∀ ≥ [ ]0n a≥ [ ] 0na ≤ k ∈ [ ] 0ka = [ ]{ }ia 0 0a > k N∈ [ ] 0ka = 1 0ka + = [ ]1 0ka + = 0ia = i k∀ ≥ 0 0a < k N∈ 0ka = 0ia = i k∀ ≥ 0ia < 0i∀ ≥ [ ] 1ia ≤ − [ ] [ ]( ) [ ]1i i i i ia a a a a+ = − > [ ] [ ]1i ia a+ ≥ 0i∀ ≥ [ ]{ }ia [ ]ia i m≥ [ ]ia c= i m≥ ( )1i ia c a c+ = − 2 2 1 1 1i i c ca c ac c+  − = − − −  2 1i i cb a c = − − 1i ib cb+ = i m≥ 0mb = 0mb ≠ 0ib ≠ i m≥ i m i mb c b−= i m≥ i m≥ [ ]ia c= [ ), 1ia c c∈ + { }ib 0 2.6a = − ∴ ， 同理可得： 、 （Ⅱ）因 ，则 ， 所以 ， 设 ， ，则 ， 所以 ， . 又因 ， 则 ，则 ， . 假设 ，都有 成立， 则 ， 则 ， ，即 ， ， 则 ， ， 则当 时， ， 这与假设矛盾，所以 ， 不成立， 即存在 ， . 从而 的最小值为 0. （Ⅲ）证明：当 时，由（2）知，存在 ， ， 所以 ，所以 ， [ ] [ ]( ) ( )1 0 0 0 3 2.6 3 1.2a a a a= − = − × − + = −⋅ 2 1.6a = − 3 0.8a = − 0 0a > [ ]0 0a ≥ [ ] [ ]( )1 0 0 0 0a a a a= − ≥ [ ] 0ia ≥ 1i ≥ [ ] [ ]( )1 0i i i ia a a a+ = − ≥ [ ] 0ia ≥ 0i∀ ≥ [ ]0 1i ia a≤ − < [ ] [ ]( ) [ ]1i i i i ia a a a a+ = − ≤ [ ] [ ]1i ia a+ ≤ 0i∀ ≥ 0i∀ ≥ [ ] 0ia > [ ] [ ]( ) [ ]1i i i i ia a a a a+ = − < [ ] [ ]1i ia a+ < 0i∀ ≥ [ ] [ ]1 1i ia a+ ≤ − 0i∀ ≥ [ ] [ ]0na a n≤ − 1n∀ ≥ [ ]0n a≥ [ ] 0na ≤ [ ] 0ia > 0i∀ ≥ k N∈ [ ] 0ka = [ ]{ }ia 0 0a > k N∈ [ ] 0ka = 1 0ka + = [ ]1 0ka + = 所以 ， ，成立. 当 时，若存在 ， ，则 ， ，得证； 若 ， ，则 ， 则 ， 则 ， ， 所以数列 单调不减. 由于 是负整数， 所以存在整数 m 和负整数 c，使得当 时， . 所以，当 时， ， 则 ，令 ， 即 ， . 当 时，则 ， ，则 ， ，得证. 当 时， ， ， ， ， 因当 时， ，则 ，则 有界， 所以 ，所以负整数 . ∴ （ ）， 则 0ia = i k∀ ≥ 0 0a < k N∈ 0ka = 0ia = i k∀ ≥ 0ia < 0i∀ ≥ [ ] 1ia ≤ − [ ] [ ]( ) [ ]1i i i i ia a a a a+ = − > [ ] [ ]1i ia a+ ≥ 0i∀ ≥ [ ]{ }ia [ ]ia i m≥ [ ]ia c= i m≥ ( )1i ia c a c+ = − 2 2 1 1 1i i c ca c ac c+  − = − − −  2 1i i cb a c = − − 1i ib cb+ = i m≥ 0mb = 0ib = i m≥ 2 1i ca c = − i m≥ 0mb ≠ 0ib ≠ i m≥ i m i mb c b−= i m≥ i m≥ [ ]ia c= [ ), 1ia c c∈ + ） { }ib 1c ≤ 1c = − ( ) ( )1 1 11 12 2 2 i m i m i m ma b a− −  = − + − = − + − +   i m≥ , 2,, , 4, 1 1, 3, m i m a i m m ma a i m m = + += − − = + +   令 ，满足当 时， . 综上，存在非负整数 k，使得当 时， . k m= i k≥ 2i ia a += i k≥ 2i ia a +=