石家庄市 2020 届高三年级阶段性训练题
数学（文科）
（时间 120 分钟，满分 150 分）
一､选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1.已知集合 ，则集合 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
化简集合 ，按交集的定义，即可求解.
【详解】由题意知 ，故 .
故选：B．
【点睛】本题考查集合间的运算，注意对数函数的定义域，属于基础题.
2.命题 ：“ ”的否定形式 为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定形式，即可得出结论.
【详解】命题 ：“ ”的否定形式
， .
故选：A．
【点睛】本题考查命题的否定，要注意量词间的相互转化，属于基础题,
3.已知 是虚数单位，且 ，则 的共轭复数 在复平面内对应的点在（ ）
2{ | 1 3}, { | log ( 2)}A x x B x y x= − ≤ ≤ = = − A B =
{ }| 1 2x x− ≤ < { }| 2 3x x< ≤ { }|1 3x x< ≤ { }| 2x x >
B
{ | 2}B x x= > { | 2 3}A B x x∩ = < ≤
p ( ,0),2 3x xx∀ ∈ −∞ ≥ p¬
0 0
0 ( ,0),2 3x xx∃ ∈ −∞ < 0 0
0 ( ,0),2 3x xx∃ ∈ −∞ ≤
( ,0),2 3x xx∀ ∈ −∞ < ( ,0),2 3x xx∀ ∈ −∞ ≤
p ( ,0),2 3x xx∀ ∈ −∞ ≥
0: ( ,0)p x¬ ∃ ∈ −∞ 0 02 3x x<
i 1 iz i
−= z z
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】
根据复数除法的运算法则求出 ，得出 ，即可得结论.
【详解】 ，
则 ，所以对应点在第二象限.
故选：B．
【点睛】本题考查复数的代数运算、共轭复数以及复数的几何意义，属于基础题.
4.已知条件 ：①是奇函数；②值域为 ；③函数图象经过第一象限．则下列函数中满足条件 的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据选项分别讨论函数的定义域，奇偶性，值域，判断选项.
【详解】A 定义域不关于原点对称，不符合题意：B 选项虽然为奇函数，但 是 ，故
，不符合题意：C 选项， ，不符合题意：D．选项
，故 为奇函数，值域为 ，图象也经过第一象限，符合题意．
故选：D
【点睛】本题考查判断函数的性质，属于基础题型，需熟练掌握学习过的函数性质.
5.在 中，角 的对边分别为 ，若 ，
则 的面积为（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
z z
1 (1 )( ) 1 1( ) 1
i i i iz ii i i
− − − − −= = = = − −⋅ −
1z i= − +
P R P
1
2( )f x x= 1( )f x x x
= + ( ) sinf x x= ( ) 2 2x xf x −= −
0x > ( ) 2f x ≥
1( ) ( , 2] [2, )f x x x
= + ∈ −∞ − ∪ +∞ ( ) sin [ 1,1]f x x= ∈ −
( ) ( )f x f x− = − ( ) 2 2x xf x −= − R
ABC , ,A B C , ,a b c ( )(sin sin ) (sin sin ), 1, 2a b A B c C B b c+ − = + = =
ABC
1
2
3
2 3
根据正弦定理边角互化，得到 ，再根据余弦定理求角 ，最后代入三角形面积公式
求解.
【详解】根据正弦定理知 化为为 ，即
，故 ，故 ，则 ．因为 ， 的面
积 ．
故选:B
【点睛】本题考查正余弦定理，三角形面积解三角形，重点考查转化与化归的思想，属于基础题型.
6.已知实数 x，y 满足不等式 ，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据约束条件画出可行域，目标函数 转化为点 与 连线的斜率，从而求出其最大值.
【详解】根据约束条件 画出可行域，
图中阴影部分为可行域，
目标函数 ，
表示可行域中点 与 连线的斜率，
2 2 2a b c bc= + + A
1 sin2S bc A=
( )(sin sin ) (sin sin )a b A B c C B+ − = + ( )( ) ( )a b a b c c b+ − = +
2 2 2a b c bc= + +
2 2 2 1cos 2 2
b c aA bc
+ −= = − 2
3A
π= 3sin 2A = 1, 2b c= = ABC
1 3sin2 2S bc A= =
2 0
2 5 0
1
x y
x y
y
− + ≥
+ − ≤
≥ 3
yz x
= +
3
5
4
5
3
4
3
2
3
yz x
= +
( ),x y ( )3,0−
2 0
2 5 0
1
x y
x y
y
− + ≥
+ − ≤
≥
3
yz x
= +
( , )x y ( 3,0)−
由图可知点 与 连线的斜率最大，
故 的最大值为 ，
故选：C.
【点睛】本题考查线性规划求分式型目标函数的最大值，属于中档题.
7.在平面直角坐标系中，角 的终边经过点 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角函数的定义求出 ， ，再利用三角函数变换 展
开求值.
【 详 解 】 由 题 意 知 ， 则
．
故选：A
【点睛】本题考查三角函数的定义，三角函数给值求值，重点考查转化与化归的思想，计算能力，属于基
础题型，本题的关键是三角变换 .
8.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构
是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如图，白圈为阳数，黑点为阴数，
若从阴数和阳数中各取一数分别记为 ，则满足 的概率为（ ）
(1,3)P ( 3,0)−
z 3
4
3
πα + ( )1,2P sinα =
2 5 15
10
− 3 5 15
10
− 3 5 15
10
+ 2 5 15
10
+
sin 3
πα + cos 3
πα + sin sin 3 3
π πα α = + −
2 1sin ,cos3 35 5
π πα α + = + =
sin sin sin cos cos sin3 3 3 3 3 3
π π π π π πα α α α = + − = + − +
2 1 1 3 2 5 15
2 2 105 5
−= × − × =
sin sin 3 3
π πα α = + −
,a b | | 2a b− ≥
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先由题意抽象出阳数和阴数包含哪些数字，并通过列举的方法列举 的基本事件的个数，并求对
立事件的概率.
【详解】因为阳数：1，3，5，7，9，阴数：2，4，6，8，10，所以从阳数和阴数中各取一数共有：
种情况．
满足 有 ，共 9 种情况，故满足
的情况有 16 种，故根据古典概型得满足 的概率为 ．
故选：C
【点睛】本题考查数学文化，古典概型，属于基础题型，本题的关键读懂题意，并转化为典型的古典概型.
9.某高校组织若干名学生参加自主招生考试（满分 150 分），学生成绩的频率分布直方图如图所示，分组区
间为： ，其中 成等差数
列且 ．该高校拟以成绩的中位数作为分数线来确定进人面试阶段学生名单，根据频率分布直方图进
人该校面试的分数线为（ ）
A. 117 B. 118 C. 119 D. 120
【答案】C
【解析】
【分析】
由频率和为 1，以及已知条件，求得 的值，再根据中位数左边的矩形面积和为 0.5，计算中位数.
.
8
25
9
25
16
25
18
25
1− =a b
5 5 25× =
| | 1− =a b (1,2),(3,2),(3,4),(5,4),(5,6),(7,6),(7,8),(9,8),(9,10) | | 2a b− ≥
| | 2a b− ≥ 16
25
[ ) [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) [ ]80,90 , 90,100 , 100,110 , 110,120 , 120,130 , 130,140 , 140,150 , ,a b c
2c a=
, ,a b c
【详解】由于 ，解得 ，前三个组的频
率之和为 ，第四个组的频率为 0.2，故中位数为 （分）．
故选：C
【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，重点考查中位数，频率，属于基础题型.
10.如图，在矩形 中， ，动点 在以点 为圆心且与 相切的圆上，则
的最大值是（ ）
A. B. 5 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据已知先求出圆 的半径，由 ，结合向量数量积运算律， 的最大值转化为求
的最大值，再由向量的数量积公式，即可求出结论.
【详解】由题意知 ，设 到 的距离为 ，
则有 ，
故 ，
其中 ，
设 的夹角为 ，
，
当且仅当 与 同向时，等号成立；
所以 的最大值为 .
故选：A．
2 0.052, 2 , 2a b c a c b c a+ + = + = = 0.008, 0.012, 0.016a b c= = =
0.04 0.12 0.16 0.32+ + = 0.18110 10 1190.2
+ × =
ABCD 2 2AB BC= = M C BD AM BD⋅
1− 3 5− + 3 5+
C AM AC CM= + AM BD⋅
CM BD⋅
| | | | 5AC BD= = C BD d
1 2 2 5
55
d
×= =
( )AM BD AC CM BD AC BD CM BD⋅ = + ⋅ = ⋅ + ⋅
( ) ( ) 3A AD ADD ABC B AB⋅ = + ⋅ − = −
,CM BD θ
| | | | cos | | | | 2CM BD CM BD CM BDθ⋅ = ⋅ ⋅ ≤ ⋅ =
CM BD
AM BD⋅ 1−
【点睛】本题考查向量的线性关系的几何表示、向量数量积及其最值，考查计算求解能力，属于中档题.
11.函数 相邻两条对称轴间的距离为 的图象与
轴交点坐标为 ，则下列说法不正确的是（ ）
A. 是 的一条对称轴 B.
C. 在 上单调递增 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据二倍角公式化简函数 ，由周期求 ，以及根据 求 的值，求得
，并根据函数性质，依次判断选项.
【详解】由题意知 ，由周期为 ，知 ；
又因为 ，
即 ， ．
所以 ，
所以 B D 正确
当 时， ，是函数 的对称轴，所以 A 正确；
当 时，
此时当 时，函数单调递增，当 时函数单调递减，
所以 C 不正确.
故选：C
【点睛】本题考查三角恒等变换，根据函数性质求函数的解析式，以及判断三角函数的性质，属于中档题
型，本题的关键是正确求得函数的解析式，并会根据选项判断函数性质.
12.已知函数 对于任意 ，均满足 ，当 时， ，（
的
,
2( ) 4cos ( ) 2( 0,0 )2f x x
πω ϕ ω ϕ= + − > < < , ( )2 f x
π y
( )0,1
5
6x
π= ( )f x 1ω =
( )f x ( , )3 6
π π−
6
π=ϕ
( ) ( )2cos 2 2f x xω ϕ= + ω ( )0,1 ϕ
( ) 2cos 2 3f x x
π = +
2( ) 4cos ( ) 2 2cos(2 2 )f x x xω ϕ ω ϕ= + − = + π 1ω =
(0) 2cos2 1f ϕ= = 0 0 22
πϕ ϕ π< < < 2
4( ) 2ln2 1,g b e
∈ −
( ) 4 ln 2aa b c d b e b b+ + + − = − − 2
1 1be e
< ≤
3( ) ( 0)f x ax ax a= − > 0x = 1x = a =
【答案】
【解析】
【分析】
求出导函数，则 可得．
【详解】 ，由 ，即 ，解得 .
故答案为 ．
【点睛】本题考查导数的几何意义，考查两直线垂直的条件．属于简单题．
14.已知双曲线 ： 的焦点关于一条渐近线的对称点在 轴上，则该双曲线的离心率
为____________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意列方程得双曲线是等轴双曲线，进而可得离心率.
【详解】设焦点坐标是 ， 其中一条渐近线方程是 ，设焦点关于渐近线的对称点是
，
则 ，得： ，解得： ，
所以， ，
所以双曲线的离心率是 .
故答案为： .
【点睛】本题考查双曲线的几何性质，重点考查等轴双曲线的几何性质，属于基础题型.
15.如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， ，则
_________；四棱锥 的外接球的表面积为___________．
2
2
'(0) '(1) 1f f = −
( )2( ) 3 1f x a x′ = − (0) (1) 1f f′ ′⋅ = − 22 1a = 2
2a =
2
2
C
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > y
2
( ),0F c 0c > by xa
=
( )0,n
2 2
n a
c b
n b c
a
= −−
= ×
acn b
bcn a
=
=
a b=
2 2 2 22 2cc a b a a
= + = ⇒ =
2
2
P ABCD− ABCD 2, 60AB AP PAB PAD= = ∠ = ∠ = °
PAC∠ = P ABCD−
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
由条件可知点 在底面 的射影 是正方形对角线的交点，这样可求得 ，并判断点 是四棱
锥 外接球的球心，根据半径计算外接球的表面积.
【详解】由条件可知 和 是等边三角形，则 ，所以点 在底面 的射影
到点 的距离相等，即 ，因为四边形 是正方形，所以点 是正方形对角线
的交点，所以 .
又因为 ， ，所以 是等腰直角三角形，即 ；
所以 ，
所以点 是四棱锥 外接球的球心， ，
所以四棱锥 的外接球的表面积 .
故答案为： ；
【点睛】本题考查四棱锥外接球表面积，重点考查空间想象能力，逻辑推理，计算能力，属于中档题型，
本题的关键是确定球心的位置.
16.已知抛物线 的焦点为 ， 为抛物线 上的三个动点，其中
且 若 为 的重心，记 三边 的中点到抛物线 的准线的
距离分别为 且满足 ，则 ____； 所在直线的方程为____．
【答案】 (1). (2).
45 8π
P ABCD O PAC∠ O
P ABCD−
PAB△ PAD△ PA PB PD= = P ABCD
O , ,A B D OA OB OD= = ABCD O
2PC =
2PA AB= = 2 2AC = PAC 45PAC∠ =
2OA OB OC OD OP= = = = =
O P ABCD− 2R =
P ABCD− 24 8S Rπ π= =
45 8π
2: 8C y x= F 1 1 1 2 2 2 3 3 3( , ), ( , ), ( , )P x y P x y P x y C
1 2 3x x x< < 2 0,y < F 1 2 3PP P 1 2 3PP P 1 2 1 3 2 3, ,PP PP P P C
1 2 3, , ,d d d 1 3 22d d d+ = 2y = 1 3PP
4− 2 2 0x y− − =
【解析】
【分析】
根 据 焦 半 径 公 式 和 中 位 线 定 理 可 知 ， 代 入 已 知
得到 ，根据重点坐标公式可知 ，公式结合后
可得 ，代入抛物线方程求 ，并求得 的中点坐标 ，并代入斜率公式
化简求值，最后代入点斜式方程求直线.
【 详 解 】 由 题 意 知 ， 代 入 得
， 即 ． 由 为 的 重 心 ， 则 有
，即 ，即 ，所以 ，因此有 ．故
的中点坐标为 ，所在直线的斜率 ，故 所在直线的方程为
．
故答案为：-4；
【点睛】本题考查抛物线的几何性质，三角形重心的性质，以及直线与抛物线的综合应用，意在考查转化
与化归的思想，计算，变形，化简能力，属于中档题型.
三､解答题：共 70 分．解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考
题，每个试题考生都必须作答．第 22､23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分
17.2019 年末，武汉出现新型冠状病毒（ ）肺炎疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很
快．因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，目前没有特异治疗方法，防控难度很大．武
汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从 2 月 7 日起举全市之力人户上门排查确诊的
新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和确诊患者的密切接触者等“四类
”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人．在排查期间，某社区将本社区的排查工作人员分为 ，
两个小组，排查工作期间社区随机抽取了 100 户已排查户，进行了对排查工作态度是否满意的电话调查，
根据调查结果统计后，得到如下 的列联表．
1 2 1 3 2 3
1 2 32, 2, 22 2 2
x x x x x xd d d
+ + += + = + = +
1 3 22d d d+ = 2 1 32x x x= + 1 2 3 1 2 32, 03 3
x x x y y y+ + + += =
2 2x = 2y 1 3PP 1 3 1 3,2 2
x x y y+ +
1 3
1 3
y yk x x
−= −
1 2 1 3 2 3
1 2 32, 2, 22 2 2
x x x x x xd d d
+ + += + = + = + 1 3 22d d d+ =
( )1 2 3 1 32 2x x x x x+ + = + 2 1 32x x x= + F 1 2 3PP P
1 2 3 1 2 32, 03 3
x x x y y y+ + + += = 2 22 6x x= − 2 2x = 2 4y = − 1 3 4y y+ = 1 3PP
(2,2) 1 3
1 3 1 3
8 2y yk x x y y
−= = =− + 1 3PP 2 2 0x y− − =
2 2 0x y− − =
2019 nCoV−
A B
2 2×
是否满意
组别
不满意 满意 合计
组 16 34 50
组 5 45 50
合计 21 79 100
（Ⅰ）分别估计社区居民对 组、 组两个排查组的工作态度满意的概率；
（Ⅱ）根据列联表的数据，能否有 99%的把握认为“对社区排查工作态度满意”与“排查工作组别”有关?
附表：
0.100 0.05 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
附：
【答案】（Ⅰ）0.68；0.9（Ⅱ）有 99%的把握认为“对社区排查工作态度满意”与“排查工作组别”有关．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据 列联表，分别计算两组对社区工作态度满意的频率即可；
（Ⅱ）根据 列联表，利用 公式，直接代入求解，并且和 比较.
【详解】解：（Ⅰ）由样本数据， 组排查对象对社区排查工作态度满意的频率为 ，因此社区
居民对 组排查工作态度满意的概率估计值为 0.68．
组排查对象对社区排查工作态度满意的频率为 ，因此社区居民对 组排查工作态度满意的概率
估计值为 0.9．
（Ⅱ）假设“对社区排查工作态度满意”与“排查工作组别”无关，根据列联表中的数据，得到
A
B
A B
( )2
0P K k≥
0k
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
2 2×
2 2× 2K 6.635
A 34 0.6850
=
A
B 45 0.950
= B
因此有 99%的把握认为“对社区排查工作态度满意”与“排查工作组别”有关．
【点睛】本题考查独立性检验，重点考查读懂题意，熟练掌握 的计算公式，属于基础题型.
18.已知等差数列 的前 项和为 且 ．
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，将已知条件转化为 的关系，求解即可求出数列 的通项公式；
（Ⅱ）由（1）结合已知可得 ，用错位相减法求其和.
【详解】（Ⅰ）设数列 的公差为 ，
由 得： ，所以 ，
又因为 ，所以 ．
于是 ，故 ．
（Ⅱ）设 的前项和为 ，因为 ，所以 ，
依题 ，
则
于是
2
2 100(16 45 5 34)
50 50 21 79K
× − ×= × × ×
7.294 6.635≈ >
2K
{ }na n ,nS 3 6 69, 21a a S+ = =
{ }na
1( )2
nn
n
a
b
= { }nb n
na n= 1( 1) 2 2n
nT n += − × +
{ }na d 1,a d { }na
2n
nb n= ×
{ }na d
6 21S = ( )1 66 212
a a+ = 1 6 7a a+ =
3 6 9a a+ = 1d =
1 1a = na n=
{ }nb nT 1
2
n
n
n
a
b
= 2n
nb n= ×
1 21 2 2 2 2n
nT n= × + × + + ×
2 3 12 1 2 2 2 2n
nT n += × + × + + ×
1 2 11 2 1 2 1 2 2n n
nT n +− = × + × + × − ×
1 12(1 2 ) 2 (1 ) 2 21 2
n
n nn n+ +−= − × = − × −−
即
故： ．
【点睛】本题考查等差数列的前 项和与通项公式的基本量的计算，以及用错位相减法求数列的前 项和，
考查计算求解能力，属于基础题.
19.如图 1，在 中， 分别是 边上的中点，将 沿
折起到 的位置，使 如图 2．
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求点 到平面 的距离．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）要证明线线垂直，需证明线面垂直，易证明 平面 ；
（Ⅱ）利用等体积转化 ，求点 到平面 的距离.
【详解】证明：（Ⅰ）在图 1 中， ， 为 边中点，所以 ．
又 所以 ．
在图 2 中 ， 且 则 平面 ．
又因为 平面 所以 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 平面 且 平面 ，
所以平面 平面
且平面 平面 ，
1( 1) 2 2n
nT n += − × +
1( 1) 2 2n
nT n += − × +
n n
Rt ABC 90 , 4, ,C BC AC D E∠ = ° = = ,AC AB ADE DE
1A DE△ 1 1 ,AC A D=
1DE AC⊥
C 1A BE
4 5
5
DE ⊥ 1ACD
1 1C A BE A BCEV V− −= C 1A BE
ABC D E ,AC AB DE BC∥
AC BC⊥ DE AC⊥
1DE A D⊥ DE DC⊥ 1A D DC D= DE ⊥ 1ACD
1AC ⊂ 1ACD 1DE AC⊥
DE ⊥ 1ACD DE ⊂ BCDE
1ACD ⊥ BCDE
1ACD ∩ BCDE DC=
在正 中，过 作 ，垂足为 ，
所以 平面 ．
即为三棱锥 底面上的高，
在 中， ．
在 中， ， ，所以 ．
在梯形 中 ．
设点 到平面 的距离为 ，
因为 ，
所以 ，解得 ．
即点 到平面 的距离为 ．
【点睛】本题考查线线，线面垂直关系，以及点到平面的距离，重点考查空间想象能力，转化能力，属于
基础题型.
20.已知点 ，椭圆 ： 的离心率为 和 分别是椭圆 的左焦点和上
顶点，且 的面积为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设过点 的直线 与 相交于 ， 两点，当 时，求直线 的方程．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） 或
【解析】
【分析】
1ACD△ 1A 1AO CD⊥ O
1AO ⊥ BCDE
1AO 1A BCE−
1ACD△ 1 3AO =
1A BE 1 2 2A E BE= = 1 2 5A B =
1
15A BES =
BCDE 1 42BCE BCDS S BC CD= = ⋅ =
C 1A BE h
1 1C A BE A BCEV V− −=三棱锥 三棱锥
1 1
1 1
3 3A BE BCES h S AO⋅ = ⋅
4 5
5h =
C 1A BE 4 5
5
( )2,0A C
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 2 ,2
F B C
ABF
3
2
C
A l C P Q 1
3OP OQ⋅ = l
2
2 12
x y+ = 2 2 0x y+ − = 2 2 0x y− − =
（Ⅰ）由 的面积为 ，得出 关系，再由离心率结合 关系，求解即可得出椭圆方程；
（Ⅱ）设 ，由已知可得 ，设直线 方程为 ，与椭圆方程联
立，得到 的关系式，进而得出 的关系式，建立 的方程，求解即可得出结论.
【详解】（Ⅰ）设 ，由条件知 ，
所以 的面积为 ，①
由 得 ，从而 ，化简得 ，②
①②联立解得 ，
从而 ，所以椭圆 的方程为 ；
（Ⅱ）当 轴时，不合题意，故设 ，
将 代入 得 ．
由题 得 ，
设 ，则
因为 ，
所以 ，
从而 ，
整理得 ， ，
所以直线 的方程为 或 ．
【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，要掌握根与系数关系设而不求方法在相交弦
中的应用，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.
21.已知函数 ，其中 为自然对数的底数．
ABF
3
2
,b c , ,a b c
( ) ( )1 1 2 2, , ,P x y Q x y 1 2 1 2
1
3x x y y+ = l ( 2)y k x= −
1 2 1 2,x x x x+ 1 2y y k
( ,0)( 0)F c c− > (0, )B b
ABF
1 3(2 )2 2c b+ ⋅ =
2
2
c
a
= 2 22a c= 2 2 22b c c+ = b c=
1b c= =
2a = C
2
2 12
x y+ =
l x⊥ : ( 2)l y k x= −
( 2)y k x= − 2
2 12
x y+ = ( )2 2 2 21 2 8 8 2 0k x k x k+ − + − =
( )24 2 4 0k= − > 2 2
2 2k− < <
( ) ( )1 1 2 2, , ,P x y Q x y
2 2
1 2 1 22 2
8 8 2,1 2 1 2
k kx x x xk k
−+ = =+ +
1
3OP OQ⋅ =
( )( )2
1 2 1 2 1 2 1 22 2x x y y x x k x x+ = + − − ( ) ( )2 2 2
1 2 1 2
11 2 4 3k x x k x x k= + − + + =
( ) 2 2
2 2 2
2 2
8 2 8 11 2 41 2 1 2 3
k kk k kk k
−+ − + =+ +
228 7k = 1 2 2,2 2 2k
= ± ∈ −
l 2 2 0x y+ − = 2 2 0x y− − =
( ) ,xf x e ax a R= + ∈ e
（Ⅰ）讨论 单调性；
（Ⅱ）当 时，设函数 存在两个零点 ，求证： ．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）证明见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ） ，分 和 两种情况讨论函数的单调性；
（Ⅱ）解法一：由题意可知 ，两式相减可得 ，再利用分析法转化为证
明要证 ，只需证 ，再通过变形，构造，证明只需证
即可， ，构造函数 ，利用导数证明
.
解法二：由题意可知 ，再换元令 ，即 ，两式相减
得 ，要证 ，即只需证 ，即证 ，再通过变形，构造
得到 ， ， ，利用导数证明 .
【详解】解：（1） ，
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时，令 得 ， 在 上单调递减，在 上单调递增；
（Ⅱ）解法一：由题意知 ，由 得 ，
两式相减得 ，因为 ，故 ，
要证 ，只需证 ，
两边同除以 得 ，
( )f x
3a = − ( ) ( ) ( )g x f x m m R= − ∈ 1 2 1 2, ( )x x x x< 1 2 6x xe e+ >
( ) xf x e a′ = + 0a ≥ 0a <
1
2
1
2
3
3
x
x
e x m
e x m
− =
− =
( )1 2
1 23x xe e x x− = −
1 2 6x xe e+ > ( )( ) ( )1 2 1 2
1 23 6x x x xx x e e e e− + < −
( 2) 2 0uu e u− + + < 1 2 0u x x= − < ( ) ( 2) 2uG u u e u= − + + ( ) 0G u <
1
2
1
2
3
3
x
x
e x m
e x m
− =
− =
1 2
1 2 1 2, ,0x xe t e t t t= = < < 1 1
2 2
3ln
3ln
t t m
t t m
= +
= +
1
1 2
2
3ln 0tt t t
− = < 1 2 6x xe e+ > 1 2 6t t+ >
1
1 2 2
1 2
3ln
6
t
t t t
t t
− >+
1
21
12
2
2 1
ln 0
1
t
tt
tt
t
− − <
+
2( 1)( ) ln 1
uG u u u
−= − +
1
2
(0,1)tu t
= ∈ ( ) 0G u <
( ) xf x e a′ = +
0a ≥ ( ) 0f x′ > ( )f x ( , )−∞ +∞
0a < ( ) 0f x′ = ln( )x a= − ( )f x ( ,ln( ))a−∞ − (ln( ) )a− + ∞
( ) 3xg x e x m= − −
( )
( )1
2
0
0
g x
g x
= =
1
2
1
2
3
3
x
x
e x m
e x m
− =
− =
( )1 2
1 23x xe e x x− = − 1 2x x< ( )1 2
1 23 0x xe e x x− = − <
1 2 6x xe e+ > ( )( ) ( )1 2 1 2
1 23 6x x x xx x e e e e− + < −
23 xe ( )( ) ( )1 2 1 2
1 2 1 2 1x x x xx x e e− −− + < −
令 ，故只需证 即可．
令 ， ，
令 ，
当 时， ，故 在 上单调递减，
故 ，故 在 上单调递增，故 ，故原命题得证．
【解法二】由题意知 ，由 得 ，
令 ，即 ，两式相减得 ，
要证 ，即只需证 ，即证 ，即 ，即
，
令 ，只需证 即可．
令 ， ，
当 时， ，故 在 上单调递增，故 ，因此原不等式成立．
【点睛】本题考查导数的综合应用 ，重点考查利用导数研究函数的单调性，最值，本题的难点是根据方程
组 转化，变形为可利用的式子，再利用分析法将所证明不等式等价转化，最后根据换元构造
函数，本题属于难题.
（二）选考题：共 10 分，请考生从第 22､23 题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将答题卡上所
选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂､多答，按所涂的首题进行评分
；不涂，按本选考题的首题进行评分．
[选修 4--4：坐标系与参数方程]
1 2 0u x x= − < ( 2) 2 0uu e u− + + <
( ) ( 2) 2uG u u e u= − + + ( ) ( 1) 1uG u u e′ = − +
( ) ( 1) 1, ( )u uh u u e h u ue′= − + =
( ,0)u∈ −∞ ( ) 0h u′ < ( )h u ( ,0)−∞
( ) (0) 0h u h> = ( )G u ( ,0)−∞ ( ) (0) 0G u G< =
( ) 3xg x e x m= − −
( )
( )1
2
0
0
g x
g x
= =
1
2
1
2
3
3
x
x
e x m
e x m
− =
− =
1 2
1 2 1 2, ,0x xe t e t t t= = < < 1 1
2 2
3ln
3ln
t t m
t t m
= +
= +
1
1 2
2
3ln 0tt t t
− = <
1 2 6x xe e+ > 1 2 6t t+ >
1
1 2 2
1 2
3ln
6
t
t t t
t t
− >+
( )1 21
2 1 2
2ln 0t tt
t t t
−− > 1 1 4
1 2 1 7a b
+ ≥+ +
5
2
x ( )f x ( )f x
2 5a b+ = 1 1 1[( 1) (2 1)]7 1 2 1a b a b
+ + + + + +
，即可证明结论.
【详解】（1）
当 时， ；当 时， ；
当 时， ．所以 的最小值为 ．
（2）由（1）知 ，即 ，
又因为 ，
所以
．
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 ．
【点睛】本题考查分类讨论求绝对值不等式的最值，以及利用基本不等式证明不等式，考查逻辑推理、数
学计算能力，属于中档题.
3 1, 2,
1( ) 2 1 2 3, 2 ,2
13 1, ,2
x x
f x x x x x
x x
− − ≤ −
= − + + = − + − < >
1 1
1 2 1a b
++ +
1 1 1[( 1) (2 1)]7 1 2 1a b a b
= + + + + + +
1 2 1 127 1 2 1
b a
a b
+ + = + + + +
1 2 1 12 27 1 2 1
b a
a b
+ +≥ + ⋅ + +
4
7
=
2a b= 5 5,2 4a b= =
1 1 4
1 2 1 7a b
+ ≥+ +
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