福建龙岩市2020年高中毕业班六月份教学质量检查文科数学试题Word版 含答案

龙岩市 2020 年高中毕业班六月份教学质量检查 文科数学 2020.6.5 本试题卷共 5 页,23 题(含选考题).全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项: 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答 题卡上的指定位置. 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡.上对应题目的答案标号涂黑.写在试 卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内,写在试卷、草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效. 4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡指定的位置用 2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡 上对应的答题区域内,写在试卷、草稿纸和答题卡.上的非答题区域均无效. 5.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.复数 1 3 i i  A. 3 1 10 10 i B 3 1+10 10 i C. 1 3 10 10 i D. 1 3 10 10 i 2.已知全集 U=R,集合  2 1M x x   ,则 UC M  A. (1,3) B.[1,3] C. ( ,1) (3, )  D. ( ,1] [3, )  3.设 Sn 是等比数列 ( )na n N  的前 n 项和,且 a3= 3 2 ,S3= 9 2 ,则 a1= A. 3 2 B.6 C. 3 2 或 6 D. 3 62  或 4.已知向量 a  、b  满足 1, 2, 2 2a b a b       ，则向量 a  ，b  的夹角为 A. 6  B. 3  C. 4  D. 2  5.用数字 1,2,3 组成无重复数字的三位数,那么所有的三位数中是奇数的概率为 A. 1 3 B. 1 6 C. 1 2 D. 2 3 6.执行如图所示的程序框图,若输入 k，n 的值均是 0,则输出 T 的值为. A.9 B.16 C.25 D.36 7.已知△ABC 中的内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c, 3A  ，a=7,c=5,则 sinA: sinB= A. 7 3 B. 3 7 C. 5 3 D. 3 5 8.若过直线 3x-4y+2=0 上一点 M 向圆Γ:(x-2)2+(y+3)2=4 作一条切线于切点 T, 则|MT|的最小值为. A. 10 B.4 C. 2 2 D. 2 3 9.已知 为第二象限角, 3sin cos 3    ,则 tan2 = A. 2 5 5 B. 2 5 5  C. 2 5 5 或 2 5 5  D. 5 5 10.若关于 x 的不等式 1 lnxaxe x x   恒成立,则实数 a 的取值范围为 A.[e,+∞) B.[ 2 e ,+∞) C.[1, +∞) D. [2,十∞) 11.设 A,B 为双曲线Γ: 2 2 14 x y  的左,右顶点,F 为双曲线Γ右焦点,以原点 O 为圆心， OF 为半径的圆与双曲线Γ的一条渐近线的一个交点为 M,连接 AM, BM,则 tan∠AMB = A.4 B. 5 C.2. D. 6 11.已知数列 na 满足 1 1 ( 2)n n na a a n    ,又 na 的前项和为 Sn,若 S6=52,则 a5= A.13 B.15 C.17 D.31. 12. 已知函数 ( ) sin( )( 0)4f x x     ,满足不等式 9( ) ( )6f x f   在 R 上恒成立，在 3 2 2  （ ， ）上恰好只有一个极值点,则实数 =__ . A. 3 4 B. 19 18 C. 27 2 D. 3 2 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.函数 2(2 1) xy x e  '在点(0,1)处的切线方程为_________________。 14.若实数 x、y 满足约束条件 1 1 3 0 3 3 0 x y x y x y            ,则 z=2x -y 的最大值为___________。 15.一条河的两岸平行,河的宽度 d = 4km,一艘 船从岸边 A 处出发到河的正对岸,已知船的 速度 1v = 10km/h,水流速度 2v = 2km/h, . 那么行驶航程最短时，所用时间是_____ (h). (附: 6 ≈2.449,精确到 0. 01h) 16. 9.在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC,PA=2,AB=4,AC=3,∠BAC= 3  ,则三棱锥 P-ABC 的 外接球的半径 R=________ 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题,每个 试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共 60 分 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 na 的前 n 项和 Sn, Sn =2n2 +bn,(n∈N* ),a3=11. (1)求数列 na 的通项公式; (2)若 n n Sb n  ,求 1 2 2 3 1 1 1 1 n n n T b b b b b b      之和. 18. (本小题满分 12 分) 某电讯企业为了了解某地区居民对电讯服务质量评 价情况，随机调查 100 名用户,根据这 100 名用户对该 电讯企业的评分,绘制频率分布直方图,如图所示，其中 样本数据分组为[40,50),[50,60),…… [90,100]. (1)估计该地区用户对电讯企业评分不低于 70 分的 概率,并估计对该电讯企业评分的中位数; (2)现从评分在[ 40, 60)的调查用户中随机抽取 2 人,求 2 人评分都在[40,50)的概 率(精确到 0.1). 19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,在四边形 ABCD 中,∠ABC= 2  ,AB=4,BC=3,CD= 5 ,AD=2 5 ,PA=4. (1)证明:CD⊥平面 PAD; (2)求 B 点到平面 PCD 的距离 20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆Γ: 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的左,右焦点分别为 F1( 2 ,0),F2( 2 ,0),椭圆的左,右 顶点分别为 A,B,已知椭圆Γ上一异于 A,B 的点 P ,PA,PB 的斜率分别为 k1,k2,满足 1 2 1 2k k   . (1)求椭圆Γ的标准方程; (2)若过椭圆Γ左顶点 A 作两条互相垂直的直线 AM 和 AN,分别交椭圆Γ于 M,N 两点,问 x 轴 上是否存在一定点 Q,使得∠MQA=∠NQA 成立,若存在,则求出该定点 Q,否则说明理由. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 ( ) ln(1 ) ( )f x x ax a R    (1)求 ( )f x 的单调区间； (2)若不等式 2( ) 1 xf x e  在 0x  时恒成立,求实数 a 的取值范围; (二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计 分. 22. [选修 4-4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 是曲线 C: 1 12( ) x t t y t t       (t 为参数)上的动点,以坐标 原 点 O 为 极 点 ， x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线 C2 的 极 坐 标 方 程 为 : 2= sin 3cos    (1)求曲线 C1,C2 的直角坐标下普通方程; (2)已知点 Q 在曲线 C2 上,求 PQ 的最小值以及取得最小值时 P 点坐标. . 23. [选修 4-5:不等式选讲] (本小题满分 10 分) 已知 ( ) 1 ,f x ax a R   (1)若关于 x 的不等式 f(x)≤3 的解集为 2 1x x   ,求实数 a 的值; (2)若 1(0, )2x 时,不等式 ( ) 2 2 1f x x   恒成立.求实数 a 的取值范围. 文科数学参考答案 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C C B D B A D A C A D 二、填空题： 13. 1 0x y   14. 6 15. 0.41 16. 4 3 3 三、解答题： 17.（本小题满分 12 分） 解:(1) 22 ,( , 1)nS n bn n N N    , 2 2 3 3 2 (2 3 3 ) (2 2 2 ) 11a S S b b          1b  , 22 ,( , 1)nS n n n N N     1 1 3,a S   1 4 1( 2)n n na S S n n     从而 4 1( 1)na n n   . ……………………………………..6 分 （2） 2 1n n Sb nn    1 2 2 3 1 1 1 1... 1 1 1...3 5 5 7 (2 1) (2 3) 1 1 1( )2 3 2 3 2(2 3) n n n T b b b b b b n n n n n                  …………………………………………………………………………………………………………. 12 分 18.（本小题满分 12 分） 解：(1)该地区用户对电讯企业评分的分布 评分 [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 频率 0.04 0.06 0.20 0.28 0.24 0.18 因此评分不低于 70 分的概率为 p=0.28+0.24+0.18=0.70. 对该电讯企业评分的中位数设为 x,则 700.04+0.06+0.20+ 0.28 0.50, 77.1410 x x    ………………………………………………… 6 分 (2)受调查用户评分在[40,50) 的有100 0.004 10=4  人，若编号依次为 1，2，3，4.从中选 2 人的事件有｛12，13，14，23，24，34｝共有 3+2+1=6 种。 受调查用户评分在[40,60) 的有100 0.01 10=10  人，若编号依次为 1，2，3，..9,10.从中 选 2 人的事件,同理可求有 9+8+7+...+2+1=45 种， 因此 2 人评分都在[40,50) 的概率 6 2 45 15p   . …………………………. 12 分 19.（本小题满分 12 分） 解：（1）在平面 ABCD 中， , 4, 32ABC AB BC    , 5CD  , 2 5AD  5, 2AC CDA     ,即 AD CD ，又 PA⊥平面 ABCD，则 PA CD CD PAD  平面 . …………………………………………………………………………………. 6 分 （2）在平面 ABCD 中，过 A 作 BC 的平行线交 CD 的延长线于 M， 2 2ABC BAM     , 4, 32ABC AB BC    , 5CD  , 2 5AD  3 11 14 2tan cot( ) 3 1 2 4 2 DAM BAC CAD           又 2 5AD  ，则 5MD  由 P BCM B PCMV V  可知： BCM PCM B PCMS PA S h     6 6 5 , 4B PCMPA h PA    ，则 4= 5B PCMh  ， 因此 P 点到平面 PCD的距离为 4 5 5 。……………………………………………………………. 12 分 20.（本小题满分 12 分） 解:(1)设 0 0( , )P x y , 2 0 0 2 0 0 1 2PA PB y y bk k x a x a a         , 2c  ， 则 2, 2b a  椭圆  的标准方程为 2 2 4 2 1x y  。 ……………………………………………………………. 4 分 （2）由（1）知 ( 2,0)A  ，且直线 AM 和 AN 的斜率存在，设直线 AM 和 AN 的方程分别 为 ( 2)y k x  和 1 ( 2)y xk    ，设 ( , ), ( , )M M N NM x y N x y ，联立 2 2 2 22 2 ( 2) (1 2 ) 8 8 4 0 14 2 y k x k x k x kx y           ， 直线 AM 和椭圆  交于 ,A M 两点 2 2 2 2 8 8 4( 2) ,( 2)1 2 1 2M M k kx xk k         ， 2 2 2 2 4 4, ( 2)1 2 1 2M M M k kx y k xk k       ， 2 2 2 2 4 4( , )1 2 1 2 k kM k k    同理 2 2 2 2 4 4( , )2 2 k kN k k     , 设 x 轴上存在一定点Q（t,0），使得 MQA NQA   成立, 0QM QNk k  0NM QM QN M N yyk k x t x t      ,则 ( )M N N M M Ny x y x y y t      2 2 2 4 (6 6) (2 1)(2 )M N N M k ky x y x k k       , 2 2 2 4 ( 1) (2 1)(2 )M N k ky y k k      因 此 x 轴 上 存 在 一 定 点 Q（-6,0） ， 使 得 MQA NQA   成 立 ……………………………………………………………. 12 分 21.（本小题满分 12 分） 解：（1）对 ( ) ln(1 )f x x ax   求导数得： ' 1( ) 1f x ax   若 0a  时， ' 1( ) 01f x ax    ，因此 ( )f x 在 1x   时为增区间； 若 0a  时， ' 1( 1 )1( ) 1 1 a x af x ax x        ， 因此 ( )f x 在 1 1x a   时为减区间，在 11 1x a     时为增区间。…………………………. 5 分 (2)设 2( ) ln(1 ) 1xg x x ax e     ，求函数导数得: ' 2 1 1( ) 2 2(1 2 )1 1 xg x e a x ax x         3 1 12(1 2 ) (1 ) (1 ) 21 1 3 1 2 x a x x x ax x x x a                在 3a  时， ' ( ) 0g x  ， ( )g x 在 0x  为增函数，则 ( ) 0g x  ， 在 3a  时，由 ' 2 1( ) 2 1 xg x e ax    可知: '' 2 2 1( ) 4 0(1 ) xg x e x    在 0x  恒成立，则 ' ( )g x 在 0x  单调递增， 而 ' (0) 3 0g a   ，因此存在 0 0x  ，使得 ' 0( ) 0g x  ， 从而 ( )g x 在单调 00 x x  递减，在单调 0x x 递增， 以 0( ) (0) 1g x g  ，因此 ( ) 1g x  不恒成立，不合题意， 综合以上可知:实数 a 的取值范围为 3a  。 ……………………………………………. 12 分 22.（本小题满分 10 分） 解: (1)由 1C ： 1 12( ) x t t y t t       消去参数t 得到 2 2 2 21 1( ) ( ) ( ) 42 yx t tt t       2 2 1 : 14 16 x yC   由 2C ： sin 3 cos 2,     3 2y x   . …………………………………………….5 分 (2) 设 1 1,2( ))P t tt t  （ ,则 P 到直线 2C 3 2y x ： 的距离 PQ 2 2 1 1 53( ) 2( ) 2 2 101 3 t t tt t tPQ          5 52 2 5 2, 2 2 5 2t tt t          5 2 10 ,5PQ   此时 6 5 8 55, ( , )5 5t P    .……………………………………………. 10 分 23.（本小题满分 10 分） 解:（1）由 +1 3ax  ，得 -4 2ax  ，又   3f x  的解集为 -2 1x x  ，所以 当 0a  时，不合题意； 当 >0a 时， 4 2- xa a   ，得 =2a .……………………………………………. 5 分 （2）因为要使 2|12||1|  xax 在 2 10  x 恒成立， 所以 12|1|  xax ，即 121)12(  xaxx ，所以 xaxx 222  。 所以      .02)2( ,0)2( xa xa 由①，得 2a ； 由②，使 xa 22  在 2 10  x 恒成立，所以 xa 22  。 因为 622  x ，所以 6a 。 综上，实数 a 的取值范围为 26  a 。……………………………………………. 10 分