江苏省宝应县2019-2020高二数学下学期期中试题（Word版含答案）

2019-2020 学年度第二学期期中调研考试 高二数学 一、单选题：(本大题 9 小题，共 45 分) 1．若复数 ，则 （ ） A． B． C． D． 2．如果 ( ， 表示虚数单位)，那么 （ ） A．1 B． C．2 D．0 3．已知函数 的导函数为 ，且满足 ，则 为（ ） A． B． C． D． 4．下列求导运算正确的是（ ） A． B． C． D． 5．用数学归纳法证明： 时，在第二步证明从 到 成立时，左边增加的项数是（ ） A． B． C． D．1 6．二项式 展开式中的常数项是（ ） A． B． C． D． 7．某高校外语系有 8 名志愿者，其中有 5 名男生，3 名女生，现从中选 3 人参加某项测试赛 的翻译工作,若要求这 3 人中既有男生，又有女生，则不同的选法共有(　　) A．45 种 B．56 种 C．90 种 D．120 种 8．由 组成的无重复数字的五位偶数共有（ ） A．36 个 B．42 个 C．48 个 D．120 个 9．已知 ，若对任意两个不等的正实数 ， ，都有 恒成立，则 a 的取值范围是（ ） 1 2z i= − + z = 2 3 10 5 13 mii +=+ 11 2 Rm ∈ i =m 1− )(xf )(xf ′ xxfxf ln)2(3)( +′= )2(f ′ 4 1 4 1− 2 2ln− 2 2ln 2 1 11x x x ′ + = +   2 1(log ) ln 2x x ′ = 3(3 ) 3 log ex x′ = xx 2cos)2(sin =′ ( )1 1 11 12 3 3 1n n n N n++ + +…+ < ∈ >− ， n k= 1n k= + 2 3k× 3k 13k+ 10 2 )2( xx + 45 90 180 360 5,3,2,1,0 ( ) 21ln ( 0)2f x a x x a= + > 1x 2x ( ) ( )1 2 1 2 2f x f x x x − >−A． B． C． D． 二、多选题：(本大题 3 小题，共 15 分) 10．若 ，则（ ） A． B． C． D． 11．定义在 上的可导函数 的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（ ） A．-3 是 的一个极小值点 B．-2 和-1 都是 的极大值点 C． 的单调递增区间是 D． 的单调递减区间是 12．已知 的展开式中第 5 项与第 7 项的二项数系数相等，且展开式的各项 系数之和为 1024，则下列说法正确的是（ ） A．展开式中奇数项的二项式系数和为 256 B．展开式中第 6 项的系数最大 C．展开式中存在常数项 D．展开式中含 项的系数为 45 三、填空题：(本大题 4 小题，共 20 分) 13． ___________。 14．函数 在其极值点处的切线方程为____________。 15．设 ， ， ， ，若 的 内角 满足 ，则 = 。 16．设函数 ，若 无最大值，则实数 的取值范围是 ____________。 ( ]0,1 ( )1,+∞ ( )0,1 [ )1,+∞ 10 2 10 0 1 2 10(2 1) ,x a a x a x a x x R+ = + + + ∈ 0 1a = 0 0a = 10 0 1 2 10 3a a a a+ + + + = 0 1 2 10 3a a a a+ + + + = R ( )y f x= ( )f x ( )f x ( )f x ( )3,− +∞ ( )f x ( ), 3−∞ − 2 1( ) ( 0)nax a x + > 15x 1 2 3 4 5 5 5 5 5 5C C C C C+ + + + = xy xe= 0 ( ) cosf x x= ( ) ( )1 0f x f x′= ( ) ( )2 1f x f x′= ( ) ( )1n nf x f x+ ′= ( )n N∈ ABC∆ A 0)()()()( 2022321 =++++ AfAfAfAf  Asin ( ) 3 3 2 x x x af x x x a  − ≤= − > ， ， ( )f x a四、解答题(本大题 6 小题，共 70 分) 17．（1）计算： （2）解方程： ． 18．已知函数 . （1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程； （2）求函数 的极值。 19．已知数列 满足 ， . （1）计算 ， ， ，根据计算结果，猜想 的表达式； （2）用数学归纳法证明你猜想的结论。 20．毕业季有 位好友欲合影留念，现排成一排，如果： （1） 、 两人不排在一起，有几种排法？ （2） 、 两人必须排在一起，有几种排法？ （3） 不在排头， 不在排尾，有几种排法？ 21．如图，某隧道的剖面图是由半圆及矩形 组成，交通部门拟在隧道顶部安装通风设 备（视作点 ），为了固定该设备，计划除从隧道最高点 处使用钢管垂直向下吊装以外，再 在两侧自 两点分别使用钢管支撑.已知道路宽 ，设备要求安装在半圆内部，所 使用的钢管总长度为 。 2 3 3 100 100 101( )C C A+ ÷ 3 2 2 13 2 6X X XA A A+= + ( ) ln ( )f x x a x a R= − ∈ 2a = y = ( )f x (1, (1))A f ( )f x { }na 1 1 2a = ( ) ( )* 1 2 1 1 n n n aa n Nn a+ = ∈+ + 2a 3a 4a na 6 A B A B A B ABCD P Q ,A B mAB 8= L（1）①设 ，将 表示为关于 的函数； ②设 ，将 表示为关于 的函数； （2）请选用（1）中的一个函数关系式，说明如何设计，所用的钢管材料最省？ 22．已知函数 . （1）当 时，求函数 的最小值； （2）当 时，求函数 的单调区间； （3）当 时，设函数 ，若存在区间 ，使得函数 在 上的值域为 ，求实数 的取值范围。 2019-2020 学年度第二学期高二下学期数学期中考试参考答案 1.C 2.B 3. 4. 5.A 6. 7.A 8.B 9. 10．AC 11．ACD 12．BCD 13．31 14． 15． 16． 【分析】f′（x） ， PQ x= L x PAB θ∠ = L θ ( ) ( ) ( )21 1 ln2 ax af x x x a R= − + + − ∈ 0a = ( )f x 0a > ( )f x 0a = ( ) ( )g x xf x= [ ] 1, ,2m n  ⊆ +∞  ( )g x [ ],m n ( ) ( )2 2, 2 2k m k n+ − + −   k B B C D 1y e = − 2 2 1a < − 23 3 2 x x a x a ， ， ＞  − ≤=  −令 f′（x）＝0，则 x＝±1， 若 f（x）无最大值，则 ，或 ， 解得：a∈（﹣∞，﹣1）． 17．解： = （2） ， ， 化简得 ， 解得 （不合题意，舍去）； ∴ ．……………………10 分 18．解：函数 的定义域为 , (1)当 时， ， ， ……………………2 分 因而 ， 所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 . ……………………5 分 (2)由 知： ①当 时， ，函数 为 上的增函数，函数 无极值；…………7 分 ②当 时，由 ，解得 ， 又当 时， ； 当 时， ， 3 1 2 3 a a a a ≤ − − − ＞ 3 1 2 3 2 2 a a a a a − − −  − ＞ ＞ ＞ 22 1 3 623 xxx AAA += + )1(6)1(2)2)(1(3 −++=−−∴ xxxxxxx 010173 2 =+− xx 3 2,5 == xx 5=x )(xf ),0( +∞ x axf −=′ 1)( 2=a xxxf ln2)( −= )0(21)( >−=′ xxxf 1)1(,1)1( −=′= ff )(xfy = ))1(,1( fA )1(1 −−=− xy 02 =−+ yx 0,1)( >−=−=′ xx ax x axf 0≤a 0)( >′ xf )(xf ),0( +∞ )(xf 0>a 0)( =′ xf ax = ),0( ax ∈ 0)( ′ xf从而函数 在 处取得极小值，且极小值为 ，无极大值．………9 分 综上，当 时，函数 无极值； 当 时，函数 在 处取得极小值 ，无极大值．………10 分 19．（1）解：当 时， ； 当 时， ； 当 时， ，……………………3 分 由此可以猜想， .……………………5 分 （2）下面用数学归纳法证明： ①当 时， ，显然成立；……………………6 分 ②假设当 时猜想成立，即 。……………………7 分 则当 时, , ……………11 分 所以当 时猜想也成立； 由①②可知，猜想成立，即 .……………12 分 20．解：（1）将 、 插入到其余 人所形成的 个空中，因此，排法种数为 ； ……………………4 分 （2）将 、 两人捆绑在一起看作一个复合元素和其他 人去安排， 因此，排法种数为 ；……………………8 分 )(xf ax = aaaaf ln)( −= 0≤a )(xf 0>a )(xf ax = aaa ln− 1n = 1 2 1 1 4 1 6 aa a = =+ 2n = 2 3 2 1 6 1 12 aa a = =+ 3n = 3 4 3 1 8 1 20 aa a = =+ ( ) 1 1na n n = + 1=n 2 1 21 1 1 =×=a )1( *Nkkkn ∈≥= 且 )1( 1 += kkak 1+= kn )2)(1( 1 1)1( 1)1(2 )1( 1 1)1(21 ++= +++ +=++=+ kk kkk kk ak aa k k k 1n k= + ( ) 1 1na n n = + A B 4 5 4 2 4 5 24 20 480A A = × = A B 4 2 5 2 5 2 120 240A A = × =（3）分以下两种情况讨论： ①若 在排尾，则剩下的 人全排列，故有 种排法； ②若 不在排尾，则 有 个位置可选， 有 个位置可选，将剩下的 人全排列，安排在 其它 个位置即可，此时，共有 种排法. 综上所述，共有 种不同的排法种数. ……………………12 分 21．解：（1）延长 交 于点 ，则 ，且 为 的中点， 所以 ，由对称性可知， . ①若 ，则 ， ， 在 中， ， 所以 ，……………4 分 ②若 ，则 ， 在 中， ， ， 所以 ， 所以 .……………8 分 （2）选取①中的函数关系式， 记 则由 得 。……………10 分 当 时， 此时 单调递减， 当 时， 此时 单调递增， 所以当 时， 取得最小值。 从而钢管总长度为 取得最小值，即所用的钢管材料最省. ……………12 分 选取②中的函数关系式， ， A 5 5 5 120A = A A 4 B 4 4 4 1 1 4 4 4 4 384C C A = 120 384 504+ = QP AB E ⊥QE AB E AB 1 42EA EB EQ AB= = = = PA PB= PQ x= 0 4x< < 4EP x= − Rt PAE∆ ( )22 2 4 16PA PE AE x= + = − + ( ) ( )22 2 4 16 0 4L PQ PA x x x= + = + − + < < PAB θ∠ = 0 4 πθ< < Rt PAE∆ 4 cos cos AEPA θ θ= = tan 4tanPE AE θ θ= = 4 4tanPQ QE PE θ= − = − 4 2 sin2 4 4tan 2 4 4 0cos cos 4L PQ PA θ πθ θθ θ −  = + = − + × = + × < ( )f x 1(0, ),(1, )a +∞ 1( ,1)a 0 1a< < 1 1a > 0 1x< < 1x a > ( ) 0f x′ < 11 x a < < ( ) 0f x′ >即函数 递减区间是 ，递增区间是 。 综上，若 时，函数 的递减区间是 ，无递增区间； 若 时，函数 的递减区间是 ，递增区间是 ； 若 时，函数 的递减区间是 ，递增区间是 。…………6 分 （3）当 时，设函数 ， 则 ，设 ， 当 时， 为增函数， 在 为增函数， 在区间 上递增， 函数 在 上的值域为 ， ， 在 上至少有两个不同的根 ，…………8 分 即方程 在 上至少有两个不同的根 ， 记 （ ，则 ， 在 恒正， 在区间 上单调递增， 要使 在 上有两个不同的根则必存在 使得 ， 函数 在区间 上单调递减，在 上单调递增，且同时满足 ① ( )f x 1(0,1),( , )a +∞ 1(1, )a 1a = ( )f x (0, )+∞ 1a > ( )f x 1(0, ),(1, )a +∞ 1( ,1)a 0 1a< < ( )f x 1(0,1),( , )a +∞ 1(1, )a 0a = 2( ) ( ) lng x xf x x x x= = − ( ) 2 ln 1g x x x′ = − − 1( ) ( ), ( ) 2 ( 0)h x g x h x xx = ′ ′ = − > 1 2x ≥ ( ) 0, ( )h x g x′ ≥ ′ 1( ) ( ) ln 2 0, ( )2g x g g x∴ ′ ≥ ′ = > ∴ 1[ , )2 +∞ ( )g x∴ [ ] 1, ,2m n  ⊆ +∞   ( )g x [ ],m n ( ) ( )2 2, 2 2k m k n+ − + −   ( ) ( 2) 2, ( ) ( 2) 2g m k m g n k n∴ = + − = + − ( ) ( 2) 2g x k x= + − 1[ , )2 +∞ 1, ,( )2m n m n> ≥ 02)2(ln2 =++−− xkxxx 1[ , )2 +∞ 1, ,( )2m n m n> ≥ 2)2(ln)( 2 ++−−= xkxxxxϕ )2 1≥x kxxx −−−=′ 1ln2)(ϕ xx 12)( −=′′ϕ ),2 1[ +∞∈x )(xϕ′∴函数 1[ , )2 +∞ 0)( =xϕ 1[ , )2 +∞ 2 1>ox 0)( =′ oxϕ )(xy ϕ= ),2 1( ox ),( +∞ox 0)2 1( ≥ϕ ② ③ 由①式得 ， ……………………10 分 由③得 代入②得 ，化简得 设 ，（ ）则 ， 当 时， 在 上单调递增， 又 的解集为 ， 函数 的导函数 在 上恒大于 0， 函数 在 上单调递增， 又 即实数 的取值范围是 …………12 分 又 当 时，在区间 上存在 即方程 在区间 和 上各有一个实根。 综上所述：实数 的取值范围是 …………14 分 （注：若用分离参数酌情给分）。 02)2(ln)( 2 x 322)( +−=′ xxxP  ),2 1( +∞∈x 0)( >′ xP )(xP∴ ),2 1( +∞ 0)1( =P 0)( >∴ xP { }1| >xx 1>∴ ox  1ln2)( −−= xxxg xxg 12)( −=′ ),1( +∞ ∴ 1ln2)( −−= xxxg ),1( +∞  1)1( =g 1>∴k k 9 2ln 2(1, ]10 +  ]10 2ln29,1( +∈k ),( +∞ox 02)2()( 2 >++−−= keeeeϕ 0)( =xϕ ),2 1[ ox ),( +∞ox k 9 2ln 2(1, ]10 +