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2020 年大连市高三第二次模拟考试
数学(理科)
第 I 卷
一、选择题：(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的)
(1)已知集合 则
(2)已知 为虚数单位，若 a-i 与 2+bi 互为共轭复数，则(a+bi)2 为( )
(A)5-4i (B)5+4i (C)3-4i (D)3+4i
(3)双曲线 的渐近线方程是( )
(4)瑞士数学家欧拉发明了著名的“欧拉公式 为虚数单位)”，欧拉公式将指数函数的定义
域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，
根据欧拉公式可知，e3i 表示的复数在复平面中位于( )
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
(5)设函数 则 ( )
(A)3 (B)6 (C)9 (D)12
(6)已知各项均为正数的数列{an}为等比数列 则
(A)16 (B)32 (C)64 (D)256
(7)已知某函数的图象如图所示，则下列函数中，与图象最契合的函数是( )
(8)已知关于某设备的使用年限 x(单位：年)和所支出的维修费用 y(单位：万元)有如下的统计资料：
由上表可得线性回归方程 ，若规定当维修费用 时该设备必须报废，据此模型预报该设
备使用的年限不超过为( )
2{ | 4 3 0}, { | 2 4}A x x x B x x= − + < = < < ( )A B =
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )1,4 2,3 2,41,3A B C D
, ,ia b∈R
2
2 14
x y− =
1( ) ( ) ( ) 2 ( ) 44 2
1A y x B y x C y x D y x= ± = ± = ± = ±
cos sin (ixe x i x i= +
( ) ( )21 log 2 , 1
, 1x
x x
f x
xe
+ − 2
(A)7 (B)8 (C)9 (D)10
(9)已知点 P 在抛物线 C： 过点 P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线 C 于 A、B 两点，若直
线 AB 的斜率为-1，则点 P 坐标为( )
(10)下列四个正方体图形中，A、B 为正方体的两个顶点，M、N、P 分别为其所在棱的中点，能得出 AB∥
平面 MNP 的图形的序号是( )
(A)①③ (B)②③ (C)①④ (D)②④
(11)已知函数 ，其图象与直线 相邻两个交点的距离为 π，若对
不等式 恒成立，则 φ 的取值范围是
(12)已知三棱锥 面 则三棱锥 P-ABC 外
接球的表面积( )
(A)20π (B)32π (C)64π (D)80π
2 4 ,y x= 上
( ) )( )(1,2) ( ) 1 - 2 ( )2,2 2 ( )(2, 2 2)A B C D −，
( ) ( )sin 0,| | 2f x x
πϕ ω ϕω = + >
( ) ( ) ( ) ( )
3[ , ] , ,12 6 12 3 6 2[ , ]6A B C D
π π π π π ππ π
,P ABC− , 4,, 4 3PAB ABC PA PB AB= = =⊥ 面 ， 120 ,ACB °=∠3
本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题~第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答．第 22 题~第 23
题为选考题，考生根据要求做答.
二、填空题：(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答卷纸的相应位置上)
(13)设向量 与向量 共线，则实数 x=▲
(14)已知 的展开式中含 x3 的项的系数为 30，则 a 的值为▲
(15)数列 则 的前 8 项和为▲
(16)已知函数 ，则 值为▲;
若 =19(a+b)，则 的最小值为▲.
三解答题：(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
(17)(本小题满分 12 分)
在 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且
(1)求角 B 的大小；（Ⅱ） 求 的面积。
(18)(本小题满分 12 分)
如图，已知平面四边形 ABCP 中，D 为 PA 的中点 ∥AB，且 PA=CD=2AB=4．将此平面四
边形 ABCP 沿 CD 折成直二面角 P-DC-B 连接 .
(Ⅰ)证明：平面 PBD⊥平面 PBC；
(Ⅱ)求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值。
( )2,4=a ( ),6x=b
5ax x
−
( )1{ }, 1 ,n
n n na a a n+ + − = { }na
( ) ln 2
exf x x
= − ( ) ( )2f x f x+ −
2 2a b+
ABC∆ ( )2 2 2(2 ) 2 cos .a c a b c abc C− − + =
1, 3a b= =若 ABC∆
, ,PA CDAB⊥
PA PB BD、 、4
(19)(本小题满分 12 分)
在创建“全国卫生文明城”的过程中，环保部门对某市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位
市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的 1000 人的得分(满分：100 分)数据，统计结果
如下表所示：
(Ⅰ)已知此次问卷调查的得分 Z 服从正态分布 ，μ 近似为这 1000 人得分的平均值(同一组中的
数据用该组区间的中点值为代表)，请利用正态分布的知识求 ；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
(i)得分不低于 μ 的可以获赠 2 次随机话费，得分低于 μ 的可以获赠 1 次随机话费：
(ii)每次赠送的随机话费和相应的概率如右表。现市民甲要参加此次问卷调查，记 X 为该市民参加问卷调查
获赠的话费，求 X 的分布列概率及数学期望。
附：
(20)(本小题满分 12 分)
已知函数
(Ⅰ)讨论 的单调性；
不等式 恒成立，求整数 a 的最大值
(21)(本小题满分 12 分)
已 知 离 心 率 为 e＝ 2
2 的 椭 圆 上 下 顶 点 分 别 为 直 线 I ：
( )2,14.5N µ
( )36 79.5P Z<
( )2~ ) 0.6827,P Xµ σ µ σ µ σ− < ≤ + =若X N( , ，则
( ) ( )2 2 0.9545, 3 3 0.9973.P X P Xµ σ σ µ σ σµ µ− < + =≤ =≤− < +
( ) ( )ln 1 , 1f x x x aa x= − − + +
( )f x
1,x >( Ⅱ) 若 ( ) 1f x >
( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > 的 ( )(0,1) 0, 1 ,A B −5
与椭圆 Q 相交于 C，D 两点，与 y 相交于点 M．
(Ⅰ)求椭圆 Q 的标准方程；
（Ⅱ） 求 OCD 面积的最大值;
(Ⅲ)设直线 AC，BD 相交于点 N，求 的值
请考生在 22，23 二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时，用 2B 铅笔在答题卡
上把所选题目对应的标号涂黑。
(22)(本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程
以平面直角坐标系 xOy 的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴取相同的单位长度建立极坐标系，直线 l 的
极坐标方程为 ,曲线 C 的参数方程为 (θ 为参数).
(Ⅰ)求直线的直角坐标方程和曲线 C 的普通方程；
(Ⅱ)求曲线 C 上的动点到直线 l 距离的最大值.
(23)(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲
已知函数
(Ⅰ)若 ，求 的解集；
且 f(x)的最小值为 2，求 的最小值
( )0x ty m m= + ≠
,OC OD⊥若
OM ON⋅
2sin 34
ρ πθ + =
2cos
3sin
x
y
θ
θ
= =
( ) | | | 2 |, , .f x x a x b a b= − + ∈+ R
2
11,a b= = − ( ) 2f x
( ) 0,ab >Ⅱ 若 2 1
a b
+6789101112
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