大连市高三二模数学文科1 / 6
2020 年大连市高三第二次模拟考试
数 学(文科)
命题人：安道波 周亚明 于学杰 闫旭 于丹 丁忒 审校人：安道波
本试卷满分 150 分，共 6 页，答卷时间 120 分钟。考试结束后，将答题卡交回。
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条
形码粘贴区。
2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字
体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在
草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，其中第 II 卷第 22 题～
第 23 题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答
题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第 I 卷
一．选择题:（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的）
（1）已知集合 0342 +−= xxxA , 42 = xxB ,则 AB=（ ）
（A）(1,3) （B）(1, 4) （C）(2,3) （D）(2,4)
（2）已知 ,abR ，i 为虚数单位，若 ia − 与 2ib+ 互为共轭复数，则(a＋bi)2 为（ ）
（A）5－4i （B）5＋4i （C）3－4i （D）3＋4i21 教
（3）双曲线
2
2 14
x y−=的渐近线方程是（ ）
（A） 1
4yx= （B） 1
2yx= （C） 2yx= （D） 4yx=
（4）瑞士数学家欧拉发明了著名的“欧拉公式 i cos isinxe x x=+ （i 为虚数单位）”，
欧拉公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它
在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知， 3ie 表示
的复数在复平面中位于（ ）
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
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（5）设函数 21 log (2 ), 1
()
,1x
xx
fx
ex
+ − =
，则 ( 2) (ln 6)ff−+ =（ ）
（A）3 （B）6 （C）9 （D）12
（6）已知各项均为正数的数列{ na }为等比数列， 1516aa=， 34+ 12aa= ，则 7a =（ ）
（A）16 （B）32 （C）64 （D）256
（7）已知某函数的图象如图所示，则下列函数中，与图象最契合的函数是（ ）
（A） ( )sin xxy e e−=+ （B） ( )sin xxy e e−=−
（C） ( )cos xxy e e−=− （D） ( )cos xxy e e−=+
（8）已知关于某设备的使用年限 x （单位：年）和所支出的维修费用 y （单位：万元）
有如下的统计资料：
由上表可得线性回归方程 0.08y bx=+ ，若规定当维修费用 12y 时该设备必须报
废，据此模型预报该设备使用的年限不超过为（ ）
（A）7 （B）8 （C）9 （D）10
（9）已知点 P 在抛物线 2:4C y x= 上，过点 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线C
于 A 、 B 两点，若直线 AB 的斜率为 1− ，则点 坐标为（ ）
（A）（1,2） （B）（1， 2− ） （C）(2, 2 2) （D）(2, 2 2)−
（10）下列四个正方体图形中， AB、 为正方体的两个顶点， M N P、 、 分别为其所在
棱的中点，能得出 //AB 平面 MNP 的图形的序号是（ ）
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（A）①③ （B）②③ （C）①④ （D）②④
（11）已知三棱锥 P ABC− ,面 PAB ⊥ 面 ABC ， 4PA PB==， 43AB = ，
=90ACB ，则三棱锥 外接球的表面积（ ）
（A） 20 （B）32 （C）64 （D）80
（12）已知函数 ( ) sin( + )f x x= ( 0,| | )2
, 其图象与直线 1y = 相邻两个交点的
距离为 ，若对 ( , )24 3x ，不等式 1() 2fx 恒成立，则 的取值范围是
( )
（A）[]12 6
， （B）
12 3
（ ， ） （C）[]63
， （D）
62
（ ， ）
本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题～第 21 题为必考题，每个试
题考生都必须做答．第 22 题～第 23 题为选考题，考生根据要求做答．
二.填空题:（本大题共 4 小 题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷纸的相
应位置上）
（13）设向量 )4,2(=a 与向量 )6,(xb = 共线，则实数 =x ．
（14）抽取样本容量为 20 的样本数据，分组后的频数如下表：
分组 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70)
频数 2 3 4 5 4 2
则样本数据落在区间[10,30)的频率为 ．
（15）数列 na 满足 1 ( 1)n
nna a n+ + − = ，则 na 的前 8 项和为 ．
（16）已知函数 ( ) ln 2
exfx x= −
，则 ( ) ( )2f x f x+−的值为 ；
则
19
1 10k
kf
=
的值为 ．
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三.解答题：(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤)
（17）(本小题满分 12 分)
在 ABC 中，内角 A B C， ， 的对边分别为 a b c， ， ，且
( )2 2 2(2 ) 2 cosa c a b c abc C− − + = .
（Ⅰ）求角 B 的大小；
（Ⅱ）若 1, 3ab==，求 的面积.
（18）(本小题满分 12 分)
如图，已知平面四边形 ABCP 中， D 为 PA 的中点， PA AB⊥ ， //CD AB ，
且 24PA CD AB= = = ．将此平面四边形 沿CD 折起，
且平面 PDC ⊥ 平面 DCB，连接 PA PB BD、 、 ．
（Ⅰ）证明：平面 PBD ⊥ 平面 PBC ；
(II)求点 D 与平面 的距离．
D
A
C
B
P
BA
CD
P
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(19)(本小题满分 12 分)
为了立德树人，某校组织学生参加中华传统文化知识竞赛，现从参加竞赛的 450 名学生
中随机抽取 60 名学生，将其按成绩(均为整数)分成六段[90,100)，[100,110)，…，
[140,150]后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（Ⅰ）求分数在[120,130)内的频率，并补全这个频率分布直方图；
(II)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均
分；
(Ш)用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为 6 的样本，将该样
本看成一个总体，从中任取 2 个，求至多有 1 人在分数段[120,130)内的概率．
(20) （本小题满分 12 分）
已知函数 ( ) ln ( 1) 1f x x x a x a= − − + + .
(Ⅰ)讨论 ( )fx的单调性；
(Ⅱ)若 1x ，不等式 ( ) 1fx 恒成立，求整数 a 的最大值.
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(21)（本小题满分 12 分）
已知离心率为 2
2e = 的椭圆
22
22: 1( 0)xyQ a bab+ = 的上下顶点分别为 (0,1),A
(0, 1)B − ，直线 : ( 0)l x ty m m= + 与椭圆Q 相交于 ,CD两点，与 y 相交于点 M .21
(Ⅰ)求椭圆 的标准方程；
(Ⅱ)设直线 ,AC BD 相交于点 N ，求OM ON 的值.
请考生在 22，23 二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记
分．做答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
(22)（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程
以平面直角坐标系 xoy 的原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极
坐标系，直线 l 的极坐标方程为 sin( ) 3 24
+= ,曲线C 的参数方程为
2cos
3 sin
x
y
= =
( 为参数).
（Ⅰ）求直线 l 的直角坐标方程和曲线 的普通方程;
(II)求曲线 上的动点到直线 l 距离的最大值.
(23)（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲
已知函数 ( ) | | | 2 |f x x a x b= − + + ， ,abR .
（Ⅰ）若 11, 2ab= = − ，求 ( ) 2fx 的解集；
(II)若 0ab ，且 ()fx的最小值为 2，求 21
ab+ 的最小值.
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2020 年大连市高三二模测试
数学（文科）参考答案与评分标准
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据
试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该
题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应
得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一．选择题
（1）（B）；（2）（D）；（3）（B）；（4）（B）；（5）（C）；（6）（C）；（7）
（D）；（8）（D）；（9）（A）； （10）（C）；（11）（C）；（12）. (A)
二.填空题
（13）3； （14）0.25； (15) 20； 16．2，19.
三.解答题
（17）(本小题满分 12 分)
（Ⅰ）由余弦定理得： 2 2 2 2 cosa b c ac B=−+ ，．.. ....... .... ...........1 分
又因为 2 2 2( ) 2 co2 )( sa c a b c abc C− − + = ，，...．.. ....... .... ...........2 分
所以(2 )cos cosbCa c B =− ，所以(2sin sin )c sinos cosAC BCB− = ，.. ..........3 分
所以 sin(2sin )icos snBCB AA = + = ，...．.. ..... ........ .... ...........5 分
因为sin 0A ，cos 1
2B = 所以 3B = 。... ....．.... ........... ..........6 分
(II)由正弦定理得： sin sin
ab
AB= ，... ....．. ..... ..... ..................7 分
所以 sin 1sin = 2
aBA b= ，... ....．. ..... ..... .......... ... ..........8 分
因为 ab ，所以 6A = .... ....．. ..... ..... .......... ... ..........10 分
大连市高三二模文科答案 2 / 6
1 1 3sin 1 3sin90 =2 2 2S ab C= = ...．. ..... ..... .......... .. ......12 分
(18)(本小题满分 12 分)
解：（Ⅰ）因为 PD DC⊥ ，AD DC⊥ ，直二面角 P DC B−−的平面角为 90PDA=，
则 PD ⊥ 平面 ABCD， BC 平面 ，所以 PD BC⊥ ．
又在平面四边形 ABCP 中，连接 BD ，由已知数据易得 BD BC⊥ ，而 PD BD D= ，
BD 平面 PBD ， PD 平面 PBD ，故 BC ⊥ 平面 PBD ，因为 BC 平面 PBC ，
所以平面 PBD ⊥平面 PBC ．．. . .......... ..... .......... .. ......6 分
(II) 由（Ⅰ）知 , 2, 2 2AD AB AD AB BD⊥ = = = ，由（Ⅰ）知 PD BD⊥ ，所以
23PB = ， ， 22BC = .... ..... .......... .. ....... ......8 分
112 2 2 2 232P BDCV − = ， 112 3 2 232D BPCVh− = ，...... .. ..10 分
因为 P BDC D BPCVV−−= ，所以 26
3h = ，
即点 D 与平面 的距离为 26
3
．......... ..... .......... .. ......12 分
(19)(本小题满分 12 分)
解：（Ⅰ）分数在[120,130) 内的频率为：
1 (0.1 0.15 0.15 0.25 0.05) 0.3− + + + + = 。..... 2 分
补全的频率分布直方图（如右图）。...... ..... 3 分
(II) 95 0.1 105 0.15 115 0.15 125 0.3 130 0.25 145 0.05 121x = + + + + + =
. ......... ..... . ..... .... . ..... .......... . ..... ..... .. ......5 分
(Ш)由题意，在[110,120) 分数段的人数为60 0.15 9=，在 分数段的人数为
60 0.3 18=，因为用分层抽样方法在分数段[110,130) 的学生中抽取一个样本容量为 6
的样本，所以需 分数段抽取 2 人，记为 12,aa，需[120,130) 分数段抽取 4 人，
.. . ...... ....... .... ........ .... .......... . ..... ..... .. ......7 分
记为 1 2 3 4, , ,b b b b ，则抽取两人的样本空间为：
大连市高三二模文科答案 3 / 6
1 2 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3
2 4 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 2 4
( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),
( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , )
a a a b a b a b a b a b a b a b
a b b b b b b b b b b b b b
共 15 个。
.. . ...... ....... .... ....... .... .......... . ..... ..... .. ......10 分
至多有 1 人在分数段[120,130)内样本空间 A 为：
1 2 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 2 4( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),a a a b a b a b a b a b a b a b a b 共 9 个
.. . ...... ...... .... ........ .... .......... . ..... ..... .. ......11 分
93() 15 5PA==.. .... ... ............ .......... . ..... ..... .. ......12 分
(20) （本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）因为 ()fx的定义域为(0, )+ ，所以 ( ) ln 2f x x a = + − ，... ....... 2 分
所以 在 2(0, )ae − 上单调递减，在 2( , )ae − + 上单调递增. .... .. ......... 4 分
(II)方法一：若 2 1ae − ，则 2a ，
由（Ⅰ）知 22
min( ) ( ) 1aaf x f e a e−−= = + − ，.. .. . . . .. . . .. . . ..... .6 分
因为不等式 ( ) 1fx 恒成立，所以 2 0aae−−.. . ...... ....... . . ..... .7 分
令 2( ) ( 2)xg x x e x−= − ， 2( ) 1 0xg x e − = − ， ()gx在(2, )+ 为减函数，... .9 分
2(3) 3 0, (4) 4 0g e g e= − = − .因为整数 a ，所以 max 3a = .
当 2a 时，因为求整数 的最大值，所以舍。所以 .. .... . . . ...12 分
方法二：若 1x ，不等式 恒成立，即 ln ( 1) 0x x a x a− − + 恒成立，
令 =xe，则 ( 1) 0e a e a− − + ，所以 2
1
ea e −
，因为整数 ，所以 .
.. .. . . . .. . . .. .. . . . .. . . .. . . . . .. . . .. . . ..... .7 分
下面证明： ln 2 3 0( 1)x x x x− + 恒成立. . .. . . . .. . . ..... .9 分
令 ( ) ln 2 3 0g x x x x= − + ， ( ) ln 1g x x =−.
所以 ()gx在 (1, )e 上单调递减，在 ( , )e + 上单调递增. .. . . ..... .10 分
大连市高三二模文科答案 4 / 6
( )min ( ) 3 3 0g x g e= = − ，所以 max 3a = .. .... . . .... . . ..... ...12 分
方法三：
不等式可化为 (1 ln )
1
xxa x
+ − .设 (1 ln )() 1
xxhx x
+= −
， 2
ln 2() ( 1)
xxhx x
−− = − ....... 5 分
设 ( ) ln 2g x x x= − − ，当 1x 时， 11( ) 1 0xgx xx
− = − = ，
则 ()gx在(1, )+ 单调递增. . ．．. . ... ... ....... .......... .. ......6 分
又 (3) 1 ln 3 0g = − ， (4) 2 ln 4 0g = − ，则 在 (3,4) 存在唯一零点 0x 满足
0 0 0( ) ln 2 0g x x x= − − = ，. .. .... ... .... . ...... ....... .. ......8 分
则当 0(1, )xx 时， ()hx 单调递减，当 0( , )xx + 时， 单调递增，则
00
0
0
(1 ln )( ) ( ) 1
xxh x h x x
+=− .. ... .... . ...... ....... .... .. ......9 分
又因为 00ln 2 0xx− − = ，则 00
00
0
( 1)() 1
xxh x xx
−==−
，因为 0 (3,4)x ，则
0( ) (3,4)a h x，则整数 a 的最大值为3... .. .... . . .... . .......12 分
(21)（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）由题意可得： 2
2
c
a = ， 1b = ， 2 2 2a b c=+，联立解得 2a = ， 1bc==.
所以椭圆C 的方程为：
2
2 12
x y+=.. .......... ....... .......... .. ......4 分
(II)设 1 1 2 2( , ), ( , )C x y D x y ，联立方程组 2
2 12
x ty m
x y
=+ +=
化简得 2 2 2( 2) 2 2 0t y tmy m+ + + − = ；
大连市高三二模文科答案 5 / 6
2 2 2 2 2 24 4( 2)( 2) 4(2 2 4) 0t m t m m t = − + − = − − − ，
2
1 2 1 222
22,22
tm my y y ytt
−−+ = =++
；. .......... . . ．．. . ....... ............6 分
设 ( , ), (0, )N N MN x y M y ，直线 AC： 1
1
11 yyxx
−−=
直线 BD： 2
2
11 yyxx
++= ；. . ．．. . ........... . ．. . ...............7 分
÷得 12
12
1 1
11
N
N
y yx
y x y
− −=++
，因为 22
22
1111,2 0 0 2BD AD
yykk xx
−+ = − = −−−
，......9 分
所以 22
22
121
xy
yx
−=−+
。
所以 1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 ( 1)( 1)211
N
N
y y x y y tm
y x y x x t m
− − − − += = − =+ + −
，...... ..............10 分
所以 N
ty m=− 又因为 M
my t=− ，
( )( ) 1MN
mtOM ON y y tm = = − − = ．. ........ ....... .......... .. ......12 分
(22)（本小题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程
解：（Ⅰ）由 sin( ) 3 24
+= ，得 22sin cos 3 222 +=，......... . .....2 分
将 sin y= ， cos x= 代入上式，
得直线l 的直角坐标方程为 60xy+ − = . ．．. . ....... .......... . .....4 分
由曲线C 的参数方程
2cos
3 sin
x
y
= =
，（ 为参数），
得曲线 的普通方程为
22
143
xy+=. . ．．. . ....... .......... .. ......5 分
大连市高三二模文科答案 6 / 6
(II)设点 M 的坐标为(2cos , 3sin )，则点 到直线l ： 60xy+ − = 的距离为
2cos 3sin 6 7 sin( ) 6
22
d
+ − + −
==（其中 23tan 3 = ）.. ....... ...8 分
当sin( ) 1+ = − 时， d 取最大值，且 的最大值为 14+6 2
2 .. ．．. . . . ......10 分
(23)（本小题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲
解：（Ⅰ）由题意 ( )=2 | 1| 2f x x −，所以解集为： 1,2 . ．．. . . . .. ......5 分
(II)因为 ( ) | | | 2 | | ( ) ( 2 ) | | 2 |f x x a x b x a x b a b= − + + − − + = + ，. . . .. ......6 分
当且仅当( )( 2 ) 0x a x b− + 时，取到最小值| 2 |ab+ ，即| 2 | 2ab+=，
因为 0ab ，故| | | 2 | 2ab+=， 2 1 2 1
a b a b+ = + ，... .. ..........8 分
所以 2 1 1 2 1 1 2 12 (| | | 2 |)22aba b a b a b
+ = + − = + +
1 4 1 44 4 2 42 2 2
b a b a
a b a b
= + + + − =.
当且仅当 4ba
ab= ，且 ，即 1a = ， 1
2b = 或 1a =− ， 1
2b =− 时，等号成立.
所以 21
ab+ 的最小值为 4. .... .......... .... .... .. ......... .. .....10 分
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