高三数学试题
2020．6
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷 1-3 页，第Ⅱ卷 3-6 页，共 150
分，测试时间 120 分钟。
注意事项：
选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上。
第Ⅰ卷(共 60 分)
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．若全集 则集合 等于
2．已知实数 x，y 满足 则“ 是 ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．欧拉公式 ，把自然对数的底数 e，虚数单位 i，三角函数 和
联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数 z 满足 则 | z | =
A． 5 B. 2 D．3
4．设 若 则 a 与 c 的夹角余弦值为
5．已知 α 终边与单位圆的交点 则
的值等于
A.9
5 B.7
5 C.6
5 D．3
6．某中学共有 1000 人，其中男生 700 人，女生 300 人，为了了解该校学生每周平均体育锻
炼时间的情况以及经常进行体育锻炼的学生是否与性别有关(经常进行体育锻炼是指：周平
均体育锻炼时间不少于 4 小时)，现在用分层抽样的方法从中收集 200 位学生每周平均体育
{1,2,3,4,5,6 {1,3,4} {2,3,4},}U M N= = =， ， UUC M NC
.{5,6}A {1,5,6}B .{2,5,6}C {1 2 5 6}.D ，，，
1, 0,x y> > x y
cos sinie iθ θ θ= + cosθ sinθ
( ) 1ie z i iπ − ⋅ = +
.2 2C
( ) ( )1,3 , 1,1 , k= − = = +a b c a b ,⊥b c
5 2 5 2 2 2. . . .5 5 3 3A B C D
3,- ), sin cos 05P x α α⋅ >（ 且 1 sin 2 2 2cos2α α− + +锻炼时间的样本数据(单位：小时)，其频率分布直方图如图．已知在样本数据中，有 40 位
女生的每周平均体育锻炼时间超过 4 小时，根据独立性检验原理
A．有 95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”
B．有 90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”
C．有 90%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”
D．有 95%的把握认为“该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”
附：
,其中 .
的展开式的各项系数和为-32，则该展开式中含 x9 项的系数是
A．-15 B．-5 C．5 D．15
8．已知函数 f(x)的定义域为 R，且 则不等式 解
集为
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分.
9．若正实数 a，b 满足 则下列说法正确的是
A．ab 有最大值1
4 有最大值 2
C.1
a+1
b有最小值 2 有最大值1
2
10．直线 与圆 C： 相交于 A、B 两点，则 AB 长度为
( )
( )( )( )( )
2
2 n ad bcK a c b d a d b c
−= + + + + n a b c d= + + +
2 57 ( ). x x a− −
( ) ( ) ( )01 , 0 2,f x f x f′+ < =< ( ) 1 3 xf x e+ >
. 1, )(A +∞ .( ,1)B −∞ ). ,(0C +∞ .( ,0)D −∞
1a b+ =
B a b+
2 2.D a b+
1y kx= − ( ) ( )2 23 3 36x y+ + − =A．6 B．8 C．12 D．16
11．CPI 是居民消费价格指数 的简称.居民消费价格指数是一个
反映居民家庭一般所购买的消费品价格水平变动情况的宏观经济指标.如图是根据国家统计
局发布的 2019 年 ——2020 年 4 月我国 CPI 涨跌幅数据绘制的折线图(注：2019 年 6 月
与 2018 年 6 月相比较，叫同比；2019 年 6 月与 2019 年 5 月相比较，叫环比)，根据该折线
图，则下列结论正确的是
A．2019 年 4 月至 2020 年 4 月各月与去年同期比较，CPI 有涨有跌
B．2019 年 4 月居民消费价格同比涨幅最小，2020 年 1 月同比涨幅最大
C．2020 年 1 月至 2020 年 4 月 CPI 只跌不涨
D．2019 年 4 月至 2019 年 6 月 CPI 涨跌波动不大，变化比较平稳
12．抛物线 的焦点为 F，P 为其上一动点，设直线 l 与抛物线 C 相交于 A，B 两
点，点 下列结论正确的是
A． | P M | + | PF | 的最小值为 3
B．抛物线 C 上的动点到点 的距离最小值为 3
C．存在直线 l，使得 A，B 两点关于 对称
D．若过 A、B 的抛物线的两条切线交准线于点 T，则 A、B 两点的纵坐标之和最小值为 2
第Ⅱ卷(共 90 分)
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．已知双曲线 C 过点 且与双曲线 有相同的渐近线，则双曲线 C 的
标准方程为▲
( comsummer priceindex)
4月
2 4C x y=：
( )2 2 ,M ，
( )0,3H
3 0x y+ − =
( )2 3, 1 ,−
2 2
112 6
x y− =14．已知 f(x)为奇函数，当 时 则曲线 在 处的
切线方程是▲
15．声音是由物体振动产生的声波，其中纯音的数学模型是函数 ,已知函数
的图像向右平移π
3个单位后，与纯音的数学模型函数
图像重合，则 φ=▲,若函数 是减函数，则 a 的最大值是▲.(本题
第一空 2 分，第二空 3 分)
16．《九章算术》中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点
与相对的棱剖开，得到一个阳马(底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个
鳖臑(四个面均为直角三角形的四面体)．在如图所示的堑堵 中，
且有鳖臑 C1-ABB1 和鳖臑 ,现将鳖臑
沿线 BC1 翻折，使点 C 与点 B1 重合，则鳖臑 经翻折后，与鳖臑
拼接成的几何体的外接球的表面积是▲.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．(本小题满分 10 分)
已知 D 是 边 AC 上的一点 面积是 面积的 3 倍，
(1) 若∠ABC=π
2 ，求sinA
sinC的值；
(2) 若 BC= 2，AB=3，求边 AC 的长。
18. (本小题满分 12 分)
给出以下三个条件:
① 数列{an}是首项为 2,满足 Sn+1=4Sn+2 的数列;
② 数列{an}是首项为 2,满足 3Sn= =22n+1+λ(λ∈R)的数列;
0x < 3, ( ) 2 ,xf x ex e−= + ( )y f x= ( )( )1, 1f
siny A tω=
( ) ( )( )2cos 2f x x ϕ π ϕ π= + −
n 22siy x= ( ) [ ],f x a a−在
1 1 1ABC A B C−
1 2 3, 2, 4,BB BC AB AC= = = = 1C ABC−
1C ABC− 1C ABC−
1 1C ABB−
ABC∆ , ABD∆ BCD∆
2 2 .ABD CBD θ∠ = ∠ =③ 数列{an}是首项为 2,满足 3Sn =an+1- 2 的数列..
请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整,并求解。
设数列{an}的前 n 项和为 与 Sn 满足▲
记数列 ,求数列{ }的前 n 项和 Tn;
(注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
19．(本小题满分 12 分)
如图，已知平面 平面 ABC，直线 平面 ABC，且 .
(1)求证 DA∥平面 EBC；
(2)若 ， 平面 BCE，求二面角 的余弦值.
20．(本小题满分 12 分)
已知椭圆 C ： 与圆 相交于 M，N，P，Q 四点,四边
形 MNPQ 为正方形，△PF1F2 的周长为
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)设直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点 若直线 AD 与直线 BD 的斜率之积为1
6，
证明：直线恒过定点.
21．(本小题满分 12 分)
已知函数
(1)若 时 上的最小值是5
4-ln2，求 a;
(2)若 ，且 x1，x2 是 的两个极值点，证明： (其
中 e 为自然对数的底数
,n nS a
2
2 1 2 2 2
1
log log log ,n n n
n n
n nb a a a c b b +
+= + + + = nc
BCE ⊥ DA ⊥ DA AB AC= =
3BAC
π∠ = PE ⊥ A BD E− −
( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > 2 2 24
3x y b+ =
( )2 2 1 .+
( ), 0, 1 ,D −
( ) ( )21 ln 2 04f x x ax a x a= − + ≠
0a < ( )1f x [1, ]e在
a e≥ ( )f x ( ) ( ) ( )2 2
1 2 1 2
1 22f x f x x x e+ < + −
, 2.71 ).e ≈ 22．(本小题满分 12 分)新能源汽车已经走进我们的生活，逐渐为大家所青睐.现在有某品牌
的新能源汽车在甲市进行预售，预售场面异常火爆，故该经销商采用竞价策略基本规则是：①
竞价者都是网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与竞价的总人数；②竞价
采用“一月一期制”，当月竞价时间截止后，系统根据当期汽车配额，按照竞价人的出价从高
到低分配名额.某人拟参加 2020 年 6 月份的汽车竞价，他为了预测最低成交价，根据网站的
公告，统计了最近 5 个月参与竞价的人数(如下表)
(1)由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞价人数 y(万人)与月份编号 t 之间的
相关关系.请用最小二乘法求 y 关于 t 的线性回归方程： ,并预测 2020 年 6 月份
(月份编号为 6)参与竞价的人数；
(2)某市场调研机构对 200 位拟参加 2020 年 6 月份汽车竞价人员的报价进行了一个抽样调
查，得到如表所示的频数表：
(i)求这 200 位竞价人员报价的平均值 和样本方差 s2(同一区间的报价用该价格区间的中点
值代替)
(ii)假设所有参与竞价人员的报价 X 可视为服从正态分布 且 μ 与 σ2 可分别由(i)
中所示的样本平均数 及 s2 估计．若 2020 年月 6 份计划提供的新能源车辆数为 3174，根据
市场调研，最低成交价高于样本平均数 ，请你预测(需说明理由)最低成交价.
参考公式及数据：
① 回归方程 ,其中
③若随机变量 X 服从正态分布 则
ˆ bty a= +
x
( )2, ,N µ σ
x
x
y bx a= + 1
2 2
1
, ;
n
i i
i
n
i
i
x y nxy
b a y bx
x nx
=
=
−
= = −
−
∑
∑
5 5
2
1 1
55, 18.8, 6.8 2.6;i i i
i i
t x y
= =
= = ≈∑ ∑②
( )2, ,N µ σ.
( ) ( )0.6826, 2 2 0.9544,P X P Xµ σ µ σ µ σ µ σ− < < + = − < < + =
( )3 3 0.9974P Xµ σ µ σ− < < + =
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