湖南省邵阳市2020届高三数学（理）第三次联考试题（扫描版含答案）

12345 2020 届邵阳市高三第三次联考 数学（理）参考答案及评分标准 一、选择题：本大题有 12 个小题，每小题 5 分，满分 60 分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D D C B D D B A B A A 二、填空题：本大题有 4 个小题，每小题 5 分，满分 20 分． 13．121 14． 15． 16．①②③④ 三、解答题：本大题有 6 个小题，满分 70 分． 17．（12 分） 解：（1） ， ， .………………1 分 由 及正弦定理得， ． ………………2分 ， ． ………………3分 ，即 ，即 ． ……4 分 ． ． ． ………………6 分 （2）由余弦定理得： ， ， ， ， （当且仅当 时取等号）， ………………9 分 S△ABC= （当且仅当 时取等号）， △ABC 面积的最大值为 ． ………………12 分 18．（12 分） 解：（1）△DAC 中， ， △ADC 为等边三角形且 AC= ． 又 ， △ABC 为等腰直角三角形． ………………………2 分 取 AC 中点 O，连 OB，OD， ， ． △DOB 中，OB= ，OD= ，DB = DA =2 ． ， ． ………………………4 分 3 2 − 4 S π 3 1 2 3π + A B C π+ + = 2 2 2 A C Bπ+∴ = − cos sin2 2 A C B+∴ = 23 sin 2 cos 2 A Cb C c += 23sin sin 2sin sin 2 BB C C= sin 0C ≠ 23sin 2sin 1 cos2 BB B∴ = = − 3sin cos 1B B∴ + = 2sin 16B π + =   1sin 6 2B π + =   0 B π< 2，则当 及 时 ，f (x)单调递增． 当 (1-a，-1)时， ， 单调递减． ……………4 分 综上，当 a=2 时， 在 上单调递增；当 a2 时， 在 ， 上单调递增，在(1-a，-1) 上单调递减． ………………5 分 （2）由题意知 ， ，故 ．…………6 分 欲证当 时， ． 当 时， ， ． 只需证： ，即 在 上恒成立． ……………7 分 设 ，则 ． 设 ，则 ． 故当 时， ， 单调递增． ……………8 分 又 ， ． 有且只有一个根 ，且 2< x∈ ( ) 0f x′ < ( )f x ( )f x ( , )−∞ +∞ ( )f x ( , 1)−∞ − (1 , )a− +∞ ( )f x ( ,1 )a−∞ − ( 1, )− +∞ (1) 2 3 6( 1) 5f a a= + + − = 1a∴ = 3 2( ) 2 3f x x x= + 1x > 2 (ln 1) ( )mx x f x+ ≤  1x > 2 1x > ln +1>1x ∴ 2 ( ) (ln 1) f xm x x ≤ + 2 3 ln 1 xm x +≤ + (1, )+∞ 2 3( ) ( (1, ))ln 1 xh x xx += ∈ +∞+ 2 2 1 32(ln 1) (2 3) 2ln ( ) (ln 1) (ln 1) x x xx xh x x x + − + × − ′ = = + + 3( ) 2lnx x x ϕ = − 2 2 3( )x x x ϕ′ = + x∈ (1, )+∞ ( ) 0xϕ′ > ( )xϕ 3 ln16 3(2) 2ln 2 02 2 ϕ −= − = < 3( ) 2 0e e ϕ = − > ( ) 0h x′∴ = 0x 0x 0 0 32ln x x = ∴ 0(1, )x ( ) 0h x′ < 0( ,+ )x ∞ ( ) 0h x′ > ∴ 0 0 0 0 0 0 2 3 2 3( ) 2 43ln 1 12 x xh x xx x + += = = >+ + 4m > ∴ = = + + ≥ ⋅ + = 2 1,3 3b c= =  x R∈ 0, 0b c> > 24( ) b cf x bc += | 1| 5a∴ + ≥ 6 4.a a≤ − ≥或 ∴ ( ] [ ), 6 4, .−∞ − +∞