湖南省邵阳市2020届高三数学（文）第三次联考试题（扫描版含答案）

12345 2020 届邵阳市高三第三次联考 数学（文）参考答案及评分标准 一、选择题：本大题有 12 个小题，每小题 5 分，满分 60 分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D C C A D D C A C C B 二、填空题：本大题有 4 个小题，每小题 5 分，满分 20 分． 13． 14． 15． ， 16．①③ 三、解答题：本大题有 6 个小题，满分 70 分． 17．（12 分） 解：（1）由茎叶图可知，茎为 8 时，甲班学生成绩对应数据只能是 83，80+x，86； ∵甲班学生成绩众数是 83，∴83 出现的次数最多，可知 x=3．…………3 分 又乙班学生的平均分是 86，总分等于 86×7=602，∴597+y=602，∴y=5．…6 分 （2）总基本事件共 12 个，A 事件包括（85，85），（92，85），（92，91），（92， 91 ） ， （ 96 ， 85 ） （ 96 ， 91 ） ， （ 96 ， 91 ） ， （ 96 ， 96 ） 等 8 个 基 本 事 件 ． ∴ ． ……………………………12 分 18．（12 分） 解：（1）∵ ， ∴ ． ……………………………1 分 ∴ ． ∴ ． ∴ 是首项为 3，公比为 的等比数列． ……………………………4 分 ∴ ，故 ． ……………………………6 分 1 ,33      3 2 − ( ) 4 SP D π= 1 3 3 2π+ 8 2( ) 12 3P A = = 1 11,3 4 0n na a a+= − + = 1 1 4 3 3n na a+ = − 1 1 22 03 3n na a+ + = + ≠ 1 2 1 2 3 n n a a + + =+ { }2na + 1 3 112 3 3 n na − + = ×   21 23 n na − = −  6 （2）由（1）得 ……………………………8 分 ∴ ． ……………………………12 分 19．（12 分） 解：（1）假设存在 ，使 C1O∥平面 AB1D1，设 A1C1∩B1D1=O1． 连结 AO1，则平面 A1ACC1∩平面 AB1D1=AO1， 且 C1O 平面 ，∴AO1∥C1O， 由于 O1 为 A1C1 的中点，∴O 必为 AC 的中点， ……………………………5 分 故存在 O 为 AC 的中点，使 C1O∥平面 AB1D1， 为所求．…………………6 分 （2）∵ABCD-A1B1C1D1 为正方体，∴AA1⊥平面 A1B1C1D1，D1O1 平面 A1B1C1D1． ∴AA1⊥D1O1．又 D1O1⊥A1C1，A1C1，AA1 为平面 A1ACC1 内的两条相交直线， ∴D1O1⊥平面 ，∴∠D1AO1 为直线 D1A 与平面 所成的角． ………9 分 ∵B1D1⊥AO1，且 D1O1= = ，∴∠D1AO1=30°为所求． …………12 分 20．（12 分） （1）将 y=2p 代入 x2=2py，得 x=±2p， ∴|PQ|=|2p-(-2p)|=4p=8 (p>0)， ∴p=2， 故抛物线 C 的方程为 x2=4y． ………………5 分 （2）由题意设直线 l 的方程为 ． 由 得 ， 设 ， ，则 x1+x2=4k，y1+y2=kx1+1+ kx2+1=4k2+2， ∴|AB|= y1+y2+p=4k2+4， 2 2 2 3 1 1 12 log3 3 3 n n n nb n − − −     = − + = −           1 0 21 1 1... (1 2 ... )3 3 3 n nS n − −     = + + + − + + +           13 1 ( 1) 9 ( 1) 93 1 2 2 22 31 3 n n n n n n  −  + + = − = − − + ×− O AC∈ ⊂ 1 1A ACC 1AO OC = ⊂ 1 1A ACC 1 1A ACC 1 1 1 2 B D 1 1 2 AD 1( 0)y kx k= + ≠ 2 4 , 1, x y y kx  = = + 2 4 4 0x kx− − = 1 1( )A x y， 2 2( )B x y，7 线段 AB 的中点为（2k，2k2+1）， ∴线段 AB 的垂直平分线方程为 ． 令 x=0，得 ，∴ ． 设 E(0，t)，则|DE|=|2k2+3-t| ∴ ，当且仅当 3-t=2，即 t=1 时， ． ∴E(0，1)为所求． ………………12 分 21．（12 分） 解（1） ， ………………1 分 ， ………………2 分 令 ，则 ． ………………4 分 ． ∴ 在直线 y=ax 上． ………………6 分 （2）令 得 作出 ， 与 y=a 的草图． 或 时，f (x)无极值点； 时，f (x)有一个极值点； 或 时，f (x)有一个极值点. ……………12 分 22．（10 分） 解：（1）由 曲线 C 的普通方程为 ……………3 分 2 12 1 ( 2 )y k x kk − − = − − 22 3y k= + 2(0 2 3)D k +， 2 2 4 4 2 3 AB k DE k t += + − 2AB DE = ( ) 3cos sinf x a x x′ = + + ( ) 3sin cosf x x x′′ = − + ( ) 0f x′′ = 0 03sin cos 0x x− + = 0 0 0 0 0( ) 3sin cosf x ax x x ax= + − = 0 0( , ( ))M x f x ( ) 0f x′ = 2sin 3a x π = − +   2sin 3y x π = − +   (0,2 )x π∈ 2a ≥ 2a ≤ − 3a = − 2 3a− < < − 3 2a− < < 1 2 cos , 1 2 cos , 1 2 sin 1 2 sin x x y y θ θ θ θ  = + − =   = + − =   得 2 2( 1) ( 1) 2.x y∴ − + − = ∴ 2 2( 1) ( 1) 2.x y− + − =8 由 直线 l 的直角坐标方程为 ……………5 分 （2）化曲线 C 的方程为极坐标方程： 联立直线 l 的极坐标方程 ……………6 分 消去 得： 设 P，Q 两点所对应的极径分别为 ， 则（ ）2=4. ……………9 分 |OP|·|OQ|=| |=2. ……………10 分 23．解：（1）当 a=1 时， 当 时，不等式 化为 .解得 …………2 分 当 时，不等式 化为 .解得 无解. …………3 分 当 时，不等式 化为 .解得 ……………4 分 综上得：不等式 的解集为 ……………5 分 （2） 函数在 上为减函数，在 上为增函数， ……………6 分 （当且仅当 时取等号）. ……………8 分 对任意 ,都有 ,使得 ， ， 解得： ……………9 分 实数 a 的取值范围为 ……………10 分 说明：解答题用其他方式解答，请参照给分. 2 cos( ) 1. cos sin 1, cos , sin .4 x y πρ θ ρ θ ρ θ ρ θ ρ θ+ = − = = =得 而 ∴ 1 0.x y− − = 2cos 2sin .ρ θ θ= + cos sin 1.ρ θ ρ θ− = θ 4 28 4 0.ρ ρ− + = 1ρ 2ρ 1ρ 2ρ ∴ 1ρ 2ρ ( ) | 1| 2 | 1|.f x x x= + + − 1x ≤ − ( ) 4f x ≥ 3 1 4x− + ≥ 1. 1.x x≤ − ∴ ≤ − 1 1x− < < ( ) 4f x ≥ 3 4x− + ≥ 1.x ≤ − 1x ≥ ( ) 4f x ≥ 3 1 4x − ≥ 5 5. .3 3x x≥ ∴ ≥ ( ) 4f x ≥ ( ] 5, 1 , .3  −∞ − ∪ +∞  ( ) | 1| 2 | |. .f x x x a a R= + + − ∈ ∴ ( ),a−∞ ( ),a +∞ ( ) ( ) | 1|.f x f a a∴ ≥ = + 2 24 ( ) 4 4 41, 0, 0 1 2 1 5.b c b b c c b c b cb c b c bc bc c b c b + ⋅ + ++ = > > ∴ = = + + ≥ ⋅ + = 2 1,3 3b c= =  x R∈ 0, 0b c> > 24( ) b cf x bc += | 1| 5a∴ + ≥ 6 4.a a≤ − ≥或 ∴ ( ] [ ), 6 4, .−∞ − +∞