江西省重点中学协作体2020届高三数学（文）第一次联考试题（Word版含答案）

江西省重点中学协作体 2020 届高三第一次联考 数学(文科)试卷 满分：150 时间：120 分钟 一、选择题：本小题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.已知全集 I＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，2，3，4}，B＝{3，4，5，6}，则( A)∩ ( B)＝ A.{7，8} B.{3，4} C.{3，4，7，8} D.{5，6} 2.已知复数 z 满足(1＋i)＝z(2＋i)，则|z|＝ A. B. C. D. 3.下列命题中，是假命题的是 A.若 · ＝ · ，则 ⊥( － ) B. x∈R，x2－3x＋3>0 C.函数 f(x)＝|sinx＋cosx|的最小正周期为 2π D. ＝3 4.下图中，样本容量均为 9 的四组数据，它们的平均数都是 5，条形统计图如下，则其中标准 差最大的一组是 5.已知单位圆上第一象限一点 P 沿圆周逆时针旋转 到点 Q，若点 Q 的横坐标为－ ，则点 P 的横坐标为 A. B. C. D. 6.函数 y＝exsinx 的大致图像为 I I 10 3 2 5 10 5 10 6 a b a c a b c ∀ 2log 32 3 π 1 2 1 3 1 2 2 2 3 27.程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作。 卷八中第 33 问：“今有三角果一垛，底阔每面七个。问该若干?”如图是解决该问题的程序框 图。执行该程序框图，求得该垛果子的总数 S 为 A.28 B.56 C.84 D.120 8.已知平面向量 ， 满足| |＝| |＝1， · ＝ ，若 ＝ ( ＋ )， ＝λ ＋(1－λ) ， (λ∈R)，则 · 的值为 A. B. C. D.与 λ 有关 9.已知双曲线 C： ，F(c，0)为双曲线的右焦点，过 M( ，0)作斜率为 2 的 直线与双曲线的两条渐近线分别交于 A，B 两点，若 F 为△OAB 的内心，则双曲线方程为 A.x2－4y2＝1 B. C. D. a b a b a b 1 2 c 1 2 a b d a b c d 1 3 3 2 3 4 2 2 2 1( 0)yx bb − = > 3 2 c 2 2 12 yx − = 2 2 13 yx − = 2 2 14 yx − =10.已知函数 f(x)是定义在 R 上的单调减函数且为奇函数，数列{an}是等差数列，且 a1010>0， 则 f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2018)＋f(a2019)的值 A.恒为负数 B.恒为正数 C.恒为 0 D.可正可负 11.已知 a＝3e，b＝e3，则下列选项正确的是 A.a>b B. C. D. 12.已知直角三角形 ABC 中 AC＝1，BC＝ ，斜边 AB 上两点 M，N，满足∠MCN＝30°， 则 S△MCN 的最小值是 A. B. C. D. 二、填空题： 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13. 。 14.已知 f(x)＝ ，若 f(2a)>a，则实数 a 的解集是 。 15.已知直线 y＝kx－1 与焦点在 x 轴上的椭圆 C： 总有公共点，则椭圆 C 的离心率取值范围是 。 16.已知三棱锥 P－ABC 中，满足 PA＝BC＝1，PC＝AB＝ ，AC＝2，则当三棱锥体积最大 时，直线 AC 与 PB 夹角的余弦值是 。 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题：共 60 分。 17.(12 分) 某社会机构为了调查对手机游戏的兴趣与年龄的关系，通过问卷调查，整理数据得如下 2×2 列联表： a bln e2 + < 2ln eab a b >+ lna lnb e2 + < 3 3 4 3 8 6 3 3 2 − 6 3 3 4 − cos15 sin15 ° =° 2x 2 x 0 1 , 0xx − ≥− 3(1)根据列联表，能否有 99.9%的把握认为对手机游戏的兴趣程度与年龄有关? (2)若已经从 40 岁以下的被调查者中用分层抽样的方式抽取了 5 名，现从这 5 名被调查者中随 机选取 3 名，求这 3 名被调查者中恰有 1 名对手机游戏无兴趣的概率。 (注：参考公式： ，其中 n＝a＋b＋c＋d) 18.(12 分) 已知非零数列{an}满足 a1＝1， ； (1)证明：数列{ ＋1}为等比数列，并求{an}的通项公式； (2)求数列{ }的前 n 项和 Sn。 19.(12 分) 已知棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F，M，N 分别为棱 BB1，DD1D1C1 和 A1D 的中点。 (1)证明：MN//平面 EFC1； (2)求点 A1 到平面 EFC1 的距离。 20.(12 分) 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + n+1 n 1 2 1a a = + n 1 a n n a已知函数 f(x)＝sinx＋lnx－1。 (1)求函数 f(x)在点( ，ln )处的切线方程； (2)当 x∈(0，x)时，讨论函数 f(x)的零点个数。 21.(12 分) 已知圆 C：x2＋(y－1)2＝r2(r>1)，设点 A 为圆 C 与 y 轴负半轴的交点，点 P 为圆 C 上一点， 且满足 AP 的中点在 x 轴上。 (1)当 r 变化时，求点 P 的轨迹方程； (2)设点 P 的轨迹为曲线 E，M，N 为曲线 E 上两个不同的点，且在 M，N 两点处的切线的交 点在直线 y＝－2 上，证明：直线 MN 过定点，并求此定点坐标。 (二)选考题：请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22.[选修 4－4：坐标系与参数方程](10 分) 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 (t 为参数，α 为直线 l 的倾斜角)， 以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝2 sin(θ＋ )。 (1)写出曲线 C 的直角坐标方程，并求 α＝ 时直线 l 的普通方程； (2)若直线 l 和曲线 C 交于两点 A，B，点 P 的直角坐标为(2，3)，求|PA|＋|PB|的最大值。 23.[选修 4－5：不等式选讲](10 分) 已知 a，b，c∈R＋，且 a＋b＋c＝1。证明： (1) ； (2) 。 2 π 2 π x 2 tcos y 3 tsin α α = +  = + 2 4 π 3 π 1 1 4a b c + ≥+ 1 1 1 32 2 2a b b c c a + + ≥+ + +