北京市西城区2020届高三数学下学期二模试题（PDF版含答案）

北京市西城区 2020 年 6 月高三数学试卷 第 1 页(共 6 页) 西 城 区 高 三 模 拟 测 试 数 学 2020. 6 本试卷共 6 页, 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将条形码贴在答题卡规定 处, 并将答案写在答题卡上, 在试卷上作答无效。考试结束后, 将本试卷和答题卡一 并交回。 第 Ⅰ 卷 (选择题 共 40 分) 一、选择题: 本大题共10 小题, 每小题4 分, 共40 分. 在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项. 1 . 设全集U = R , 集合 A = {x |x < 2 }, B = {x |x < 1 }, 则集合 (∁U A )∪B = (A ) (- ¥,2 ) (B ) [2 , + ¥) (C ) (1 ,2 ) (D ) (- ¥,1 )∪[2 , + ¥) 2 . 设复数z = 1 + i , 则୵z 2 = (A ) - 2i (B )2i (C )2 - 2i (D )2 + 2i 3 . 焦点在x 轴的正半轴上, 且焦点到准线的距离为 4 的抛物线的标准方程是 (A )x 2 = 4y (B )y 2 = 4x (C )x 2 = 8y (D )y 2 = 8x 4 . 在锐角 △A B C 中, 若a = 2 , b = 3 , A = π 6 , 则 cosB = (A ) 3 4 (B ) 3 4 (C ) 7 4 (D )3 3 4 5 . 函数f (x )= x - 1x 是 (A ) 奇函数, 且值域为 (0 , + ¥) (B ) 奇函数, 且值域为 R (C ) 偶函数, 且值域为 (0 , + ¥) (D ) 偶函数, 且值域为 R北京市西城区 2020 年 6 月高三数学试卷 第 2 页(共 6 页) 6 . 圆x 2 + y 2 + 4x - 2y + 1 = 0 截x 轴所得弦的长度等于 (A )2 (B )2 3 (C )2 5 (D )4 7 . 设a ,b ,c 为非零实数, 且a > b > c , 则 (A )a - b > b - c (B ) 1a < 1b < 1c (C )a + b > 2c (D ) 以上三个选项都不对 8 . 设向量a ,b 满足 |a | = |b | = 1 , a ·b = 1 2 , 则 |a + xb | (x ∈R ) 的最小值为 (A ) 5 2 (B ) 3 2 (C )1 (D ) 2 9 . 设 {a n } 为等比数列, 则 “对于任意的 m ∈N * , a m + 2 > a m ”是 “{a n } 为递增数列”的 (A ) 充分而不必要条件 (B ) 必要而不充分条件 (C ) 充分必要条件 (D ) 既不充分也不必要条件 10 . 佩香囊是端午节传统习俗之一. 香囊内通常填充一些中草药, 有清香、驱虫、开窍的功 效. 因地方习俗的差异, 香囊常用丝布做成各种不同的形状, 形形色色, 玲珑夺目. 图 1 的 ▱A B C D 由六个正三角形构成. 将它沿虚线折起来, 可得图 2 所示的六面 体形状的香囊. 那么在图 2 这个六面体中, 棱A B 与C D 所在直线的位置关系为 图 1 图 2 (A ) 平行 (B ) 相交 (C ) 异面且垂直 (D ) 异面且不垂直北京市西城区 2020 年 6 月高三数学试卷 第 3 页(共 6 页) 第 Ⅱ 卷 (非选择题 共 110 分) 二、填空题: 本大题共5 小题, 每小题5 分, 共25 分. 11 . 在 (1 + 5x )6 的展开式中, x 的系数为 . 12 . 在等差数列 {a n } 中, 若a 1 + a 2 = 16 , a 5 = 1 , 则a 1 = ; 使得数列 {a n } 前n 项 的和S n 取到最大值的n = . 13 . 某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的表面积 为 . 14 . 能说明 “若 m (n + 2 )≠0 , 则方程x 2 m + y 2 n + 2 = 1 表示的曲 线为椭圆或双曲线”是错误的一组 m , n 的值是 . 15 . 已知函数f (x ) 的定义域为R , 满足f (x + 2 )= 2f (x ), 且当x ∈(0 ,2 ] 时,f (x )= 2 x - 3 . 有以下三个结论: ① f (- 1 )= - 1 2 ; ② 当a ∈(1 4 , 1 2 ] 时, 方程f (x )= a 在区间 [- 4 ,4 ] 上有三个不同的实根; ③ 函数f (x ) 有无穷多个零点, 且存在一个零点b ∈Z . 其中, 所有正确结论的序号是 .北京市西城区 2020 年 6 月高三数学试卷 第 4 页(共 6 页) 三、解答题: 本大题共6 小题, 共85 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤. 16 . (本小题满分 14 分) 如图, 在三棱柱 A B C - A 1 B 1C 1 中, C C 1 ⊥ 底面 A B C , A C ⊥B C , D 是A 1C 1 的 中点, 且 A C = B C = A A 1 = 2 . (Ⅰ) 求证: B C 1 ∥ 平面 A B 1 D ; (Ⅱ) 求直线B C 与平面A B 1 D 所成角的正弦值. 17 . (本小题满分 14 分) 已知函数f (x )= A sin (ωx + φ) (A > 0 , ω> 0 , 0 < φ< π 2 ) 同时 满足下列四个条 件中的三个: ① 最小正周期为 π; ② 最大值为 2 ; ③ f (0 )= - 1 ; ④ f (- π 6 )= 0 . (Ⅰ) 给出函数f (x ) 的解析式, 并说明理由; (Ⅱ) 求函数f (x ) 的单调递增区间.北京市西城区 2020 年 6 月高三数学试卷 第 5 页(共 6 页) 18 . (本小题满分 14 分) 随着科技的进步, 视频会议系统的前景愈加广阔. 其中, 小型视频会议软件格外受 人青睐. 根据调查统计, 小型视频会议软件下载量前 6 名的依次为 A , B , C , D , E , F . 在实际中, 存在很多软件下载后但并未使用的情况. 为此, 某调查公司对有视频 会议需求的人群进行抽样调查, 统计得到这 6 款软件的下载量W (单位: 人次) 与使用 量U (单位: 人次), 数据用柱状图表示如下: 定义软件的使用率t = U W , 当t ≥0. 9 时, 称该款软件为 “有效下载软件”. 调查公 司以调查得到的使用率t 作为实际中该款软件的使用率. (Ⅰ) 在这 6 款软件中任取 1 款, 求该款软件是 “有效下载软件”的概率; (Ⅱ) 从这 6 款软件中随机抽取 4 款, 记其中 “有效下载软件”的数量为 X , 求 X 的分 布列与数学期望; (Ⅲ) 将 (Ⅰ) 中概率值记为x % . 对于市场上所有小型视频会议软件, 能否认为这些软 件中大约有x % 的软件为 “有效下载软件”? 说明理由. 19 . (本小题满分 15 分) 设函数f (x )= axlnx , 其中a ∈R .曲线y = f (x ) 在点 (1 ,f (1 )) 处的切线经过点 (3 ,2 ). (Ⅰ) 求a 的值; (Ⅱ) 求函数f (x ) 的极值; (Ⅲ) 证明: f (x )> x e x - 2 e .北京市西城区 2020 年 6 月高三数学试卷 第 6 页(共 6 页) 20 . (本小题满分 14 分) 已知椭圆E : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 (a > b > 0 ) 经过点C (0 ,1 ), 离心率为 3 2 .O 为坐标原点. (Ⅰ) 求椭圆E 的方程; (Ⅱ) 设A ,B 分别为椭圆E 的左、右顶点, D 为椭圆E 上一点 (不在坐标轴上), 直线C D 交x 轴于点P , Q 为直线A D 上一点, 且O P→·O Q→= 4 , 求证: C ,B ,Q 三点共线. 21 . (本小题满分 14 分) 如图, 表 1 是 一 个 由 40 ×20 个 非 负 实 数 组 成 的 40 行 20 列 的 数 表, 其 中 a m ,n (m = 1 ,2 , …,40 ; n = 1 ,2 , …,20 ) 表示位于第 m 行第n 列的数. 将表 1 中每一 列的数都按从大到小的次序从上到下重新排列 (不改变该数所在的列的位置), 得到 表 2 (即b i ,j ≥b i + 1 ,j , 其中i = 1 ,2 , …,39 ; j = 1 ,2 , …,20 ). 表 1 表 2 a 1 ,1 a 1 ,2 … a 1 ,20 a 2 ,1 a 2 , 2 … a 2 ,20 … … … … a 40 ,1 a 40 , 2 … a 40 , 20 b 1 ,1 b 1 ,2 … b 1 ,20 b 2 ,1 b 2 , 2 … b 2 ,20 … … … … b 40 ,1 b 40 , 2 … b 40 , 20 (Ⅰ) 判断是否存在表 1 , 使得表 2 中的b i ,j (i = 1 ,2 , …,40 ;j = 1 ,2 , …,20 ) 等于 100 - i - j ? 等于i + 2 - j 呢? (结论不需要证明) (Ⅱ) 如果b 40 ,20 = 1 , 且对于任意的i = 1 ,2 , …,39 ;j = 1 ,2 , …,20 , 都有b i ,j - b i + 1 ,j ≥1 成立, 对于任意的 m = 1 ,2 , …,40 ; n = 1 ,2 , …,19 , 都有b m ,n - b m ,n + 1 ≥2 成立, 证明: b 1 ,1 ≥78 ; (Ⅲ) 若a i ,1 + a i ,2 + …+ a i ,20 ≤19 (i = 1 ,2 , …,40 ), 求最小的正整数k , 使得任给i ≥k , 都有b i ,1 + b i ,2 + …+ b i ,20 ≤19 成立.北京市西城区 2020 年 6 月高三数学参考答案 第 1页（共 7页） 西 城 区 高 三 模 拟 测 试 数学参考答案 2020.6 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分. 1．D 2．A 3．D 4．C 5. B 6. B 7. C 8. B 9. C 10. B 二、填空题：本大题共 5 题，每小题 5 分，共 25 分. 11． 30 12． 9 ，5 13． 4 5 4+ 14． 答案不唯一. 如 3m  ， 1n  15． ① ② 注：第 12 题第一问 3 分，第二问 2 分；第 15 题全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其他 得 3 分. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 85 分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 16．（本小题满分 14 分） 解：（Ⅰ）如图，连接 1A B . 设 1 1A B AB E ，并连接 DE . 由三棱柱 1 1 1ABC A B C ，得 1A E BE . ………… 2 分 又因为 D 是 1 1A C 的中点， 所以 1 //BC DE . ……………… 4 分 又因为 1BC  平面 1AB D ， DE  平面 1AB D ， 所以 1 //BC 平面 1AB D . ……………… 6 分 （Ⅱ）因为 1CC  底面 ABC ， AC BC ， 所以 CA ， CB ， 1CC 两两垂直，故分别以 CA ， CB ， 1CC 为 x 轴， y 轴， z 轴，如 图建立空间直角坐标系， ……………… 7 分 则 (0,0,0)C ， (0,2,0)B ， (2,0,0)A ， 1 (0,2,2)B ， (1,0,2)D ， 所以 1 ( 2,2,2)AB   ， 1 (1, 2,0)B D   ， (0, 2,0)BC   ， ……………… 8 分 D C A1 B1 C1 A B E yx z北京市西城区 2020 年 6 月高三数学参考答案 第 2页（共 7页） 设平面 1AB D 的法向量 ( , , )x y zn ， 由 1 0AB   n ， 1 0B D   n ，得 2 2 2 0, 2 0, x y z x y        令 1y  ，得 (2,1,1)n . ………………11 分 设直线 BC 与平面 1AB D 所成的角为 ， 则 6sin | cos , | | | 6| | | | BCBC BC          nn n ， 所以直线 BC 与平面 1AB D 所成角的正弦值为 6 6 . ……………… 14 分 17．（本小题满分 14 分） 解：（Ⅰ）若函数 ( )f x 满足条件③， 则 (0) sin 1f A    . 这与 π0, 0 2A    矛盾，故 ( )f x 不能满足条件③， 所以函数 ( )f x 只能满足条件①，②，④. ……………… 2 分 由条件①，得 2π π| |  ， 又因为 0  ，所以 2  . ……………… 4 分 由条件②，得 2A  . ……………… 5 分 由条件④，得 π π( ) 2sin( ) 06 3f      ， 又因为 π0 2   ，所以 π 3   . 所以 π( ) 2sin(2 )3f x x  . ……………… 8 分 （Ⅱ）由 π π ππ 2 π+2 3 22 2xk k ≤ ≤ ， kZ ， ……………… 10 分 得 5π ππ π+12 12xk k ≤ ≤ ， ……………… 12 分 所以函数 ( )f x 的单调递增区间为 5π ππ π+ ]12 12[k k , ， kZ . ……………… 14 分 （注：单调区间写成开区间亦可. ）北京市西城区 2020 年 6 月高三数学参考答案 第 3页（共 7页） 18．（本小题满分 14 分） 解：（Ⅰ）根据数据，可得软件 A，B，C，D，E，F 的使用率 A 91 0.996t   ， B 84 0.991t   ， C 69 0.985t   ， D 54 0.974t   ， E 64 0.969t   ， F 63 0.965t   . 所以软件 A，B，E，F 为“有效下载软件”. ……………… 2 分 记事件 M 为“在 6 款软件中任取 1 款，该款软件是有效下载软件”， ……… 3 分 则事件 M 的概率 4 2( ) 6 3P M   . ……………… 4 分 （Ⅱ）随机变量 X 的可能取值为 2，3，4. ……………… 5 分 则 2 2 4 2 4 6 C C 2( 2) C 5P X    ， 3 1 4 2 4 6 C C 8( 3) C 15P X    ， 4 4 4 6 C 1( 4) C 15P X    . …… 8 分 所以随机变量 X 的分布列为： X 2 3 4 P 2 5 8 15 1 15 ……………… 9 分 所以随机变量 X 的数学期望 2 8 1 82 3 45 15 15 3EX        . ……………… 10 分 （Ⅲ）不能认为大约有 %x 的软件为“有效下载软件”. ……………… 12 分 理由如下： 若根据这 6 款软件中“有效下载软件”的概率来估计所有软件中“有效下载软件”的 频率，即是用样本估计总体. 用样本估计总体应保证总体中的每个个体被等可能抽取. 但此次调查是“从有视频会议需求的人群”中做调查，且有针对性只选取“下载量排 名前 6 名”的软件，不是从所有软件中随机抽取 6 款作为样本. 故不能认为大约有 %x 的软件为“有效下载软件”. ……………… 14 分 19．（本小题满分 15 分） 解：（Ⅰ）由 ( ) lnf x ax x ，得 ( ) lnf x a x a   ， ……………… 2 分北京市西城区 2020 年 6 月高三数学参考答案 第 4页（共 7页） 则 (1) 0f  ， (1)f a  . 所以曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线为 ( 1)y a x  . ……………… 4 分 将点 (3,2) 代入切线方程，得 1a  . ……………… 5 分 （Ⅱ）由题意，得 ( ) lnf x x x ， ( ) ln 1f x x   . 令 ( ) 0f x  ，得 1 ex  . ……………… 7 分 随着 x 变化， ( )f x 与 ( )f x 的变化情况如下表所示： 所以函数 ( )f x 在 1(0, )e 上单调递减，在 1( ,+ )e  上单调递增. ……………… 9 分 所以函数 ( )f x 存在极小值，且极小值为 1 1( )e ef   ；函数 ( )f x 不存在极大值. ……………… 10 分 （Ⅲ）“ 2( ) e ex xf x   ”等价于“ 2ln 0e ex xx x    ”. ……………… 11 分 由（Ⅱ），得 1( ) ln ef x x x ≥- （当且仅当 1 ex  时等号成立）. ① 所以 2 1ln e e e ex x x xx x   ≥ . 故只要证明 1 0e ex x ≥ 即可（需验证等号不同时成立）. ……………… 12 分 设 1( ) e ex xg x   ， (0,+ )x   ，则 1( ) ex xg x   . ……………… 13 分 因为当 (0,1)x 时， 1( ) 0ex xg x    ；当 (1, )x  时， 1( ) 0ex xg x    ， 所以函数 ( )g x 在 (0,1) 上单调递减，在 (1,+ ) 上单调递增. 所以 ( ) (1) 0g x g ≥ （当且仅当 1x  时等号成立）. ② 因为①②两个不等式中的等号不同时成立， 所以当 (0, )x  时， 2( ) e ex xf x   . ……………… 15 分 x 1(0, )e 1 e 1( ,+ )e  ( )f x  0  ( )f x ↘ 极小值 ↗北京市西城区 2020 年 6 月高三数学参考答案 第 5页（共 7页） 20．（本小题满分 14 分） 解：（Ⅰ）由题意，得 1b  ， 3 2 c a  . ……………… 2 分 又因为 2 2 2a b c  ， ……………… 3 分 所以 2a  ， 3c  . 故椭圆 E 的方程为 2 2 14 x y  . ……………… 5 分 （Ⅱ） ( 2,0)A  ， (2,0)B . 设 0 0 0 0( , ) ( 0)D x y x y  ，则 2 20 0 14 x y  . ……………… 6 分 所以直线 CD 的方程为 0 0 1 1yy xx   ， ……………… 7 分 令 0y  ，得点 P 的坐标为 0 0 ( ,0)1 x y . ……………… 8 分 设 ( , )Q QQ x y ，由 4OP OQ   ，得 0 0 4(1 ) Q yx x  （显然 2Qx  ）. …… 9 分 直线 AD 的方程为 0 0 ( 2)2 yy xx   ， ……………… 10 分 将 Qx 代入，得 0 0 0 0 0 (4 4 2 ) ( 2)Q y y xy x x    ，即 0 0 0 0 0 0 0 4(1 ) (4 4 2 )( , )( 2) y y y xQ x x x     . ……………… 11 分 故直线 BQ 的斜率存在，且 0 0 0 0 0 0 (4 4 2 ) 2 ( 2)(4 4 2 ) Q BQ Q y y y xk x x y x       …… 12 分 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 2 4 2 4 y y x y x x y y      2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 2 1 4 2 4 2 y y x y y x y y      . ………… 13 分 又因为直线 BC 的斜率 1 2BCk   ， 所以 BC BQk k ，即 , ,C B Q 三点共线. ……………… 14 分北京市西城区 2020 年 6 月高三数学参考答案 第 6页（共 7页） 21．（本小题满分 14 分） 解：（Ⅰ）存在表 1，使得 , 100i jb i j   ；不存在表 1，使得 ,i jb 等于 2 ji  . ……… 3 分 （Ⅱ）因为对于任意的 1,2, ,39 1,2, ,20i j  ； ，都有 , 1, 1i j i jb b  ≥ ， 所以 1,20 2,20 1b b ≥ ， 2,20 3,20 1b b ≥ ，， 39,20 40,20 1b b ≥ ， 所以 1,20 2,20 2,20 3,20 39,20 40,20( 39b b b b b b  )+( )+ +( )≥ ， 即 1,20 40,20 39 40b b  ≥ . ……………… 6 分 又因为对于 1,2, ,40 1,2, ,19m n  ； ，都有 , , 1 2m n m nb n  ≥ ， 所以 1,1 1,2 2b b ≥ ， 1,2 1,3 2b b ≥ ，， 1,19 1,20 2b b ≥ ， 所以 1,1 1,2 1,2 1,3 1,19 1,20( 38b b b b b b  )+( )+ +( )≥ ， 所以 1,1 1,20 38 40 38 78b b   ≥ ≥ . 即 1,1 78b ≥ . ……………… 8 分 （Ⅲ）当表 1 如下图时： 其中，每行恰好有 1 个 0 和 19 个 1；每列恰好有 2 个 0 和 38 个 1；因此每行的和均 为 19. 符合题意. 重新排序后，对应表 2 中，前 38 行中每行各数均为 1，每行的和均为 20；后 2 行各 数均为 0，因此 39k≥ . ……………… 10 分 以下先证：对于任意满足条件的表 1，在表 2 的前 39 行中，至少包含原表 1 中某一 0 1 1  1 1 0 1 1  1 1 1 0 1  1 1 1 0 1  1 1 1 1 0  1 1 1 1 0  1 1       1 1 1  0 1 1 1 1  0 1 1 1 1  1 0 1 1 1  1 0北京市西城区 2020 年 6 月高三数学参考答案 第 7页（共 7页） 行（设为第 r 行）的全部实数（即包含 ,1 ,2 ,20, , ,r r ra a a ）. 假设表 2 的前 39 行中，不能包含原表 1 中任一行的全部实数. 则表 2 的前 39 行中至多含有表 1 中的 40 19 760  个数， 这与表 2 中前 39 行中共有 39 20 780  个数矛盾. 所以表 2 的前 39 行中，至少包含原表 1 中某一行（设为第 r 行）的全部实数. ……………… 12 分 其次，在表 2 中，根据重排规则得：当 39i≥ 时， , 39, ,i j j r jb b a≤ ≤ 1,2, 20j  （ ， ）， 所以 ,1 ,2 ,20 ,1 ,2 ,20 19i i i r r rab b b a a      ≤ ≤ . 所以 39k ≤ . 综上， 39k  . ……………… 14 分