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2020 年高考第二次模拟考试
理科数学
注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应位置上。
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1.已知集合 ， ，则
A. B. C. D.
2.已知 （其中 为虚数单位），则 z 的虚部为
A. B. 1 C. 2 D. 4
3.已知 ， ， ，则
A. B. C. D.
4.若 x,y 满足约束条件 的最小值是
A. 0 B. 3 C. 4 D. 6
5.某中学高三文科班从甲、乙两个班各选出 7 名学生参加文史知识竞赛，他们取
得的成绩 满分 100 分 的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的平均分是 85，乙班
学生成绩的中位数是 83，则 的值为
A. 9 B. 7 C. 8 D. 6
{ }| 4 2M x x= − < < { }2| 6 0N x x x= − − < M N∪ =
{ }| 4 3x x− < < { }| 4 2x x− < < − { }| 2 2x x− < < { }| 2 3x x< <
3
1
iz i
−= − i
i
0.2log 2a = 20.2b = 0.23c =
a b c< < a c b< < c a b< < b c a< <
0,
+ -3 0 z 2
-2 0,
x
x y x y
x y
≥
≥ = +
≤
，则
( )
x y+6. 函数 的图象大致为
7.已知函数 （ ），其图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，那么
函数 的图象
A. 关于点 对称 B. 关于点 对称
C. 关于直线 对称 D. 关于直线 对称
8.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：
“已知直角三角形两直角边长分别为 5 步和 12 步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三
角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是
A. B. C. D.
9.已知抛物线 ，过其焦点且斜率为-1 的直线交抛物线于 两点，若线段
的中点的纵坐标为-2，则该抛物线的准线方程为
A． B． C． D．
10. 在 中，若 ，则 的形状是
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角
三角形
11.已知双曲线 ： 的右焦点为 ，左顶点为 ，以 为圆心，
为半径的圆交 的右支于 ， 两点，且线段 的垂直平分线经过点 ，则 的离心率
为
A. 2 B. C. D.
12.若对于任意的 ，都有 ，则 的最大值为
)(2 2 R∈−= xxy x
0>ω
4
π
( )y f x=
( ,0)16
π− ( ,0)16
π
16x
π=
4
πx = −
( ) sin 4f x x
πω = −
2
15
π 3
20
π 21 15
π− 31 20
π−
2 2y px= ( 0)p > ,A B
AB
1x = 2x = 1x = − 2x = −
ABC∆ cos 1 cos2
cos 1 cos2
b C C
c B B
+= + ABC∆
C
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > F A F FA
C M N AM N C
4
3 5 3
1 20 x x a< < < 2 1 1 2
1 2
ln ln 1x x x x
x x
− >− aA. B. C. D. 1
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题－第（21）题为必考题，每个试题考生都
必须作答，第（22）题－第（23）题为选考题，考生根据要求做答。
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.
13. 的展开式中常数项是 .
14. 已知 ， 分别是 的两个实数根，则 .
15. 已知向量 , ,若存在向量 ,使得 ， ,则 =_______．
16. 在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ， 是
边 上的一动点，且直线 与平面 所成角的最大值为 ，则三棱锥 的外
接球的表面积为_______．
三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分 12 分）下图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数
小于 100 表示空气质量优良，空气质量指数大于 200 表示空气重度污染，某人随机选择 3 月 1
日至 3 月 13 日中的某一天到达该市，并停留 2 天
（1）求此人到达当日空气重度污染的概率
（2）设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求 X 的分布列与数学期望.
18.(本小题满分 12 分) 已知正项等差数列 的前 项和为 ，且满足 ，
tanα tan β tan( )α β+ =
(2,1)=a ( 1,3)= −b c 6⋅ =a c 4⋅ =b c c
{ }na n nS 2
1 5 3
2
7a a a+ =
2e e 1
2
612x
x
−
26 5 1 0x x− + =
P ABC− PA ⊥ ABC 2
3BAC
π∠ = 3AP = 2 3AB = Q
BC PQ ABC 3
π
P ABC−．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足 ， ，求数列 的前 项和
19.(本小题满分 12 分) 已知四棱锥 ，底面 为正方形，且 底面
，过 的平面与侧面 的交线为 ，且满足 .
（1）证明： 平面 ；
（2）若二面角 的余弦值为 ，求 的值.
20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆的焦点坐标为 ， ，过 垂
直于长轴的直线交椭圆于 、 两点，且 .
(1)求椭圆的方程；
(2)过 的直线 与椭圆交于不同的两点 、 ，则 的内切
圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；
若不存在，请说明理由.
21 .(本小题满分 12 分) 已知 .
（1）当 时，求证： ；
（2）当 有三个零点时，求实数 的取值范围.
请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题
号。
22.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程
7 63S =
{ }na
{ }nb 1 1b a= 1 1n n nb b a+ +− = 1
nb
n nT
P ABCD− ABCD PA ⊥
ABCD AB PCD EF : 1 3PEF CDEFS S∆ =四边形 ：
//PB ACE
C AF D− − 5
5
PA
AB
1( 1,0)F − 2 (1,0)F 2F
P Q 3PQ =
2F l M N 1F MN∆
2
2( ) 2ln af x x ax x
= − +
0 1a< < 02
af >
( )f x a 在直角坐标系 中，圆 的参数方程为 （ 为参数），现以原点 为极
点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求圆 的极坐标方程；
（2）设 是圆 上的两个动点，且 ，求 的最大值
23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 .
（1）若 ，解不等式 ；
（2）当 时，函数 的最小值为 ，求实数 的值.
xoy C 1x cos
y sin
ϕ
ϕ
= +
=
ϕ O
x
C
,P Q C 3POQ
π∠ = OP OQ+
( ) 2 1 ,f x x a x a R= − + − ∈
2a = − ( ) 5f x ≤
2a < ( )f x 3 a2020 年高考桂林市第二次模拟考试
理科数学参考答案及评分标准
一．选择题（每题 5 分，共 60 分）
题
号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答
案
A B A C C A B C C D B D
二．填空题（每题 5 分，共 20 分）
13. 60 14. 1 15. （2,2） 16.
三. 解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应给出文字说明、证明进程或演算步骤.
17.（本小题满分 12 分）
解：（1）记事件 Ai 第 i 天到达(i=1,2,3，…,13),设 B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，
则 B=A5∪A8， ……………………2 分
所以 .……………………3 分
（2）由题意知， 的所有可能取的值为 0,1,2，且
;……………………5 分
;…………7
分
,…………9 分
所以 的分布列为
…………10 分
的期望为 .…………12 分
18. （本小题满分 12 分）
解：（1）设正项等差数列 的首项为 ，公差为 d， ，{ }na
0 1 2
57π．
( ) ( ) ( ) ( )5 8 5 8
2
13P B P A A P A P A= ∪ = + =
X
( ) ( )3 6 7 111P X P A A A A= = ∪ ∪ ∪
( ) ( ) ( ) ( )3 6 7 11
4
13P A P A P A P A= + + + =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 12 13 1 2 12 13
42 13P X P A A A A P A P A P A P A= = ∪ ∪ ∪ = + + + =
( ) ( ) ( ) 50 1 1 2 13P X P X P X= = − = − = =
X
X 5 4 4 120 1 213 13 13 13EX = × + × + × =
1a n 0a >
X
P 4
13
4
13
5
13则 ， ……………………2 分
得 ……………………4 分
……………………5 分
（2） ，且 ， . ……………………6 分
当 时，
， ……………………8 分
当 时， 满足上式， . ……………………9 分
. ……………………10 分
………………………………12 分
19.（本小题满分 12 分）
由题知四边形 ABCD 为正方形 ∴AB//CD，又 平面 PCD，AB 平面 PCD
∴AB//平面 PCD …………1 分
又 AB 平面 ABFE，平面 ABFE∩平面 PCD=EF
∴EF // AB，又 AB//CD ∴EF //CD， …………3 分
由 S△PEF：S 四边形 CDEF=1:3 知 E、F 分别为 PC、PD 的中点
连接 BD 交 AC 与 G，则 G 为 BD 中点，在△PBD 中 EG 为中位线，
∴ EG//PB ∵ EG//PB，EG 平面 ACE，PB 平面 ACE
∴PB//平面 ACE. …………6 分
（2）∵底面 ABCD 为正方形，且 PA⊥底面 ABCD，
∴PA、AB、AD 两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系 A-xyz，…………7 分
1 1n n nb b a+ +− = 2 1na n= + 1 2 3n nb b n+∴ − = +
2n ≥ 1 1 2 2 1 1( ) ( ) ( )n n n n nb b b b b b b b− − −= − + − + + − +
(2 1) (2 1) 5 3 ( 2)n n n n= + + − + + + = +
1n = 1 3b = ( 2)nb n n= +
1 1 1 1 1( )( 2) 2 2nb n n n n
∴ = = −+ +
1 2 1
1 1 1 1
n
n n
T b b b b−
∴ = + + + +
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1[(1 ) ( ) ( ) ( ) ( )]2 3 2 4 3 5 1 1 2n n n n
= − + − + − + − + −− + +
1 1 1 1 3 1 1 1(1 ) ( )2 2 1 2 4 2 1 2n n n n
= + − − = − ++ + + +
( )2
1 1 1
1
24 27
7 21 63
a a d a d
a d
+ + = +
+ =
1=3
2
a
d
=
( )3 1 2 2 1na n n∴ = + − × = +
(1)解： CD ⊂ ⊄
⊂
⊂ ⊄设 AB=AD=2a，AP=2b，则 A（0，0，0），D（0，2a，0），C（2a，2a，0）
G（a，a，0），P（0，0，2b），F（a，a，b），
∵PA⊥底面 ABCD，DG 底面 ABCD，∴DG⊥PA，
∵四边形 ABCD 为正方形∴AC⊥BD,即 DG⊥AC，AC∩PA=A
∴DG⊥平面 CAF，
∴平面 CAF 的一个法向量为 …………9 分
设平面 AFD 的一个法向量为 而
由 得 取 可得
为平面 AED 的一个法向量，
设二面角 C—AF—D 的大小为
则 得
又 ∴
∴当二面角 C—AF—D 的余弦值为 时， . ………………………………12 分
20（本小题满分 12 分）
设椭圆方程为 ＝1(a>b>0)，由焦点坐标可得 c＝1.由|PQ|＝3，可得 ＝3.
又 a2－b2＝1，得 a＝2，b＝ .故椭圆方程为 ＝1. …………4 分
(2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，不妨令 y1>0，y20，所以 f(t)在[1，＋∞)上单调递增，
有 f(t)≥f(1)＝4，S△F1MN≤ ＝3，
当 t＝1，m＝0 时，S△F1MN＝3，又 S△F1MN＝4R，∴Rmax＝
这时所求内切圆面积的最大值为 π，此时直线的方程为 x=1。…………………………………
12 分
21（本小题满分 12 分）
证明： ，
令 ， ， ，
，
在 上单调递减， ，
所以原命题成立. …………4 分
（2）由 有三个零点可得
2 2
14 3
1
x y
x my
+ =
= +
2
2
3 6 1
3 4
m m
m
－ ＋ ＋
＋
2
2
3 6 1
3 4
m m
m
−－ ＋
＋
2
2
12 1
3 4
m
m
＋
＋
2 1m ＋
2
2
12 1
3 4
m
m
＋
＋ 2
12
3 1
t
t ＋
12
13t t
＋
1
t 2
1
t
12
4
3
4
9
16
(1)解：
2
22ln2 2 2
2
a a a af a
a
= − +
2
at = ( )3 22ln 22
af t t g tt
= − + =
10, 2t ∈
( ) 2 2
2
2 2 2 1' 6 1 6 0g t t tt t t t
= − − = − − = − + = − − >
( ) 2
22ln af x x ax x
= − + 2 2
2ln ( 0)ax ax xx
= − + >有三个零点，
，…………6 分
①当 时， 恒成立，可得 至多有一个零点，不符合题意；
②当 时， 恒成立，可得 至多有一个零点，不符合题意；…………8 分
③当 时，记 得两个零点为 ， ，不妨设 ，
且 ，
时， ； 时， ； 时 ，
观察可得 ，且 ，
当 时， ； 单调递增，
所以有 ，即 ，
时， ， 单调递减，
时 ， 单调递减，…………10 分
由（1）知， ，且 ，所以 在 上有一个零点，
由 ，且 ，所以 在 上有一个零点，
综上可知 有三个零点，
即 有三个零点，
所求 的范围是 .
22（本小题满分 10 分）
解：（1）圆 的直角坐标方程为 ，即 ，
所以圆 的极坐标方程为 ，即 . …………4 分
C ( )2 21 1x y− + = 2 2 2 0x y x+ − =
C 2 2 cos 0ρ ρ θ− = 2cosρ θ=
( ) ln ( 0)ah x x ax xx
= − + >
( ) 2
2' ( 0)ax x ah x xx
− + −= >
0a ≤ ( )' 0h x > ( )h x
1
2a ≥ ( )' 0h x ≤ ( )h x
10 2a< < ( ) 2 ( 0)x ax x a xϕ = − + − > 1x 2x 1 20 x x< <
1 2 1x x⋅ =
( )10,x x∈ ( )' 0h x < ( )1 2,x x x∈ ( )' 0h x > ( )2 ,x x∈ +∞ ( )' 0h x <
( )1 0h = 1 21x x< <
( )1 2,x x x∈ ( )' 0h x > ( )h x
( ) ( ) ( )1 21h x h h x< < ( ) ( )1 20h x h x< <
( )10,x x∈ ( )' 0h x < ( )h x
( )2 ,x x∈ +∞ ( )' 0h x < ( )h x
02
ah
>
( )1 0h x < ( )h x 1,2
a x
( )lim
x
h x→+∞
→ −∞ ( )2 0h x > ( )h x ( )2 ,x +∞
( ) ln ( 0)ah x x ax xx
= − + >
( ) 2 2 2
2 22ln ln ( 0)a af x x ax x ax xx x
= − + = − + >
a 10, 2
(2)设 的极坐标为 ， ，则
，…………6 分
则 ,…………8 分
又 ，所以 ，
所以当 时， 取最大值 .……………………………10 分
（23）（本小题满分 10 分）
解：（1） 时，不等式为
②_x0001_ 当 时，不等式化为 ， ，此时
②当 时，不等式化为 ， ，此时
③当 时，不等式化为 ， ，此时
综上所述，不等式的解集为 …………5 分
（2）法一：函数 f(x)＝|2x－a|＋|x－1|，当 a＜2，即 时，
所以 f(x)min＝f（ ）＝－ ＋1＝3，得 a＝－4＜2(符合题意)，故 a＝－4. …………10 分
法二：
P 1
ρ θ（ ， ） 2 + 3Q
πρ θ（ ， ）
1 2|OP|= =2cos |OQ|= 2cos + 3
， πρ θ ρ θ =
|OP|+|OQ|=2cos +2cos + =3cos 3sin 2 3cos3 6
π πθ θ θ θ θ − = +
2 2
2 3 2
π πθ
π π πθ
− <
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