广西桂林、崇左、防城港市2020届高三数学（文）联考模拟试题（Word版含答案）

绝密*启用前 2020 年高考第二次模拟考试 文科数学 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应位置上。 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合 ， ，则 A. B. C. D. 2.已知 （其中 为虚数单位），则 的虚部为 A. B. C. D. 3.已知 ， ， ，则 A. B. C. D. 4.若 x,y 满足约束条件 的取值范围是 A. [0,6] B. [0,4] C. [6, D. [4, 5.某中学高三文科班从甲、乙两个班各选出 7 名学生参加文史知识竞赛，他们取 得的成绩的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的平均分是 85，乙班学生成绩的中位 数是 83，则 的值为 A. 9 B. 7 C. 8 D. 6 6.函数 的大致图象为 { }| 4 2M x x= − < < { }2| 6 0N x x x= − − < M N∪ = { }| 4 3x x− < < { }| 4 2x x− < < − { }| 2 2x x− < < { }| 2 3x x< < 3 1 iz i −= − i z 2 1 2i i 0.2log 2a = 20.2b = 0.23c = a b c< < a c b< < c a b< < b c a< < 0, + -3 0 z 2 -2 0, x x y x y x y ≥  ≥ = +  ≤ ，则 +∞） +∞） x y+ ( ) ·lnxf x e x=A. B. C. D. 7.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意： “已知直角三角形两直角边长分别为 5 步和 12 步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三 角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 A. B. C. D. 8. 在 中，若 ，则 的形状是 A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 9.已知函数 （ ， ），其图象相邻两条对 称轴之间的距离为 ，将函数 的图象向左平移 个单位后，得 到的图象关于 轴对称，那么函数 的图象 A. 关于点 对称 B. 关于点 对称 C. 关于直线 对称 D. 关于直线 对称 10. 如图所示，正方体 的棱长为 2， 为 ，AB 的中点， 点是正方形 内的动点，若 平面 ，则 点的轨迹长度为 A. B.1 C. D. 11. 已知函数 在区间 上有最大值， ( ) sin( )f x xω ϕ= + 0>ω | | 2 ϕ π< 4 π ( )y f x= 3 16 π y ( )y f x= ( ,0)16 π− ( ,0)16 π 16x π= 4 πx = − 2 15 π 3 20 π 21 15 π− 31 20 π− ABC∆ cos 1 cos2 cos 1 cos2 b C C c B B += + ABC∆ 2 2 2 3 ( ) 2 13ln 2f x x x a x = − + −   ( )1,3则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 12. 已知双曲线 ： 的右焦点为 ，左顶点为 ，以 为圆心， 为半径的圆交 的右支于 ， 两点，且线段 的垂直平分线经过点 ，则 的离心率 为 A. 2 B. C. D. 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题－第（21）题为必考题，每个试题考生都 必须作答， 第（22）题－第（23）题为选考题，考生根据要求做答。 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 13.已知 ，则 ______. 14.已知向量 ， ，则 在 方向上的投影为__________． 15.设函数 ，则使 成立的 的取值范围是_________． 16.在三棱锥 中，平面 平面 ， 是边长为 6 的等边三角形， 是以 为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______． 三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17（本小题满分 12 分）如图是某市 3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图．空气质量 指数小于 100 表示空气质量优良，空气质量指数大于 200 表示空气重度污染．某人随机 选择 3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该市，并停留 2 天． ( ) 2(ln 1)f x x= + ( ) ( )2 1f x f x> + x a 1 ,52  −   1 11,2 2  −   1 11,2 2      1 ,52      C 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > F A F FA C M N AM N C 5 3 4 3 ( )tan 2aπ + = cos sin cos sin α α α α + =− ( )1,2=m (2,0)=n m n P ABC− PAB ⊥ ABC ABC△ PAB△ AB（1）求此人到达当日空气重度污染的概率； （2）求此人在该市停留期间只有 1 天空气重度污染的概率； （3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明） 18 ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 数 列 的 前 项 和 为 ， ， ． （1）求证：数列 是等差数列； （2）若 ，设数列 前 项和为 ，求 . 19 (本小题满分 12 分) 已知四棱锥 ，底面 为正方形，且 底面 ，过 的平面与侧面 的交线为 ，且满足 （1）证明： 平面 ； （2）当 时，求点 到平面 的距离. 20(本小题满分 12 分) 已知函数 . （1）讨论函数 的单调性； （2）若函数 在区间 上存在两个不同零点，求实数 的取值范围. 1 nS       1 ,3 2 , n n n S nC n n− = +  为奇数 为偶数 { }nC 的 n nT 2nT { }na n nS 1 1 2a = 1 1+S 0 (n 2)n n n nS S S− −− = ≥ P ABCD− ABCD PA ⊥ ABCD AB PCD EF : 1 3PEF CDEFS S∆ =四边形 ： //PB ACE 2 2PA AD= = F ACE 3( ) ln ( )f x x a x a= − ∈R ( )f x ( )y f x= (1, ]e a21 (本小题满分 12 分) 已知椭圆的焦点坐标为 ， ， 过 垂直于长轴的直线交椭圆于 、 两点，且 . (1)求椭圆的方程； (2)过 的直线 与椭圆交于不同的两点 、 ，则 的 内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直 线方程；若不存在，请说明理由. 请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题 号。 22（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，圆 的参数方程为 （ 为参数），现以原点 为极 点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆 的极坐标方程； （2）设 是圆 上的两个动点，且 ，求 的最大值 23（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 . （1）若 ，解不等式 ； （2）当 时，函数 的最小值为 ，求实数 的值. xoy C 1x cos y sin ϕ ϕ = +  = ϕ O x C ,P Q C 3POQ π∠ = OP OQ+ ( ) 2 1 ,f x x a x a R= − + − ∈ 2a = − ( ) 5f x ≤ 2a < ( )f x 3 a 1( 1,0)F − 2 (1,0)F 2F P Q 3PQ = 2F l M N 1F MN∆2020 年高考桂林市第二次模拟考试 文科数学参考答案及评分标准 一．选择题（每题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B A D C A C D B C B D 二．填空题（每题 5 分，共 20 分） 13. 14. 15. 16. 三. 解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应给出文字说明、证明进程或演算步骤. 17.（本小题满分 12 分） 解：（1）在 3 月 1 日至 3 月 13 日这 13 天中，5 日、8 日共 2 天的空气重试污染，………2 分 所以此人到达当日空气重度污染的概率为 ．…………4 分 （2）根据题意，事件“此人在该市停留期间只有 1 天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日 期是 4 日或 5 日或 7 日或 8 日”，所以此人在该市停留期间只有 1 天空气重度污染的概率为 ．…8 分 (3)从 3 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大．……………………12 分 18. （本小题满分 12 分） 证明：因为 ， ，所以 ，所以 ， 所以 ． …………3 分 所以 是以 为首项，以 1 为公差的等差数列． …………5 分 （2）由（1）可得 ，所以 . 1, (1, )3  −∞ − ∪ +∞   1 0n nS S− ≠ 1 1 1 1 n nS S − − = 1 nS       1 1 2S = 1 2 ( 1) 1 n n nS = + − = + 1 1nS n = + 3− 1 48π 2 13 4 13 (1)解： 1 1 2a = 1 1+S 0 (n 2)n n n nS S S− −− = ≥ 2 1 6a = −∴ …………7 分 ∴ …………9 分 ………………………………12 分 19（本小题满分 12 分） 证明：由题知四边形 ABCD 为正方形 ∴AB//CD，又 平面 PCD，AB 平面 PCD ∴AB//平面 PCD …………1 分 又 AB 平面 ABFE，平面 ABFE∩平面 PCD=EF ∴EF // AB，又 AB//CD ∴EF //CD， …………3 分 由 S△PEF：S 四边形 CDEF=1:3 知 E、F 分别为 PC、PD 的中点 连接 BD 交 AC 与 G，则 G 为 BD 中点， 在△PBD 中 FG 为中位线，∴EG//PB ∵ EG//PB，EG 平面 ACE，PB 平面 ACE ∴PB//平面 ACE. …………6 分 （2）∵PA=2，AD=AB=1， ∴ , ∵CD⊥AD，CD⊥PA，AD∩PA=A， ∴CD⊥平面 PAD，∴CD⊥PD…………8 分 在 Rt△CDE 中， 在△ACE 中由余弦定理知 ∴ ，∴S△ACE= 设点 F 到平面 ACE 的距离为 ，则 …………10 分 ( )( ) ( ) ( )1 1 1 3 2 n n nn nC n−   + +=   为奇数 为偶数 ( )1 3 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 22 2 4 4 6 2 2 2 n nT n n − = − + − + + − + + + + +   2 1 2 11 1 1 2 2 2 5 1 2 2 2 2 3 3 12 4 4 n n n n + +− = − + = − − + +  (1)解： CD ⊂ ⊄ ⊂ ⊂ ⊄ 2AC = 1 5 2 2AE PD= = 2 2 3 2CE CD DE= + = 2 2 2 5cos 2 5 AE CE ACAEC AE CE + −∠ = =⋅ 2 5sin 5AEC∠ = 1 3sin2 4AE CE AEC⋅ ⋅ ⋅ ∠ = h 1 3 1 3 4 4F ACEV h h− = ⋅ ⋅ =由 DG⊥AC，DG⊥PA，AC∩PA=A，得 DG⊥平面 PAC，且 ∵E 为 PD 中点，∴E 到平面 ACF 的距离为 又 F 为 PC 中点，∴S△ACF S△ACP ，∴ 由 知 ∴点 F 到平面 ACE 的距离为 .…………………………12 分 20（本小题满分 12 分） ∵ ………………………………1 分 ①若 时， ，此时函数在 上单调递增；……………………2 分 ②若 时，又 得： 时 ，此时函数在 上单调递减； 当 时 ，此时函数在 上单调递增；…………4 分 综上：当 时，函数 在 上单调递增 当 时，函数 在在 上单调递减，在 上单调递增…………5 分 （2）由题意知： 在区间 上有两个不同实数解，…………6 分 即函数 图像与函数 图像有两个不同的交点，…………7 分 因为 ，令 得： 所以当 时， ，函数在 上单调递减 当 时， ，函数在 上单调递增；…………10 分 2 2DG = 1 2 2 4DG = 1 2 = 2 2 = 1 2 2 1 3 2 4 12E ACFV − = ⋅ ⋅ = F ACE E ACFV V− −= 1 3h = 1 3 (1)解： ( ) 3 2 3' 3 ( 0)a x af x x xx x −= − = > 0a ≤ ( )' 0f x > ( )0,+∞ 0a > ( ) 33' 0x af x x −= = 3 3 ax = 30, 3 ax  ∈    ( )' 0f x < 30, 3 a      3 ,3 ax  ∈ +∞   ( )' 0f x > 3 ,3 a +∞   0a ≤ ( )f x ( )0,+∞ 0a > ( )f x 30, 3 a      3 ,3 a +∞   3 ln xa x = ( ]1,e y a= ( ) 3 ln xg x x = ( ) ( ) ( ) 2 2 3ln 1' ln x xg x x −= ( )' 0g x = 3x e= ( )31,x e∈ ( )' 0g x < ( )31, e ( 3 ,x e e∈  ( )' 0g x > ( 3 ,e e则 ，而 ，且 ， 要使函数 图像与函数 图像有两个不同的交点， 所以 的取值范围为 .…………12 分 21（本小题满分 12 分） 设椭圆方程为 ＝1(a>b>0)， 由焦点坐标可得 c＝1.由|PQ|＝3，可得 ＝3. 又 a2－b2＝1，得 a＝2，b＝ .故椭圆方程为 ＝1. …………4 分 (2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，不妨令 y1>0，y2    ( ) 3 27g e e= < y a= ( ) 3 ln xg x x = a ( 33 ,e e  (1)解： 2 2 2 2 x y a b + 22b a 3 2 2 4 3 x y+ 1 2 1 2 2 2 14 3 1 x y x my + = = +   2 2 3 6 1 3 4 m m m － ＋ ＋ ＋ 2 2 3 6 1 3 4 m m m −－ ＋ ＋ 2 2 12 1 3 4 m m ＋ ＋ 2 1m ＋ 2 2 12 1 3 4 m m ＋ ＋ 2 12 3 1 t t ＋ 12 13t t ＋令 f(t)＝3t＋ ，则 f′(t)＝3－ ， 当 t≥1 时，f′(t)>0，所以 f(t)在[1，＋∞)上单调递增， 有 f(t)≥f(1)＝4，S△F1MN≤ ＝3， 当 t＝1，m＝0 时，S△F1MN＝3，又 S△F1MN＝4R，∴Rmax＝ 这时所求内切圆面积的最大值为 π，此时直线的方程为 x=1。………………………12 分 22（本小题满分 10 分） 解：（1）圆 的直角坐标方程为 ，即 ， 所以圆 的极坐标方程为 ，即 . …………4 分 (2)设 的极坐标为 ， ，则 ，…………6 分 则 ,…………8 分 又 ，所以 ， 所以当 时， 取最大值 .……………………………10 分 （23）（本小题满分 10 分） 解：（1） 时，不等式为 ①当 时，不等式化为 ， ，此时 ②当 时，不等式化为 ， ③当 时，不等式化为 ， ，此时 C ( )2 21 1x y− + = 2 2 2 0x y x+ − = C 2 2 cos 0ρ ρ θ− = 2cosρ θ= P 1 ρ θ（ ， ） 2 + 3Q πρ θ（ ， ） 1 2|OP|= =2cos |OQ|= 2cos + 3 ， πρ θ ρ θ =    |OP|+|OQ|=2cos +2cos + =3cos 3sin 2 3cos3 6 π πθ θ θ θ θ   − = +       2 2 2 3 2 π πθ π π πθ  − <