Ű数学参考答案(理科)
第
１
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７
页)】
参考答案、提示及评分细则
一、选择题:本题有
１２
小题,每小题
５
分,共
６０
分
．
题号
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２
答案
A C B C D D B A C B C D
【解析】
１ư
因为B ＝
{
－１
,
０
,
１
,
２
},A ＝
{x | －１＜x ≤１
},所以 A ∩B ＝
{
０
,
１
},故选
A ．
２ư
将z ＝－１＋２i
代 入 x ２
＋ax ＋b ＝０
得a ＝２
,b ＝５
,经 计 算 得 一 元 二 次 方 程 的 另 一 个 根 为
z ＝－１－２i．故选
C ．
３ư
若C 的方程为y ２
８－
x ２
４ ＝１
,则a ＝２ ２
,b ＝２
,所以渐近线方程为y ＝±
a
b x ＝± ２x ,充分性成
立;若渐近线方程为y ＝± ２x ,则双曲线方程为x ２
－
y ２
２ ＝λ(λ≠０
),所以“C 的方程为y ２
８－
x ２
４
＝１
”是“C 的渐近线方程为y ＝± ２x ”的充分而不必要条件．故选
B ．
４ư
由题意,在正项等 比 数 列 {a n } 中,由a ５
２
＋２a ６a ８ ＋a ９
２
＝６４
,可 得a ５
２
＋２a ６a ８ ＋a ９
２
＝a ５
２
＋
２a ５a ９＋a ９
２
＝
(a ５＋a ９
)２
＝６４
,即a ５＋a ９＝８．由a ３
与a ７
的等差中项为
２
,得a ３＋a ７＝４．设公比
为q ,则q ２(a ３＋a ７
)
＝４q ２
＝８
,则q ＝ ２
(负的舍去),a １＝２
５
．故选
C ．
５ư∵a→
＝λb→ ,
∴m ＝ －２
,
∴a→
＝
(
３
,
－２
),b→
＝
(
－６
,
４
),a→
＋b→
＝
(
－３
,
２
),
３a→
＋b→
＝
(
３
,
－２
),
∴
(a→
＋b→)Ű(
３a→
＋b→)
＝－９＋
(
－４
)
＝－１３．故选
D ．
６ư
由图知
２０１９
年
１~ １１
月中,
６
月是社会消费品零售总额同比增长速度最高的月份,
A
错误;
２０１９
年
１１
月,乡村社会消费品零售总额同比增长率比较高但是绝对量较少,所以城镇的影响
更大,
B
错误;第二季度平均同比增长率高于第一季度,
C
错误;
２０１９
年
１~ １１
月,汽车消费品
零售总额
＝３７２８７２－３３７９５１＝３４９２１
亿元,
D
正确．故选
D ．
７ư∵f (x )
＝２e
x
－f′(
０
)x ＋f′(
１
),
∴f′(x )
＝２e
x
－f′(
０
),
∴f′(
０
)
＝２－f′(
０
),f′(
０
)
＝１
,
∴f (x )
＝２e
x
－x ＋f′(
１
),
∴f′(x )
＝２e
x
－１＞－１．∵
点 P 是曲线上的任意一点,点 P 处切线
的倾斜角为α,
∴tan α＞－１．∵α∈
[
０
,
π
),
∴α∈
[
０
,π
２
)
∪
(３π
４
,
π
)．故选
B ．
８ư∵tan ∠C B E ＝
C E
C B ＝１
３
＝ ３
３
,
∴∠C B E ＝π
６
,
∴B P 与线段E C 有交点的概率为
π
６
π
２
＝１
３
．故选
A ．
９ư
因为函数f (x )
＝
cos
(
２x ＋a ),x ≤０
,
sin
(
２x ＋b ),x ＞０
{ 的图象关于y 轴对称,所以
cos
(
－ π
２ ＋a )
＝sin
( π
２ ＋
b ),
cos
(
－π＋a )
＝sin
(
π＋b ),即
sin a ＝cos b ,
cos a ＝sin b ,因此a ＋b ＝ π
２＋２k π
(k ∈Z ),所以
g (x )
＝２cos
(
４x ＋a ＋b )
＝２cos
(
４x ＋ π
２
),从而h (x )
＝２cos
(
２x － π
６
),其周期 T ＝２π
２ ＝π
,选
项
A
错误;由
２x － π
６＝k π
(k ∈Z )得对称轴方程为x ＝ π
１２＋
k π
２
(k ∈Z ),选项
B
错误;对称中心
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为(π
３＋
k π
２
,
０
)(k ∈Z ),k ＝－１
时,对称中心为(
－ π
６
,
０
),选项
C
正确;单调递减区间为[ π
１２＋
k π
,７π
１２＋k π
](k ∈Z ),选项
D
错误．故选
C ．
１０ư
令f (x )
＝t ,则f (t )
＝
ln t
,t ≥１
,
－
(t －１
)Ű
e
t －１,t ＜１．{ (
１
)当t ≥１
时,f (t )
＝１
e
,即
ln t ＝１
e ⇒t ＝e
１
e ,
即f (x )
＝e
１
e ．当x ≥１
时,
ln x ＝e
１
e 有一个解．当x ＜１
时,f′(x )
＝－x e
x －１,x ∈
(
－∞
,
０
),f′
(x )
＞０
;x ∈
(
０
,
１
),f′(x )
＜０
,且f (
０
)
＝１
e
．当x ＜１
时,
－
(x －１
)Ű
e
x －１
≤１
e
,而
e
１
e
＞１
e
,所
以方程(t ＋１
)Ű
e
t －１
＝１
e
无解．(
２
)当t ＜１
时,f (t )
＝１
e
,由(
１
)知t ＝０
,即f (x )
＝０．当x ≥１
时,
ln x ＝０
有一个解．当x ＜１
时,
０＜f (x )
≤１
e
,所以f (x )
＝０
无解．综上,函数g (x )有两零
点．故选
B ．
１１ư∵
当 n ≥２
时,S n ＋２－S n －１＋１S n ＋１－S n ＋１ ＝３
,
∴
a n ＋２＋a n ＋１＋a n ＋１a n ＋１＋１ ＝３
,
∴a n ＋２ －２a n ＋１ ＋a n ＝２
,
∴a n ＋２－a n ＋１－
(a n ＋１－a n )
＝２
,
∴
{a n ＋１－a n }从第
２
项起是等差数列．又
∵a １ ＝２
,a ２ ＝６
,a ３
＝１２
,
∴
(a ３－a ２
)
－
(a ２－a １
)
＝２
,
∴a n ＋１－a n ＝４＋２
(n －１
)
＝２n ＋２
,
∴
当n ≥２
时,a n ＝
(a n
－a n －１
)
＋
(a n －１－a n －２
)
＋
ƺ
＋
(a ２－a １
)
＋a １＝２n ＋２
(n －１
)
＋
ƺ
＋２×２＋２＝２×
n (n ＋１
)
２ ＝
n (n ＋１
),
∴
(n ＋１
)２
a n ＝
n ＋１n
(n ≥２
),
∴
当n ≥２
时,b n ＝
[(n ＋１
)２
a n
]
＝
[n ＋１n
]
＝１．又
∵b １ ＝
(
１＋１
)２
a １ ＝２
,
∴T ２０２０＝
[２
２
a １
]
＋
[３
２
a ２
]
＋
ƺ
＋
[２０２１
２
a ２０２０
]
＝２＋２０１９＝２０２１．故选
C ．
第
１２
题图
１２ư
由题意知正方体棱长为
３
,球O 的球心为正方体的中心,以点 D 为坐标
原点,建立如图所示的空间直角坐标系 D Ｇxyz ,则 A (
３
,
０
,
０
),A １
(
３
,
０
,
３
),B (
３
,
３
,
０
),C １
(
０
,
３
,
３
),D (
０
,
０
,
０
),
∴E (
２
,
１
,
１
),F (
１
,
１
,
２
),O (３
２
,
３
２
,３
２
),O E→＝
(１
２
,
－１
２
,
－１
２
),E F→＝
(
－１
,
０
,
１
),
∴
点 O 到直线E F 的
距离d ＝ |O E→|
２
－
(O E→ŰE F→
|E F→|
)２
＝１
２
．又球 O 的半径为r ＝ １
２ ９＋９＝３ ２
２
,因此正方体外
接球被E F 所在直线截的弦长为
２ R ２
－d ２
＝２
(３ ２
２
)２
－
(１
２
)２
＝ １７．故选
D ．
二、填空题:本题共
４
小题,每小题
５
分,共
２０
分.
１３ư２８ １４ư(３,＋∞),５ １５ư１０ １６ư[０,＋∞)
【解析】
１３ư
因为(x ２
－１
)８ 的第r ＋１
项为T r ＋１＝C r
８
(x ２)８－r (
－１
)r (
０≤r ≤８
且r ∈N ∗ ),所以x ５ 不存在,
∴a ５＝０
,x ４ 的系数为C ６
８
(
－１
)６
＝２８
,所以a ４＋a ５＝２８．
１４ư
直线y ＝x ＋２
与y －３x ＝０
的交点为(
１
,
３
),要使不等式组
y ≥x ＋２
,
y －３x ≤０
,
y ≤a
ì
î
í
ïï
ïï
表示的平面区域是一
６Ű数学参考答案(理科)
第
３
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页)】
个三角形,则a 的取值范围是a ＞３．由约束条件
y ≥x ＋２
,
y －３x ≤０
,
y ≤a
ì
î
í
ïï
ïï
知,当a ＝６
时,z ＝－x ＋２y 的
最小值为
５．
１５ư
由题意可得 F (
０
,
－２
),则 p ＝４
,抛物线方程为 x ２
＝ －８y ．设直 线 A B 方 程 为y ＝kx －２
,
A (x １
,y １
),B (x ２
,y ２
),其中y １＝－
x １
２
８
,y ２＝－
x ２
２
８
．由y ＝－
x ２
８
得y′＝－
x
４
,所以在点 A 处
的切线方程为y －y １＝－
x １
４
(x －x １
),化简得y ＝－
x １
４
x ＋
x １
２
８
,
①
同理可得在点 B 处的切
线方程为y ＝－
x ２
４
x ＋
x ２
２
８
．②
联立
①②
得x M ＝
x １＋x ２
２
,又
∵M 的横坐标为
２
,
∴x １ ＋x ２ ＝
４．将 A B 方程代入抛物线得x ２
＋８kx －１６＝０
,
∴x １ ＋x ２ ＝－８k ＝４
,
∴k ＝－１
２
,
∴y １ ＋y ２ ＝
k (x １＋x ２
)
－４＝－１
２×４－４＝－６
,
∴|A B | ＝p －y １－y ２＝１０．
１６ư∵f (π
２
)
≤ π
２
a ,f (π
２
)
＝０
,
∴a ≥０．由题意得 f′(x )
＝ －２sin x ＋
[
sin x ＋x (
cos x )]
－１＝
－sin x ＋x cos x －１
,令g (x )
＝－sin x ＋x cos x －１
,则g′(x )
＝－x sin x ．∴
当x ∈
( π
２
,
π
]
时,g′(x )
＜０
,g (x )单调递减;当x ∈
(
π
,３π
２
)时,g′(x )
＞０
,g (x )单调递增,
∴g (x )的最小值
为g (
π
)
＝－π－１．又
∵g (π
２
)
＝－２
,g (３π
２
)
＝０
,
∴x ∈
[ π
２
,３π
２
],g (x )
≤０
,即f′(x )
≤０
,
∴f
(x )在区间[π
２
,３π
２
]为减函数．∵f ( π
２
)
＝０
,
∴
当 x ∈
[ π
２
,３π
２
]时,f (x )
≤０．又当a ≥０
,x ∈
[π
２
,３π
２
]时,ax ≥０
,故f (x )
≤ax 恒成立,因此a 的取值范围是[
０
,
＋∞
)．
三、解答题．
１７ư(１２
分)
解:(１)∵(a －c )(sin A ＋sin C )＝(b －c )sin B ,
∴
由正弦定理得(a －c )(a ＋c )＝(b －c )b , (１
分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
∴
b ２
＋c ２
－a ２
２bc ＝１
２,根据余弦定理知
cos A ＝１
２
． (３
分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
又
∵
角 A 为
△A B C 的内角,∴A ＝ π
３
． (５
分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
(２)△A B C 为等边三角形． (６
分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
∵a ＝２bcos C ,∴
由正弦定理得
sin A ＝２sin B cos C ．
由三角形内角和公式得 A ＝π－(B ＋C ),故
sin A ＝sin (B ＋C ),
∴sin (B ＋C )＝２sin B cos C ,整理得
sin B cos C －cos B sin C ＝０, (９
分)ƺƺƺƺƺƺƺ
∴sin (B －C )＝０,又B －C ∈(－π,π),∴B ＝C ． (１１
分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
又由(１)知 A ＝ π
３,∴△A B C 为等边三角形． (１２
分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
６Ű数学参考答案(理科)
第
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１８ư(１２
分)
解:(１)由直方图知(０．００５＋a ＋０．０２＋０．００７５＋０．００２５)×２０＝１,解得a ＝０．０１５． (２
分)ƺƺƺ
设该市居民对猪肉价格上涨幅度的平均心理预期值为x ,则
x ＝(０．００５×２０＋０．０１５×４０＋０．０２×６０＋０．００７５×８０＋０．００２５×１００)×２０＝５５,
所以该市居民对猪肉价格上涨幅度的平均心理预期值为
５５％． (５
分)ƺƺƺƺƺƺƺƺ
(２)由题意,样本中,“信心十足型”型居民有
０．００５×２０×２００＝２０
人．
“信心不足型”型居民有
０．００２５×２０×２００＝１０
人．
由分层抽样的定义可知“信心十足型”居民抽取
４
人,“信心不足型”居民抽取
２
人．(６
分)
则 X 的可能取值为
１,２,３,
P (X ＝１)＝C
１
４ŰC
２
２
C
３
６ ＝１
５＝０．２, (７
分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
P (X ＝２)＝C
２
４ŰC
１
２
C
３
６ ＝３
５＝０．６, (８
分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
P (X ＝３)＝C
３
４ŰC
０
２
C
３
６ ＝１
５＝０．２, (９
分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
故 X 的分布列为
X １ ２ ３
P ０．２ ０．６ ０．２
(１０
分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
E (X )＝１×０．２＋２×０．６＋３×０．２＝２, (１１
分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
D (X )＝(１－２)２
×０．２＋(２－２)２
×０．６＋(３－２)２
×０．２＝０．４． (１２
分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
１９ư(１２
分)
证明:(１)∵A B ＝B C ,E 为A C 的中点,∴B E ⊥A C ． (１
分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
又
∵P A ⊥
平面 A B C ,B E ⊂
平面 A B C ,∴P A ⊥B E ． (２
分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
∵P A ∩A C ＝A ,P A ,A C ⊂
平面 P A C ∴B E ⊥
平面 P A C ,又
∵B E ⊂
平面 B E F ,∴
平面
B E F ⊥
平面 P A C ． (４
分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
(２)如图,由(１)知,P A ⊥B E ,P A ⊥A C ,点E ,F 分别为A C ,P C 的中点,
∴E F ∥P A ,∴E F ⊥B E ,E F ⊥A C ,又
∵B E ⊥A C , (５
分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
∴E B ,E C ,E F 两两垂直,以E 为原点,以E B→,E C→,E F→方向为x ,y ,z 轴建立坐标系,
第
１９
题图
则 A (０,－２,０),P (０,－２,２),B (２ ３,０,０),
C (０,２,０),E (０,０,０),F (０,０,１)．
设B G→＝λB P→＝(－２ ３λ,－２λ,２λ)(λ∈(０,１)),
∴G (２ ３(１－λ),－２λ,２λ), (６
分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
∴A G→＝A B→＋B G→＝(２ ３(１－λ),２(１－λ),２λ),
E F→＝(０,０,１),E G→＝(２ ３(１－λ),－２λ,２λ)．
设平面E F G 的法向量为m→
＝(a ,b ,c ),
则
m→
ŰE F→＝０,
m→
ŰE G→＝０,
{ ⇒
c ＝０,
２ ３(１－λ)Űa －２λŰb ＋２λŰc ＝０,
{
令a ＝λ,则b ＝ ３(１－λ),∴m→
＝(λ, ３(１－λ),０)． (８
分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
６Ű数学参考答案(理科)
第
５
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页)】
B C→＝(－２ ３,２,０),P C→＝(０,４,－２),设平面 P B C 的法向量n→
＝(x ,y ,z ),
则
n→
ŰB C→＝０,
n→
ŰP C→＝０,
{ ⇒ －２ ３x ＋２y ＝０,
４y －２z ＝０,
{
令x ＝１,则y ＝ ３,z ＝２ ３,∴n→
＝(１, ３,２ ３)． (９
分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
由已知
|cos ＜m→
,n→
＞| ＝ １－１５
１６＝ １
４,∴
λ＋３(１－λ)
λ２
＋３(１－λ)２
Ű １＋３＋１２
＝ １
４ ⇒λ＝
１, (１１
分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
因为λ∈(０,１),故线段 P B 上不存在点G ,使得直线 A G 与平面P B C 所成的角的正弦
值为 １５
４
． (１２
分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
２０ư(１２
分)
解:(１)由题意得:
b
e ＝
ab
c ＝４ ３,２a ＝８,又a ２
＝b ２
＋c ２
, (１
分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
联立以上可得:a ２
＝１６,b ２
＝１２,c ２
＝４,∴
椭圆C 的方程为x ２
１６＋
y ２
１２＝１． (４
分)ƺƺƺƺƺ
(２)由(１)得 A (４,０),
当直线l ⊥x 轴时,又 A E ⊥A F ,联立
y ＝－x ＋４,
x ２
１６＋
y ２
１２＝１,{ 得
７x ２
－３２x ＋１６＝０,
解得x ＝４
７
或x ＝４,所以x E ＝x F ＝４
７,此时 P (４
７,０),直线 A P 的斜率为
０． (５
分)ƺƺ
当直线l 不垂直于x 轴时,设E (x １,y １),F (x ２,y ２),直线l ∶y ＝kx ＋t (t ≠－４k ,k ≠０),
联立 y ＝kx ＋t ,
３x ２
＋４y ２
＝４８,
{ 整理得(３＋４k ２
)x ２
＋８ktx ＋４t ２
－４８＝０,
依题意Δ＝６４k ２t ２
－４(３＋４k ２
)(４t ２
－４８) ＞０, 即
１６k ２
－t ２
＋１２＞０(∗) 且 x １ ＋x ２ ＝
－ ８kt
３＋４k ２ ,x １Űx ２＝４t ２
－４８
３＋４k ２
． (７
分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
又
∵A E ⊥A F ,
∴A E→ŰA F→＝(x １－４)Ű(x ２－４)＋y １Űy ２＝(x １－４)Ű(x ２－４)＋(kx １＋t )(kx ２＋t )＝(１
＋k ２
)x １Űx ２＋(kt －４)(x １＋x ２)＋１６＋t ２
＝７t ２
＋３２kt ＋１６k ２
３＋４k ２ ＝０,
∴７t ２
＋３２kt ＋１６k ２
＝０,即(７t ＋４k )(t ＋４k )＝０,∴t ＝－４k
７
且t 满足(∗), (９
分)ƺƺƺ
∴２O P→＝O E→＋O F→＝(x １＋x ２,y １＋y ２)＝(－ ８kt
３＋４k ２ , ６t
３＋４k ２),∴P (－ ４kt
３＋４k ２ , ３t
３＋４k ２),
故直线A P 的斜率k A P ＝
３t
３＋４k ２
－ ４kt
３＋４k ２ －４
＝－ ３t
１６k ２
＋４kt ＋１２＝
k
８k ２
＋７＝ １
８k ＋７k
, (１０
分)ƺƺ
当k ＜０
时,８k ＋７k ≤－４ １４,此时
－ １４
５６ ≤k A P ＜０;
当k ＞０
时,８k ＋７k ≥４ １４,此时
０＜k A P ≤ １４
５６ ; (１１
分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
６Ű数学参考答案(理科)
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６
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页)】
综上,直线 A P 的斜率的取值范围为[－ １４
５６ , １４
５６ ]． (１２
分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
２１ư(１２
分)
解:(１)当a ＝１,b ＝－４
时,f (x )＝x ２
－x －３ln x (x ∈(０,＋∞))．
f′(x )＝２x －１－３x ＝２x ２
－x －３x ＝
(２x －３)(x ＋１)
x , (１
分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
令f′(x )＝０
得x ＝３
２,或x ＝－１(舍去)．
∵
当x ∈(０,３
２)时,f′(x )＜０,f (x )单调递减,
当x ∈(３
２,＋∞)时,f′(x )＞０,f (x )单调递增, (３
分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
∴f (x )单调递增区间为(３
２,＋∞),单调递减区间为(０,３
２)． (４
分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
(２)g (x )＝|ax ２
－x －ln x | ．
设φ(x )＝ax ２
－x －ln x (x ≥１),φ′(x )＝２ax －１－１x ,
１)当a ≤０
时,∵φ′(x )＜０,则φ(x )在[１,＋∞)上单调递减,且φ(１)＝a －１＜０,
∴g (x )＝－φ(x ),g (x )在[１,＋∞)上单调递增,∴g (x )min ＝g (１)＝１－a ． (６
分)ƺƺƺ
２)当a ＞０
时,φ′(x )＝２ax ２
－x －１x ,
设t (x )＝２ax ２
－x －１,∵Δ＝１＋８a ＞０,∴t (x )＝０
有两根x １,x ２．
∵x １＋x ２＝ １
２a ＞０,x １x ２＝－ １
２a ＜０,不妨令x １＜０＜x ２,
∴
当x ∈(０,x ２)时,t (x )＜０,即φ′(x )＜０,φ(x )在(０,x ２)上单调递减,
当x ∈(x ２,＋∞)时,t (x )＞０,即φ′(x )＞０,φ(x )在(x ２,＋∞)上单调递增． (８
分)ƺƺ
①
当t (１)＝２a －２≥０,即a ≥１
时,x ２≤１,φ(x )在[１,＋∞)上单调递增．
又
∵φ(１)＝a －１≥０,∴g (x )＝φ(x ),∴g (x )min ＝φ(x )min ＝φ(１)＝a －１． (９
分)ƺƺƺ
②
当t (１)＜０,即
０＜a ＜１
时,x ２ ＞１,φ(x )在(１,x ２)上单调递减,在(x ２,＋∞)上单调递
增．
又
∵φ(１)＝a －１＜０,φ(x )min ＝φ(x ２)＝ax ２
－x ２－ln x ２,
φ(２a )＝a Ű４a ２ －２a －ln ２a ＝２a －ln ２a ＞０,
∴
存在x ０∈(x ２,２a )⊆[１,＋∞)使得φ(x ２)＝０, (１１
分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
∴g (x )min ＝|φ(x ０)| ＝０．综上可得g (x )min ＝
１－a ,a ≤０,
０,０＜a ＜１,
a －１,a ≥１．
ì
î
í
ïï
ïï (１２
分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
２２ư(１０
分)
解:(１)将直线l 的参数方程 x ＝１＋t ,
y ＝ ３＋ ３t{ (t 为参数)消去参数t ,
得y ＝ ３x ,又x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ,得直线l 的极坐标方程为θ＝ π
３(ρ∈R )． (２
分)ƺƺ
６Ű数学参考答案(理科)
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设 P (ρ０,θ０)(ρ０≠０),M (ρ,θ),由题意θ０＝θ,①
又
∵|O P | Ű|O M | ＝１,∴ρρ０＝１,即ρ０＝１
ρ
．② (３
分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
因为点 P 在曲线C 上,所以ρ０＝２ ２sin (θ０＋ π
４),
将
①②
代入ρ０＝２ ２sin (θ０＋ π
４),得１
ρ ＝２ ２sin (θ＋ π
４),
整理得曲线E 的极坐标方程为
２ ２ρsin (θ＋ π
４)＝１． (５
分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
(２)设 A 、B 两点的极径分别为ρ１、ρ２,
联立直线l 和曲线C 的极坐标方程
θ＝ π
３,
ρ＝２ ２sin (θ＋ π
４),
ì
î
í
ï
ï
ïï
得ρ１＝２ ２sin (π
３＋ π
４)＝１＋ ３． (７
分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
联立直线l 和曲线E 的极坐标方程
θ＝ π
３,
２ ２ρsin (θ＋ π
４)＝１,
ì
î
í
ï
ï
ïï
得ρ２＝ １
２ ２sin (π
３＋ π
４)
＝ ３－１
２ , (９
分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
∴|A B | ＝|ρ１－ρ２| ＝| (１＋ ３)－ ３－１
２ | ＝ ３＋３
２
． (１０
分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
２３ư(１０
分)
解:(１)①
当x ≤－１
时,－(x －２)＋(x ＋１)＜２,无解;
②
当
－１＜x ＜２
时,－(x －２)－(x ＋１)＜２,－１
２＜x ＜２;
③
当x ≥２
时,(x －２)－(x ＋１)＜２,恒成立,x ≥２,
所以该不等式的解集为 x |x ＞－１
２
{ } ． (５
分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
(２)因为
|x －２| －|x ＋１| ≤|x －２－(x ＋１)| ≤３,
当有仅当(x －２)Ű(x ＋１)≥０,即x ≤－１
或x ≥２
时取“＝”,
所以
－３≤f (x )≤３,即
－９
２≤f (x )－３
２≤３
２
． (７
分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
又 １
２m ＋２n ＝( １
２m ＋２n )Ű
m ＋n
３ ＝１
３(１
２＋
n
２m ＋２m
n ＋２)≥３
２,
当且仅当 n
２m ＝２m
n ,即 m ＝１,n ＝２
时取等号, (９
分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
所以 １
２m ＋２n ≥f (x )－３
２
． (１０
分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ
６
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