第一单元
1、求谁比谁多（或少）百分之几， “比”字出现在最后的问题中这种类型
方法一：（大-小）÷单位“1”
方法二：（比分率法）求谁比谁多百分之几，大÷小-1
方法三：（比分率法）求谁比谁少百分之几，1-小÷大
2、解决带“比”字的百分数应用题的方法（“比”字出现在信息中这种类型）
（1）单位“1”已知，比单位“1”多（少）了百分之几
（2）单位“1”未知，比单位“1”多了（少）百分之几
3、解决百分数应用题常用的解题方法
（1）画线段图法 （2）找单位“1”法 （3）找等量关系法 （4）单位“1”未知时用方程法（5）
带“比”字的百分数应用题法（分为两种情况：比字在信息中和比字在问题中）
4、打折： 几折就是百分之几十。如打 8 折表示现价相当于原价的 80%。 几成就是百分之几十，
比如二成五就是 25%，三成就是 30%。
5、纳税的定义：根据国家税法的规定，按照一定的比率或百分率把集体或个人收入 的一部分缴纳给
国家。
6、纳税的种类：分为全额纳税和部分纳税。 如果是全额纳税，税额=营业额×税率 如果是部分纳税，
税额=（营业额-参照的标准收入）×税率
7、税收的种类：增值税、消费税、营业税和个人所得税等。 8、应纳税额（或税额）：缴纳的税款
10、税率：应纳税额与各种收入的比率，税率的计算方法用应纳税额÷各种收入 11、营业税的税额=
营业额×税率
12、利息的计算方法：利息=本金×利率×时间
13、本金：存入银行的钱
14、利率：利息与本金的比值叫做利率，利率=利息÷本金15、利率的种类：年利率和月利率，如果是年利率，计算利息要按年统计时间；如 果是月利率，计
算利息要按月统计时间。
16、税后收入=营业额×（1-税率）或营业额-营业额×税率
第二单元
二 圆柱和圆锥
一、圆柱
1、圆柱的形成：圆柱是以长方形的一边为轴旋转而得到的。
圆柱也可以由长方形卷曲而得到。（两种方式：1.以长方形的长为底面周长，宽为
高;2.以长方形的宽为底面周长，长为高。其中，第一种方式得到的圆柱体体积较大。）
2、圆柱的高是两个底面之间的距离，一个圆柱有无数条高，他们的数值是相等的
3、圆柱的特征：
（1）底面的特征：圆柱的底面是完全相等的两个圆。
（2）侧面的特征：圆柱的侧面是一个曲面。
（3）高的特征 ：圆柱有无数条高
4、圆柱的切割：①横切：切面是圆，表面积增加 2 倍底面积，即 S 增 =2πr²
②竖切（过直径）：切面是长方形（如果 h=2R，切面为正方形），该长方形的长是圆
柱的高，宽是圆柱的底面直径，表面积增加两个长方形的面积，即 S 增=4rh
5、圆柱的侧面展开图：①沿着高展开，展开图形是长方形，如果 h=2πr，展开图形为正方形
②不沿着高展开，展开图形是平行四边形或不规则图形
③无论怎么展开都得不到梯形
6、圆柱的相关计算公式：底面积 ：S 底=πr²
底面周长：C 底=πd=2πr
侧面积 ：S 侧=2πrh
表面积 ：S 表=2S 底+S 侧=2πr²+2πrh
体积 ：V 柱=πr²h 考试常见题型：①已知圆柱的底面积和高， 求圆柱的侧面积，表面积，体积，底面周长
②已知圆柱的底面周长和高，求圆柱的侧面积，表面积，体积，底面积
③已知圆柱的底面周长和体积，求圆柱的侧面积，表面积，高，底面积
④已知圆柱的底面面积和高，求圆柱的侧面积，表面积，体积
⑤已知圆柱的侧面积和高， 求圆柱的底面半径，表面积，体积，底面积
以上几种常见题型的解题方法，通常是求出圆柱的底面半径和高，再根据圆柱的相关计算公式进行计
算
无盖水桶的表面积 =侧面积＋一个底面积
油桶的表面积 =侧面积＋两个底面积
烟囱通风管的表面积=侧面积
只求侧面积：灯罩、排水管、漆柱、通风管、压路机、卫生纸中轴、薯片盒包装
侧面积+一个底面积：玻璃杯、水桶、笔筒、帽子、游泳池
侧面积+两个底面积：油桶、米桶、罐桶类
二、圆锥
1、圆柱的形成：圆锥是以直角三角形的一直角边为轴旋转而得到的
圆锥也可以由扇形卷曲而得到
2、圆锥的高是两个顶点与底面之间的距离，与圆柱不同，圆锥只有一条高
3、圆锥的特征：
（1）底面的特征：圆锥的底面一个圆。
（2）侧面的特征：圆锥的侧面是一个曲面。
（3）高的特征 ：圆锥有一条高。
4、圆柱的切割：①横切：切面是圆
②竖切（过顶点和直径直径）：切面是等腰三角形，该等腰三角形的高是圆锥的高，底是圆锥的底面直径，面积增加两个等腰三角形的面积，
即 S 增=2rh
5、圆锥的相关计算公式：底面积 ：S 底=πr²
底面周长：C 底=πd=2πr
体积 ：V 锥=1
3
πr²h
考试常见题型：①已知圆锥的底面积和高，求体积，底面周长
②已知圆锥的底面周长和高，求圆锥的体积，底面积
③已知圆锥的底面周长和体积，求圆锥的高，底面积
以上几种常见题型的解题方法，通常是求出圆锥的底面半径和高，再根据圆柱的相关计算公式进行计
算
三、圆柱和圆锥的关系
1、圆柱与圆锥等底等高，圆柱的体积是圆锥的 3 倍。
2、圆柱与圆锥等底等体积，圆锥的高是圆柱的 3 倍。
3、圆柱与圆锥等高等体积，圆锥的底面积(注意：是底面积而不是底面半径)是圆柱的 3 倍。
4、圆柱与圆锥等底等高 ，体积相差 2
3
Sh
题型总结
①直接利用公式：分析清楚求的的是表面积，侧面积、底面积、体积
分析清楚半径变化导致底面周长、侧面积、底面积、体积的变化
分析清楚两个圆柱(或两个圆锥)半径、底面积、底面周长、侧面积、表面积、体积之
比
②圆柱与圆锥关系的转换：包括削成最大体积的问题(正方体，长方体与圆柱圆锥之间)③横截面的问题
④浸水体积问题：(水面上升部分的体积就是浸入水中物品的体积，等于盛水容积的底面积乘以上升
的高度)容积是圆柱或长方体，正方体
⑤等体积转换问题：一个圆柱融化后做成圆锥，或圆柱中的溶液倒入圆锥，都是体积不变的 问题，
注意不要乘以1
3
四、典型题：
1、一个圆柱的侧面展开是一个正方形，它的高是底面直径的π倍，
即 h=C=πd,它的侧面积是 S 侧=h²
2、圆柱的底面半径扩大 2 倍，高不变，表面积扩大 2 倍，体积扩大 4 倍。
3、圆柱的底面半径扩大 2 倍，高也扩大 2 倍，表面积扩大 4 倍，体积扩大 8 倍。
4、圆柱的底面半径扩大 3 倍，高缩小 3 倍，表面积不变，体积扩大 3 倍。
5、一个圆柱和它等底等高的圆锥体积之和是 48 立方厘米，这个圆柱的体积是（ ）立方厘米，圆
锥的体积是（ ）立方厘米
圆锥和它等底等高的圆柱体积之比是 1 ：3，圆柱占 1 份，圆锥占 3 份，一共 4 份，题目中说了 4
份的和一共是 48 立方厘米。 圆锥占了 4 份中的 1 份，圆柱占了 4 份中的 3 份
V 锥：48÷4=12(立方厘米) 或 48×1
4
=12(立方厘米)
V 柱：48÷4=12(立方厘米) 12×3=36(立方厘米) 或 48×3
4
=36(立方厘米)
6、一个圆柱和它等底等高的圆锥体积之差是 24 立方分米，这个圆柱的体积是（ ）立方分米，
圆锥的体积是（ ）立方分米。
圆锥和它等底等高的圆柱体积之比是 1 ：3，圆柱占 1 份，圆锥占 3 份，1 份和 3 份相差了 2 份，
题目中说了相差 24 立方分米，2 份就是 24 立方分米
圆锥占了 2 份中的 1 份，圆柱占了 2 份中的 3 份V 锥：24÷2=12(立方分米) 或 24×1
2
=12(立方分米)
V 柱：24÷2=12(立方分米) 12×3=36(立方分米) 或 24×3
2
=36(立方分米)
7、一个圆柱和一个圆锥，体积相等，底面积也相等，圆柱的高是 2 厘米，圆锥的高是（ ）厘
米。
V 柱=V 锥 V 柱=V 锥
S 柱底 h 柱= 1
3
S 锥底 h 锥 S 柱底 h 柱= 1
3
S 锥底 h 锥
h 柱= 1
3
h 锥 S 柱底= 1
3
S 锥底
2= 1
3
h 锥 4 = 1
3
S 锥底
h 锥= 2÷1
3
S 锥底= 4÷1
3
h 锥=6 S 锥底=12
8、一个圆柱和一个圆锥体积相等，高也相等，圆柱的底面积是 4 平方分米，圆锥的底面积是（ ）
平方分米。
9、一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，体积的比是 1：6。如果圆锥的高是 3.6 厘米，圆柱的高是
（ ）厘米，如果圆柱的高是 3.6 厘米，圆锥的高是（ ）厘米。
1
3
S 锥底 h 锥 1 1
3
S 锥底 h 锥 1
S 柱底 h 柱 6 S 柱底 h 柱 6
1
3
h 锥 1 1
3
h 锥 1
h 柱 6 h 柱 6
h 柱×1 = 1
3
×h 锥×6 h 柱 = 1
3
×h 锥×6
h 柱 = 1
3
×3.6×6 h 柱÷1
3
÷6 = h 锥
h 柱 = 7.2 3.6÷1
3
÷6 = h 锥
10、一个圆柱体，把它的高截短 3 厘米，它的底面积减少 94.2 平方厘米，这个圆柱的体积减少了
（ ）立方厘米。πr²C=S 侧÷h r=C÷π÷2 V=πr²h
=94.2÷3 =31.4÷3.14÷2 =3.14×5×3
=31.4(厘米) =5(厘米) =235.5(立方厘米)
三 比例
1、比的意义
（1）两个数相除又叫做两个数的比
（2）“：”是比号，读作“比”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前
项除以后项所得的商，叫做比值。
（3）同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。
（4）比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。
（5）比的后项不能是零。
（6）根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值。
2、比的基本性质：比的前项和后项同时乘或者除以相同的数（0 除外），比值不变，这叫做比的基本
性质。
3、求比值和化简比：求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可
以是小数或分数。
根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的
数。
4、按比例分配：
在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做
按比例分配。
方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。
5、比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。组成比例的四个数，叫做比例的项。
两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。
6、比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个两个内项的积。这叫做比例的基本性质。
7、比和比例的区别
（1）比表示两个量相除的关系，它有两项（即前、后项）；比例表示两个比相等的式子，它有四项
（即两个内项和两个外项）。
（2）比有基本性质，它是化简比的依据；比例也有基本性质，它是解比例的依据。
8、成正比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的
两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。用字
母表示y
x
=k（一定）
9、成反比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的
两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。用字母表示 x×y=k
（一定）
10、判断两种量成正比例还是成反比例的方法：
关键是看这两个相关联的量中相对就的两个数的商一定还是积一定，如果商一定，就成正比例；如果
积一定，就成反比例。
四、比例尺
1、比例尺：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。
2、比例尺的分类
（1）数值比例尺和线段比例尺 （2）缩小比例尺和放大比例尺
3、图上距离：实际距离=比例尺 或 图上距离
实际距离
=比例尺
实际距离×比例尺=图上距离 图上距离÷比例尺=实际距离
4、应用比例尺画图的步骤：（1）写出图的名称、 （2）确定比例尺；
（3）根据比例尺求出图上距离；（4）画图（画出单位长度）
（5）标出实际距离，写清地点名称（6）标出比例尺
5、图形的放大与缩小：形状相同，大小不同。
6、用比例解决问题：
根据问题中的不变量找出两种相关联的量，并正确判断这两种相关联的量成什么比例关系，并根据正、
反比例关系式列出相应的方程并求解。
7、常见的数量关系式：（成正比例或成反比例）
单价×数量=总价 单产量×数量=总产量 速度×时间=路程 工效×工作时间=工作总量
总价
单价
=数量 总产量
单产量
=数量 路程
速度
=时间 工作总量
工作效率
=工作时间
总价
数量
=单价 总产量
数量
=单产量 路程
时间
=速度 工作总量
工作时间
=工作效率
8、已知图上距离和实际距离可以求比例尺。已知比例尺和图上距离可以求实际距离。已知比例尺和
实际距离可以求图上距离。计算时图距和实距单位必须统一。
9、播种的总公顷数一定，每天播种的公顷数和要用的天数是不是成反比例？
答：每天播种的公顷数×天数=播种的总公顷数
已知播种的总公顷数一定，就是每天播种的公顷数和要用的天数的积是一定的，所以每天播
种的公顷数和要用的天数成反比例。
10、判断下面各题的两个量是不是成比例，如果成比例，成什么比例？
（1）订阅《中国少年报》的份数和钱数。
因为 钱数
订阅《中国少年报》的份数
= 每份的钱数（一定）
所以，订阅《中国少年报》的份数和钱数成正比例。
（2）三角形的底一定，它的面积和高。
因为 三角形的面积
高
=1
2
（一定）所以，它的面积和高成正比例。
（3）图上距离一定，实际距离和比例尺。
因为，实际距离×比例尺=图上距离（一定）
所以，实际距离和比例尺成反比例。
（4）一条绳子的长度一定，剪去的部分和剩下的部分。
因为，剪去的部分和剩下的部分不存在比值或积一定的关系，
所以，剪去的部分和剩下的部分不成比例。
（5）圆的面积和它的半径不成正比例，因为圆的面积和它的半径的比值不一定，所以圆的面积
和它的半径不成正比例。
自行车里的数学：
前齿轮转数×前齿轮齿数=后齿轮转数×后齿轮齿数
蹬一圈走的路程=车轮周长×（蹬一圈，后轮转动的圈数）
蹬一圈走的路程=车轮周长×（前齿轮齿数：后齿轮齿数）
48:28≈1.71 48:24=2 48:20=2.4 48:18≈2.67 48:16=3 48:14≈3.43
40:28≈1.43 40:24≈1.67 40:20=2 40:18≈2.22 40:16=2.5 40:14≈2.86
前、后齿轮齿数相差大的，比值就大，这种组合走的就远，因而车速快，但骑车人较费力
前、后齿轮齿数相差小的，比值就小，这种组合走的就近，因而车速慢，但骑车人较省力
自行车跑的快慢与两个条件有关：1、前后齿轮齿数的比值。2、车轮的大小（合理）
五 扇形统计图
1.扇形统计图
用整个圆的面积表示总数，用扇形面积表示各部分所占总数的百分数。
优点：很清楚地表示出各部分同总数之间的关系。
制扇形统计图的一般步骤：
（1）先算出各部分数量占总量的百分之几。
（2）再算出表示各部分数量的扇形的圆心角度数。
（3）取适当的半径画一个圆，并按照上面算出的圆心角的度数，在圆里画出各个扇形。
（4）在每个扇形中标明所表示的各部分数量名称和所占的百分数，并用不同颜色或条纹把各个扇形
区别开。
2.条形统计图
用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条，然后把这些直线按照一定的
顺序排列起来。
优点：很容易看出各种数量的多少。
注意：画条形统计图时，直条的宽窄必须相同。 取一个单位长度表示数量的多少要根据具体情况而确定；
复式条形统计图中表示不同项目的直条，要用不同的线条或颜色区别开，并在制图日期下面注明图例。
制作条形统计图的一般步骤:
（1）根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。
（2）在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直线的宽度和间隔。
（3）在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少。
（4）按照数据的大小画出长短不同的直条，并注明数量。
3.折线统计图
用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来。
优点：不但可以表示数量的多少，而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况。
注意：折线统计图的横轴表示不同的年份、月份等时间时，不同时间之间的距离要根据年份或月份的
间隔来确定。
制作折线统计图的一般步骤:
（1）根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。
（2）在水平射线上，适当分配折线的位置，确定直线的宽度和间隔。
（3）在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少。
（4）按照数据的大小描出各点，再用线段顺次连接起来，并注明数量。
六、智慧广场
1、结合具体情境，让学生在运用列举法、画图法解决问题的过程中，发现规律并学会运用假设的策
略解决问题，从而建立数学模型；
2、在经历探索规律、建立模型的过程中，体验不同解决问题的策略；
3、使学生在积极解决问题的过程中，进一步积累经验；
常见乘法计算（敏感数字） ：25×4＝100 125×8＝1000
加法交换律简算例子 加法结合律简算例子 乘法交换律简算例子 乘法结合律简算例子
0.875+2
3
+1
8
2
3
+1
4
+0.8 0.4×33×5
2
23×0.375×16
3
=7
8
+2
3
+1
8
=2
3
+1
4
+4
5
=2
5
×33×5
2
=23×3
8
×16
3
=7
8
+1
8
+2
3
=2
3
+(1
4
+4
5
) =2
5
×2
5
×33 =23 ×(3
8
×16
3
)
=1+2
3
=2
3
+1 =1×3 =23×2
含加法交换律与结合律 含乘法交换律与结合律 数字换减法式 数字换加法式
0.875+2
3
+1
8
+1
3
0.375×29
7
×16
3
× 7
29
35× 5
36
101× 9
10
=7
8
+2
3
+1
8
+1
3
=3
8
×29
7
×16
3
× 7
29
= (36-1) × 5
36
= (100+1) × 9
10
=7
8
+1
8
+ 2
3
+1
3
=3
8
×16
3
×29
7
× 7
29
=36× 5
36
-1× 5
36
=100× 9
10
+1× 9
10
= (7
8
+1
8
)+ (2
3
+1
3
) = (3
8
×16
3
)×(29
7
× 7
29
) =5- 5
36
=1+ 9
10
=1+1 =2×1
乘法分配律提取式 乘法分配律提取式 乘法分配律(添项) 乘法分配律(添项)
101×0.9- 9
10
×1 95.5÷1.6-15.5÷1.6 101×0.9- 9
10
52×5
8
+29×5
8
-0.625
=101× 9
10
- 9
10
×1 =(95.5-15.5)÷1.6 =101× 9
10
- 9
10
=52×5
8
+29×5
8
-5
8
=101× 9
10
-1× 9
10
=80÷1.6 =101× 9
10
-1× 9
10
=52×5
8
+29×5
8
-1×5
8
=(101-1) × 9
10
=800÷16 =(101-1) × 9
10
=(52+29-1)×5
8
=100× 9
10
=100× 9
10
=80×5
8
减法的性质简算例子 减法的性质简算例子 减法的性质简算例子 数字换乘法式
18-5
8
-0.375 13
4
- 7
16
-0.75 122
5
-( 7
16
+0.4) 0.56×125
=18-5
8
-3
8
=13
4
- 7
16
-3
4
=122
5
-( 7
16
+2
5
) =0.7×0.8×125
=18-(5
8
+3
8
) =13
4
-3
4
- 7
16
=122
5
-2
5
- 7
16
=0.7×(0.8×125)
=18-1 =1- 7
16
=12- 7
16
=0.7×100
除法的性质简算例子 除法的性质简算例子 除法的性质简算例子 数字换乘法式
3200÷2.5÷0.4 2700÷2.5÷2.7 5900÷(2.5×5.9) 33333×33333
=3200÷(2.5×0.4) =2700÷2.7÷2.5 =5900÷5.9÷2.5 =11111×3×33333
=3200÷1 =1000÷2.5 =1000÷2.5 =11111×99999
同级运算中，第一个数不能动，后面的数可以带着符号搬家 =11111×(100000-1)
12
3
+ 7
16
-2
3
250÷0.8×0.4 12
3
- 7
16
+1
3
29×0.25÷0.29
=12
3
-2
3
+ 7
16
=250×0.4÷0.8 =12
3
+1
3
- 7
16
=29÷0.29×0.25
=1+ 7
16
=100÷0.8 =2- 7
16
=100×0.25
解方程方法一：消项(如果消＋3，方程两边就同时－3 ；如果消×3，方程两边就同时÷3)
1：把方程里的“括号”全部去掉，两种去括号的方法任选其一
2：如果两边都有 几 , 要先消去其中一边的 几 (如果有“-几 ”，就把“-几 ”消去，如果没有“-几 ”，就把较小的 消去掉)
3：消去 “-几 ”， 消去“÷ ”
4：把 这边的数字全部消掉，先消“+ -” 再消“÷” 最后消“×”
(注意：无论解到哪一步，数字+几 都要写成 几 +数字)
解方程方法二：移项(＋3 移到另一边就变成－3，×3 移到另一边就变成÷3)
1：把方程里的“括号”全部去掉，两种去括号的方法任选其一
2：如果两边都有 几 ,就把其中一边的 几 移到另一边
(如果有“-几 ”，就把“-几 ”移到另一边。如果没有“-几 ”，就把较小的 移到另一边)
3：把“-几 ”移到另一边，把 “÷ ”移到另一边”
4：把 这边的数字全部移到另一边，先移“+ -” 再移“÷” 最后移“×”
(注意：无论解到哪一步，数字+几 都要写成 几 +数字)
长度单位换算 km m dm cm mm
1 千米=1000 米 1 米=10 分米 1 分米=10 厘米 1 米=100 厘米 1 厘米=10 毫米
面积单位换算 km² m² dm² cm² mm²
1 平方千米=100 公顷 1 公顷=10000 平方米 1 平方米=100 平方分米
1 平方分米=100 平方厘米 1 平方厘米=100 平方毫米
体(容)积单位换算 L mL m³ dm³ cm³
1 立方米=1000 立方分米 1 立方分米=1000 立方厘米 1 升=1000 毫升
1 立方米=1000 升 1 立方分米=1 升 1 立方厘米=1 毫升
质量单位换算 t kɡ ɡ
1 吨=1000 千克 1 千克=1000 克 1 千克=1 公斤 人民币单位换算
1 元=10 角 1 角=10 分 1 元=100 分
时间单位换算 h min s
1 世纪=100 年 1 年=12 月 大月(31 天)有:1\3\5\7\8\10\12 月 小月(30 天)的有:4\6\9\11 月
平年 2 月 28 天, 闰年 2 月 29 天 平年全年 365 天, 闰年全年 366 天
1 日=24 小时 1 时=60 分 1 分=60 秒 1 时=3600 秒
+ - × ÷ = ( ) ² ³ πr²
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