六年级下册数学素材-数与代数概念部分（西师大版）

西师大版六年级数学下册知识要点总结 知识点总结 总复习（数与代数概念部分） 一、数的意义： 1、整数：像—3、—2、—1、0、1、2、3……这样的数统称为整数。整数 的个数是无限的。没有最小的整数，也没有最大的整数，自然数是整数的 一部分。 2、自然数：用来表示物体个数的数。像 1、2、3、4、5……叫做自然数。 一个物体也没有用 0 表示。自然数的个数是无限的，最小的自然数是 0，没 有最大的自然数。 3、小数：把整数“1”平均分成 10 份、100 份、1000 份……这样的一分或 几份的数是十分之几、百分之几、千分之几……可以用小数表示。 4、小数的分类： （1）纯小数和带小数：整数部分是 o 的小数叫做纯小数，整数部分不是 o 的小数叫做带小数。 （2）有限小数和无限小数：小数部分的位数是有限的小数叫做有限小数； 小数部分的位数是无限的小数叫做无限小数。 （3）循环小数：一个小数，从小数部分的某一位起一个数字或几个数字依 次不断地重复出现，这样的小数叫做循环小数。 （4）循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这 个小数的循环节。 (5）纯循环小数和混循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫做 纯循环小数；循环节不是从第一位开始的，叫做混循环小数。 5、计数单位：个、十、百、千以及十分之一、百分之一、千分之一都是计 数单位。 6、数位：各个计数单位所占的位置叫做数位。 7、十进制计数法：“十进制计数法”是世界各国最常用的一种计数方法。 它的特点是每相邻的两个计数单位之间的进率都是“十”就是 10 个较低的 计数单位可以进成一个较高的计数单位（既通常说的“逢十进一”），这 种以“十”为基础进位的计数方法，叫做十进制计数法。 8、整数和小数数位顺序表： 9、分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做 分数。 （1）分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份的数就是 这个分数的分数单位。 （2）分数的分类：真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于 1。假分数：分子比分母大或者分子等于分母的分数叫做假分数，假分数≧ 1 10、百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，百分数 也叫百分率或百分比。百分数的分数单位是 1%。百分数的分母是 100。 11、分数和百分数的关系：分数既可以表示一个数（后面可加数量单位）； 也可以表示两个数的比（两数之间的关系）。而百分数只表示一个数占另 一个数的百分比（两数之间的关系），不能表示具体的数。因此百分数不 带单位。 12、 正 数 和 负 数 ： 像 1/3、 +2、 0.5、 +4.5… 这 样 的 数 叫 做 正 数 ； 像 ― 1/2、―5.5、―6…这样的数叫做负数。 （不能认为：一个数的前面加上“+”号这个数就是正数，也不能认为： 一个数的前面加上“—”号这个数就是负数）。比如：“—a”这个数我们 就不能判断是负数，因为 a 可能：是正数、是负数、0 都有可能；所以我们 无法判断。 自然数是等于或大于 0 的整数，也可以说是不小于 0 的整数，既是非负整 数。0 既不是正数也不是负数。 二、数的读法和写法。 1、读法：从高位到低位，一级一级的往下读，每一级末尾的 0 都不读出来， 其他数位的连续的几个 0 都只读一个。 2、写法：从高位到低位，一级一级的往下写，哪一个数位上一个单位也没 有，就在那个数为上写 0。 （一）、小数的读法与写法： 读法：通常是整数部分按整数的读法去读，小数点读作“点”，小数部分 按从左向右的顺序只读出数字。 写法：写小数时，整数部分按整数部分的写法去写，小数点写在个位的右 下角，小数部分按从左向右的顺序 依次写出每一个数位上的数字。 （二）、分数的读法与写法： 读法：读分数时，先读分数的分母，再读“分之”最后读分子。读带分数 时，要先读整数部分，再读“又”字，最后按分数部分的读法读分数部分。 （分数线的读法：“分之”）， 写法：写分数时，要先写分数线，再写分母，最后写分子，写带分数时， 要先写整数部分，再写分数部分，整数部分要对其分数线，二者要紧凑。 （三）、百分数的读法与写法： 读法：百分数的读法与分数相同。 写法：百分数通常不写成分数形式，而是在原来的分子后面加上百分号 “%”来表示。写百分数时，先写分子，再写百分号。 （四）、数的大小比较： 1、整数的大小比较：比较两个整数的大小，首先要看它们的位数，如果位 数不相同，那么位数多的那个数就大；如果位数相同，就先从高位比起， 相同数位上的数大的那个数就大； 2、小数的大小比较：先比较它们的整数部分，整数部分大的那个数就大； 整数部分相同的，十分位上数大的那个数就大；十分位上的数字相同，百 分位上的数大那个数就大。…以此类推。 3、分数的大小比较：分母相同的分数，分子大的那个分数就大；（因为分 母相同，分数单位就相等，分子大的就意味着含有的分数单位多。）；分 子相同的分数相比较，分母小的那个分数大。（分子相同含有的分数单位 数相同，分母小的分数分数单位就大）分子、分母都不同的分数相比较， 先通分，转化成同分母分数后，再比较大小。 4、正数和负数的大小比较：负数都比正数小。0 大于一切负数，0 小于一 切正数。 5、两个负数相比较：如果 a＞b（a、b 均为正数），则－a＜－b。就是在 不看负数符号的情况下：数大的那个数反而小。 三、数的性质： 1、分数的性质：分子和分母同时乘上或者除以相同的数（0 除外），分数 的大小不变。（注意：分数的分单位有变化，分子、分母都有变化） 2、约分和通分：把一个分数化成和原分数相等的，且分子分母都比原分数 小的的分数叫做约分；把异分母分数分别化成和原分数相等的同分母分数， 叫做通分。 3、最简分数：分子和分母只有公因数 1 的分数叫做最简分数。 4、小数的基本性质：小数的末尾添上或去掉 0，小数的大小不变。（注意： 小数的位数有变化，精确度有变化。） 5、小数点的位置移动引起小数的大小变化规律：小数点每向右移动一位、 两位、三位···这个数就扩大到原来的 10 倍、100 倍、1000 倍···； 小数点每向左移动一位、两位、三位···该数就缩小到原数的 1/10、1/100、 1/1000···。 四、数的改写： 1、把多位数改写成以”万“或者以”亿”单位的数。 （1）直接改写：把多位数改写成以”万“或者以”亿”单位的数，先把原 来的小数点向左移动 4 位或者 8 位，再在数后面加上“万”或“亿”字， 中间用“=”连接。 （2）省略尾数改写成近似数：先用“四舍五入法”省略万位或者亿位后面 的尾数，再在这个数的后面写上“万”字或者“亿”字。得出的是近似数， 中间用“≈”连接。 2、求小数的近似数：根据要求，要把小数保留到哪一位，就把这一位后面 的尾数按照“四舍五入法”省略，中间用“≈”。 3、小数、分数、百分数的互化： 小数化成分数方法：先看小数点后面有几位小数，就在 1 的后面添上几个 0 做分母，原来的小数去掉小数点后做分子。能约分的要约成最简分数。 分数化成小数方法：用分子除以分母。 小数化成百分数的方法：把小数的小数点向右移动两位，（位数不足时用 0 补足）同时在后面添上“%”。 百分数化成小数的方法：把百分数的分子的小数点向左移动两位，同时去 掉后面的“%”。 百分数化成分数的方法：先把百分数的改写成分母是 100 的分数，然后约 成最简分数。 分数化成百分数的方法：先把分数化成小数，在把小数化成百分数。 4、判断一个分数能否化成有限小数的方法：一个最简分数，如果分母中除 了含有质因数 2 和 5 以外，不含有其它质因数， 这个分数就能化成有限 小数；如果分母中含有了 2 和 5 以外的其他质因数，这个分数就不能化成 有限小数。 五、数的整除： 1、整除：整数 a 除以整数 b（b≠0），除得的商正好是整数且没有余数， 我们就说数 a 能被数 b 整除。（也可以说 b 能整除 a）。 2、因数和倍数：如果 a×b=c（a、b、c 都是非 0 整数）那么 a、b 就叫做 c 的因数，c 就叫做 a、b 的倍数。 一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是 1，最大的因数 是它本身。 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最 大的倍数。 3、公因数和最大公因数：几个数的公有的因数，叫做这几个数的公因数； 其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。 4、公倍数和最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其 中最小的那个数叫做这几个数的最小公倍数。。 5、求两个数的最大公因数的方法：一般采用列举法，就是把两个数的因数 一一列举出来，然后找出两个数的公因数，其中最大的那个数就是这两个 数最大公因数。也可以采用短除法。 短除法求最大公因数的方法：把两个数写在的横线上，先用着这两个数 的公有质因数做除数，如果两个数的商是互质数，除数就是这两个数的所 得的商就是这两个数的最大公因数。如果两个数的商不互质，就按照上面 的方法继续除，直到两个数的商最后是互质数为止，然后把所有的除数连 乘起来，所得的积就是这两个数的最大公因数。 6、求两个数的最小公倍数的方法：一般也采用列举法，把两个数的倍 数数根据需要按从小到大的顺序列举一部分，然后找出两个数的公有的倍 数，其中最小的那个公倍数就是这两个数的最小公倍数。也可以采用短除 法。 短除法求最小公倍数的方法：把两个数写在的横线上，先用着这 两个数的公有质因数做除数，所得的商写在横线下的相对应的位置，如果 两个数的商是互质数，就把除数和最后的两个商连乘起来，所得的积就是 这两个数的最小公倍数；如果两个数的商不互质， 就按照上面的方法继续 除，直到两个数的商最后是互质数为止，然后把所有的除数和最后所得商 连乘起来，所得的积就是这两个数的最小公倍数。 7、求两个数的最大公因数和最小公倍数的特殊方法： 如果两个数中，较大数是较小数的倍数，较小数就是较大数的因数， 则较大数是这两个数的最小公倍数；较小数是这两个数的最大公因数。 如果两个数是互质数，则它们的最大公因数是 1，最小公倍数是这 两个数的乘积。 8、奇数和偶数、在自然数中，是 2 的倍数的数叫做偶数，不是 2 的倍数的 数叫做奇数，最小的偶数是 0，最小的奇数是 1。 9、2、5、3 的倍数的特征。 （1）2 的倍数的特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数都是 2 的倍 数。 （2）5 的倍数的特征：个位上是 0 或 5 的数都是 5 的倍数。 （3）3 的倍数特征：一个数各个数位上的数字的和是 3 的倍数， 这个数就是 3 的倍数。 10、质数和合数：一个数，如果只有 1 和它本身两个因数，这样的数叫做 质数（或素数）；一个数，如果除了 1 和它本身还有别的因数，这样的数 叫做合数。质数有且只有两个因数，合数至少有三个因数。 1 既不是质数 也不数合数。 11、质因数与分解质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其 中每个质数都是这个合数的质因数。把一个合数用质数相乘的形式表示出 来，就是分解质因数。 12、分解质因数的方法：把一个合数分解质因数，通常用短除法，分解质 因数时，先用这个合数的质因数（通常用最小的开始）去除，得出的商如 果是质数，就把除数和商写成相乘的形式；得出的商如果是合数，就照上 面的方法继续下去，直到得出商是质数为止，然后把各个除数和最后的商 写成连乘的形式。 13、大于 0 的自然数的分类方法： （1）根据是否是 2 的倍数，自然数可分为：奇数和偶数。 （2）根据所含因数的个数，自然数可分为：1、质数、合数。 六、数的运算： 1、加法的意义：把两个数（或几个数）合并成一个数的运算。 2、减法的意义：已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。 3、乘法的意义： （1）一个数乘整数，就是求几个相同加数和的简便运算。 （2）一个数乘小数，可以看作是求这个数的十分之几，百分之几···是 多少？ （3）一个数乘分数，就是求这个数的几分之几是多少。 4、除法的意义：以这两个数的积和其中的一个因数，求另一个因数的运算。 5、计算方法： 1、加法的计算方法。 （1）整数和小数：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十， 要向前一位进 1。（2）分数：同分母分数相加，分母不变只把分子相加。 异分母分数相加，先通分，再按照同分母分数加法法则进行计算。 2、减法的计算方法： （1）整数和小数：相同数位对齐，从低位减起，哪一位上的数不够减，从 前一位退 1，在本位上加 10 后再减。 （2）分数：同分母分数相减，分母不变，只把分子相减。（分子之差做分 子）异分母分数相减，先通分，再按照同分母分数减法法则进行计算。 3、乘法的计算方法： ⑴整数乘法的计算方法：相同数位对齐，从末尾乘起，用第二个因数 的每一位上的数去乘第一个因数，用哪一位的数去乘，乘得的积的末尾就 要和那一位对齐，最后把每次乘得的积的相加。 ⑵小数乘法的计算方法：计算小数乘法，末尾对齐，先按照整数乘法 的计算方法算出积，再看因数中一共有几位小数， 就从积的末尾起向 左数出几位，点上小数点。 ⑶分数乘法的计算方法：分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相 乘的积作分母（能约分的要先约分）。 ⑷除法的计算方法：整数除法的计算方法：从被除数的高位除起，除的 时候，除数有几位数就先看被除数的前几位，如果前几位不够除，再多看 一位，除到被除数的哪一位，就把商写在哪一位的上面，每次除得余数必 须比除数小。 ⑸小数除法的计算方法：除数是整数的小数除法，要按照整数除法的 计算方法去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐。如果除到被除数的 末尾仍有余数，就在余数的末尾添上 0 继续除。除数是小数的除法：先移 动除数的小数点，使它变为整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的 小数点也要向右移动相同位数（位数不够时，在被除数的末尾用 0 补足）， 然后按除数是整数的小数除法的计算方法进行计算。 ⑹分数除法的计算方法：甲数除以乙数（0 除外）等于甲数乘乙数的倒 数。 倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数。 七、四则运算的验算方法： 1、加法的验算方法 （1）用加法验算：调换两个加数的位置再加一遍。 （2）用减法验算：和—一个加数=另一个加数。 2、减法的验算方法： （1）用加法验算：差+减数=被减数。 （2）用减法验算：被减数—差=减数。 3、乘法的验算方法： （1）用乘法验算：调换两个因数的位置再称一遍。 （2）用除法验算：积÷一个因数=另一个因数。 4、除法的验算方法： （1）用乘法验算：如果没有余数，商×除数=被除数，如果有余数，商× 除数+余数=被除数。 （2）用除法验算：被除数÷商=除数 或（被除数－余数）÷商=除数 八、0 与 1 在四则运算中特性： a+0=a a×0=0 0÷a=0 a－0=a a×1=a a－a=0 a÷1=a 1÷a=1/a (在上面算式中 a 作除数时 a≠0） 九、运算定律： 1、加法的交换律：a+b=b+a 2、加法的结合律：a+b+c=a+（b+c） 3、乘法的交换律：a×b=b×a 4、乘法的结合律：a×b×c=a×（b×c） 5、乘法的分配率：（a+b）×c=a×c+b×c 十、运算性质： 1、减法的运算性质：a-(b+c)=a-b-c a-(b-c)=a-b+c 2、除法的运算性质（除数不为 0）： a ÷(b×c)=a÷b ÷c a÷(b÷c)=a÷b×c (a+b)÷c=a÷c+b÷c (a-b)÷c=a÷c-b÷c 十一、运算顺序： 1、加法和减法叫做一级运算，乘法和除法叫做第二级运算。 2、在一个没有括号的算式里，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计 算；如果含有两级运算，要先算第二级运算，后算第一级运算。 3、在一个有括号的算式里，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。 十二、解决问题： 1、复合应用题：用两步或两步以上计算来解答的应用题。分析此问题，一 般采用分析法或综合法。 分析法：从要求问题入手，逐步找出解答问题所需要的信息，求得问 题的解决。 综合法：从已知条件入手，利用已知条件看能解决什么问题，从而 求得问题的解决。 2、解决问题的一般步骤：首先理解题意，找出已知条件何所求问题；其次。 分析数量关系，确定先算什么，再算什么，最后算什么；再次，确定每一 步该怎样算，列出算式，算出得数；最后进行检验，写出答案。 3、几种常见的数量关系： （1）路程=速度×时间 （2）总价=单价×数量 （3）工作总量=工效×时间 （4）总产量=单产量×数量（5）收入--支出=结余（6）利息=本金×利息× 时间 十三、式与方程： 1、用字母表示数的意义：用字母表示数是代数的基本特点。既简单明了， 又能表达数量关系的一般规律。 2、用字母代表数的作用： （1）用字母代表任何数。 （2）用字母表示常见的数量关系。 （3）用字母表示运算定律。 （4）用字母表示计算公式。 3、（1）数字与字母、字母与字母相乘时，乘号可以简写成“·”或者省 略不写。数与数相乘，乘号不能省略。 4、等式与方程：表示相等关系的式子叫做等式。含有未知数的等式叫做方 程。 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 解方程：求方程中未知数的过程叫做解方程。 5、等式的性质： （1）等式两边都加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 （2）等式两边都乘上（或除以）同一个不为零的数，左右两边仍然相等。 （3）根据等式的性质可以解方程。 6、列方程解应用题的步骤： （1）找出未知数并用 X 表示。 （2）找出应用题中数量间的相等关系，并更具等量关系列出方程。 （3）解方程，求未知数的值。 （4）检验写答语。 十四、常见的计量单位及其进率： （一）意义： （1）物体的多少、长短、大小、轻重、快慢等。这些可以测定的客观事物 的特征叫做量。 （2）把一个要测定的量同一个作为标准的量相比较叫做计量。用来作为计 量标准的量叫做计量单位。 （二）常用的计量单位及其进率。 （1）货币单位及其进率：1 元=10 角 1 角=10 分 （2）长度单位及其进率： 1 千米=1000 米 1 米=10 分米=100 厘米 1 分米=10 厘米 1 厘米=10 毫米 （3）面积单位及其进率： 1 平方千米=1000000 平方米 1 平方千米=100 公顷 1 公顷=10000 平方米 1 平方米=100 平方分米 1 平方分米=100 平方厘米 1 平方厘米=1000 平方毫米 质量单位及其进率： 1 吨=1000 千克 1 千克=1000 克 时间单位及其进率： （1）1 年有 12 个月,年有 365 天，闰年有 366 天。 （2）1、3、5、7、8、10、12 月是大月，每月 31 天；4、6、9、11 月是小 月，每月有 30 天；二月既不是大月也不是小月，平年二月 28 天，闰年二 月有 29 天。 （3）按四个季度分，1、2、3 月份属第一季度，4、5、6 月份是第二季度， 7、8、9 月份是第三季度，10、11、12 是第四季度。 （4）每个月分上、中、下三旬，上旬、中旬各有 10 天，下旬的天数大月 11 天，小月有 10 天。闰年二月下旬 9 天，平年 8 天 （5）1 星期=7 日 1 日=24 小时 1 小时=60 分 1 分=60 秒 1 世纪=100 年 （6）平年闰年判断的方法：公历年份能被 4 整除，整百，整千年份能整除 400 的是闰年，反之是平年。 （三）计量单位的改写：1、名数的意义：计量的结果，要用数表示，并且 还要带上单位的名称，通常把他们合起来叫做名数 。只带一个名称的叫单 名数；带两个或两个以上单位名称的叫复名数。如：2 千克 50 克，8 平方 米 20 平方分米 5 平方厘米。 2、名数的改写：把高级单位的名数改写成低级单位的名数用进率去乘， 把低级单位的名数改写成高级单位名数用进率去除。当进率是 10、100、 1000···是也可以把小数点向右（左） 移动一位，两位、三位···。 位数不足时，用零补足。 十五、比和比例： （1）比和比例的意义、各部分名称、基本性质。 （2）比和分数、除法的关系 （3）求比值和化简比 意义 方法 结果 求 比值 前项除以后项所 得的商 根据比值的意义，用前项除以后项 一 个 商 （ 整 数 、 小 数 或 分 数） 化 简 比 把两个数的比化成 最简单的整数比 比的前项和后项都乘或除以一个相同的数（0 除外）； 也可以根据求比值的方法，用前项除以后 项 一个比