2019-2020 学年度下学期期中考试
高二文科数学试题
一、单选题（每题 5 分，共 60 分）
1．设全集 U＝R，集合 A＝ ≥0}，B＝{x∈Z|x2≤9}，则图中阴影
部分表示的集合为( )
A．{x|0≤x a b>
2
1z i
= − + 1 : 2p z = 2
2 : 2p z i= 3 :p z
1 i+ 4 :p z 1−
ba, 02 =++ baxx
02 =++ baxx
02 =++ baxx
02 =++ baxx
02 =++ baxx
[ ) [ ) [ )20,40 , 40,60 , 60,80 ,[80,100].
50 45 55
( ) ( )2018 lnf x x x= + ( )0 2019f x′ = 0x =
2e e ln 27．执行如图所示的程序框图，当输入的 的值为 4 时，输出的 的值为 2，则空白判断框中
的条件可能为（ ）.
A．x⩽4？ B．x⩽5？ C． D．
8．“结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结
来记录数量，如图所示的是一位猎人记录自己采摘果实的个数，在从右
向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一，根据图示可知，猎人采摘
的果实的个数（用十进制表示）是 （ ）
A．123 B．185 C．382 D．492
9．设 是函数 的导函数，将 和 的图象画在同一个直角坐标系中，
不可能正确的是（ ）
A． B． C．
D．
10．观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出 a 的值为（ ）
A．23 B．77 C．75 D．139
11．若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．设 ，若函数 ， ，有大于零的极值点，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题 5 分，共 20 分）
x y
3?x > 4?x >
( )f x′ ( )f x ( )y f x= ( )y f x′=
( ) lnf x kx x= − ( )1,+∞ k
( ], 2−∞ − [ )2,+∞ [ )1,+∞ ( ], 1−∞ −
a R∈ exy ax= + x∈R
1a e
< − 1a e
> − 1a < − 1a > −13．设 ，则 =
14．函数 y= x2 ㏑x 的单调递减区间为
15．若实数 满足 ，则 的最小值为
16．函数 的定义域为 ， ，对任意 ， ，则
的解集为
三、解答题（共 70 分）
17．（本题满分 10 分）设 ，解不等式.
18. （本题满分 12 分）在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参
数）．以原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为
．
（Ⅰ）写出圆 C 的参数方程；（Ⅱ） 为直线 上一动点，当 到圆心 的距离最小时，求
的极坐标．
3 i
1 2iz
−= + z
1
2
−
,a b 1 2 aba b
+ = ab
( )f x R ( )1 2f − = x∈R ( ) 2f x′ > ( ) 2 4f x x> +
x∈R
x yΟ l
13 2{
3
2
x t
y t
= +
=
t
x
Ρ l Ρ Ρ19．（本题满分 12 分）《中国诗词大会》是中央电视台于
2016 年推出的大型益智类节目，中央电视台为了解该节目
的收视情况，抽查北方与南方各 5 个城市，得到观看该节目
的人数(单位：千人)如茎叶图所示，但其中一个数字被污损.
（1）若将被污损的数字视为 0~9 中 10 个数字中的一个，求北方观众平均人数不超过南方观
众平均人数的概率；
（2）该节目的播出极大激发了观众学习诗词的热情,现在随机统计了 4 位观众每周学习诗词
的平均时间 （单位：小时）与年龄 （单位：岁），并制作了对照表（如下表所示）：
年龄 20 30 40 50
每周学习诗词的平均时间 3 4
由表中数据分析， 与 呈线性相关关系，试求线性回归方程，并预测年龄为 70 岁的观众每
周学习诗词的平均时间.参考公式： ，
y x
x
y 3.5 3.5
x y
( )
1
22
1
n
i i
i
n
i
i
x y nx y
b
x n x
=
=
− ⋅
=
−
∑
∑
20．（本题满分 12 分）在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，哈尔滨市教育局提出“停课
不停学”的口号，鼓励学生线上学习.哈六中数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习
时间之间的相关关系，在高三年级中随机选取 名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数
学时间不少于 小时的有 人，在这 人中检测考试中数学分数不足 分的有 人；在每
周线上学习数学时间不足于 小时的人中，在检测考试中数学分数不足 分的占 .
（1）请完成 列联表；并判断是否有 的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上
学习时间有关”；
分数不少于 分 分数不足 分 合计
线上学习时间不少于 小时
线上学习时间不足 小时
合计
（2）在上述样本中从分数不足于 分的学生中，按照分层抽样的方法，抽到线上学习时间
不少于 小时和线上学习时间不足 小时的学生共 名，若在这 名学生中随机抽取 人，求
这 人每周线上学习时间都不足 小时的概率.（临界值表仅供参考）
（参考公式 ，其中 ）
45
6 20 20 120 4
6 120 16
25
2 2× 99%
120 120
6
6
120
6 6 5 5 2
2 6
( )2
0P K k≥ 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
( )
( )( )( )( )
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +21．（本题满分 12 分）设函数 ，其中, ，曲线 在点
处的切线平行于 x 轴.
（Ⅰ）求实数 a 的值；（Ⅱ）求函数 极值点．
22．（本题满分 12 分）已知关于 x 的函数 ，其导函数 .
（1）如果函数 在 处有极值 ，求函数 的表达式；
（2）当 时，函数 的图象上任一点 P 处的切线斜率为 k，若
，求实数 b 的取值范围．
1 3( ) ln 12 2f x a x xx
= + + + a R∈ ( )y f x=
(1, (1))f
( )f x
( ) 3 21
3f x x bx cx bc= − + + + ( )f x′
( )f x 1x = 4
3
− ( )f x
(0,1)x∈ ( ) ( )y f x c x b= − +
1k ≤18 级高二文科数学期中考试题答案
一．选择题
1.D 2.A3.B4.D5.A6.D7.D8.A9.C10.C11.C12.C
二．填空题
13． 14. (0,1)或 都行 15. 16.
三．解答题
17．当 x1，解得x>
综上，原不等式的解集为 .
18．（Ⅰ）由 ，得 ，从而有 ，所以
．
（Ⅱ）设 ，又 ，则 ，
故当 时， 取最小值，此时 点的直角坐标为 ，所以 点的极坐标为
19．（1）设污损的数字为 ，由北方观众平均人数不超过南方观众平均人数得
， ，即 ，记所求事
件为 A ；
（2） ， ， ，
又 ，
，
1 2 1x x− + − >
2
3
{ | 0 3
2}x x x< >或
2 3sinρ θ= 2 2 3 sinρ ρ θ=
CΡ Ρ Ρ
x
78 79 82 81 80 73 77 78 86 80
5 5
x+ + + + + + + + +≤ 6x⇒ ≥ 6,7,8,9x =
4 2( ) 10 5P A∴ = =
( )1 20 30 40 50 354x = + + + = ( )1 3 3.5 3.5 4 3.54y = + + + = 4 490xy∴ =
4
1
20 3 30 3.5 40 3.5 50 4 505i i
i
x y
=
= × + × + × + × =∑
4
2 2 2 2 2
1
20 30 40 50 5400i
i
x
=
= + + + =∑， ， ，
时， .
答：年龄为 70 岁的观众每周学习诗词的平均时间大约为 小时.
20. （1） 列联表如下：
分数不少于 分 分数不足 分 合计
线上学习时间不少于 小时
线上学习时间不足 小时
合计
，
有 的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；
（2）抽到线上学习时间不足于 小时的学生 人，设为 、 、 、 ，
线上学习时间不足 小时的学生 人，设为 ，所有基本事件有： 、 、
、 、 、 、 、 、 、 ，共
种，其中 人每周线上学习时间都不足 小时有： 、 、 、 、
、 ，共 种，
故 人每周线上学习时间都不足 小时的概率为 （或 ）.
21.
（Ⅰ）因 ，故 由于曲线 在点
处的切线垂直于 轴，故该切线斜率为 0，即 ，从而 ，解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，
令 ，解得 （因 不在定义域内，
2
505 490 0.035400 4 35b
−∴ = =− × 3.5 0.03 35 2.45a∴ = − × = 0.03 2.45y x∴ = +
70x∴ = 4.55y =
4.55
2 2×
120 120
6 16 4 20
6 9 16 25
25 20 45
( )2
2 45 16 16 9 4 8.712 6.63525 20 25 20K
× × − ×= = >× × ×
∴ 99%
6 165 420
× = 1A 2A 3A 4A
6 1 1B ( )1 2,A A ( )1 3,A A
( )1 4,A A ( )2 3,A A ( )2 4,A A ( )3 4,A A ( )1 1,B A ( )1 2,B A ( )1 3,B A ( )1 4,B A 10
2 6 ( )1 2,A A ( )1 3,A A ( )1 4,A A ( )2 3,A A
( )2 4,A A ( )3 4,A A 6
2 6 3
5 0.6
1 3( ) ln 12 2f x a x xx
= + + + 2
1 3( ) 2 2
af x x x
′ = − + ( )y f x= (1, (1))f
y ( ) 01f ′ = 1 3 02 2a − + = 1a = −
1 3( ) ln 1( 0)2 2f x x x xx
= − + + + > 2
1 1 3( ) 2 2f x x x
−′ = − +
2
2 2
3 2 1 (3 1)( 1)
2 2
x x x x
x x
− − + −= = ( ) 0f x′ = 1 2
11, 3x x= = − 2
1
3x = −舍去）当 时， 故 在 上为减函数；当 时， 故
在 上为增函数，故 在 处取得极小值 .（过程应有极值表略）。
22．（1） 因为函数 在 处有极值 所以
解得 或 （i）当 时， 所以 在 上单
调递减，不存在极值
（ii）当 时，
时， ， 单调递增； 时， ， 单调递减
所以 在 处存在极大值，符合题意综上所述，满足条件的值为
（2）当 时，函数 设图象上任意一点 ，
则 因为 ，所以对任意 ， 恒
成立
所以对任意 ，不等式 恒成立设 ，则
当 时， 故 在区间 上单调递减所以对任意 ，
所以
(0,1)x∈ ( ) 0f x′ < ( )f x (0,1) (1, )x∈ +∞ ( ) 0f x′ >
( )f x (1, )+∞ ( )f x 1x = (1) 3f =
( ) 2' 2f x x bx c= − + + ( )f x 1x = 4
3
−
( )
( )
' 1 1 2 0
1 41 3 3
f b c
f b c bc
= − + + = = − + + + = −
1
1
b
c
=
= −
1
3
b
c
= −
= 1, 1b c= = − ( ) ( )2' 1 0f x x= − − ≤ ( )f x R
1, 3b c= − = ( ) ( )( )' 3 1f x x x= − + −
( )3,1x∈ − ( )' 0f x > ( )f x ( )1,x∈ +∞ ( )' 0f x < ( )f x
( )f x 1x = 1, 3b c= − =
( )0,1x∈ ( ) ( ) 3 21
3y f x c x b x bx= − + = − + ( )0 0,P x y
( )
0
2
0 0 0'| 2 , 0,1x xk y x bx x== = − + ∈ 1k ≤ ( )0 0,1x ∈ 2
0 02 1x bx− + ≤
( )0 0,1x ∈
2
0
0
1
2
xb x
+≤ ( ) 2 1
2
xg x x
+= ( ) ( )( )
2
1 1' 2
x xg x x
− +=
( )0,1x∈ ( )' 0g x < ( )g x ( )0,1 ( )0 0,1x ∈
( ) ( )0 1 1g x g> =
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