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长春市 2020 届高三质量监测(四)
理科数学
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．设集合 则
D.
2．在等比数列 中 则 a9=
A B． C．9 D．12
3．设复数 下列说法正确的是
A． 的虚部是 yi；
B．
C．若 x=0，则复数 为纯虚数;
D．若 满足 ，则 z 在复平面内对应点 的轨迹是圆.
4．树立劳动观念对人的健康成长至关重要，某实践小组共有 4 名男生，2 名女生，现从中选出 4 人参加校
园植树活动，其中至少有一名女生的选法共有
A．8 种 B．9 种 C．12 种D．14 种
5．
A． B． C． D．
6．田径比赛跳高项目中，在横杆高度设定后，运动员有三次试跳机会，只要有一次试跳成功即完成本轮比
赛。在某学校运动会跳高决赛中，某跳高运动员成功越过现有高度即可成为本次比赛的冠军，结合平时训
练数据，每次试跳他能成功越过这个高度的概率为 0.8(每次试跳之间互不影响)，则本次比赛他获得冠军的
概率是
A．0.832 B．0.920 C．0.960 D．0.992
7．已知 则 a，b，c 的大小关系是
A． B . C． D．
8．已知直线 a 和平面 α、β 有如下关系： ②α∥β，③α⊥β，④α∥a，则下列命题为真的是
A．①③④ B.①④③ C．③④① D.②③④
9．如图，为测量某公园内湖岸边 A，B 两处的距离，一无人机在空中 P 点处测得 A，B 的俯角分别为 α，
β，此时无人机的高度为 h，则 AB 的距离为
2{ | 1}, { | 0},A x x B x x= ≤ = < ( )UC A B =
.{ | | 1}A x x .{ | 1}B x x >
.{ | 1 0 1}C x x x< − ≤ ≤或 { | 1 0 1}x x x≤ − < ≤或
{ }na 3 6, 3, 6,a a= =
1
9
1
12
( ), , ,Rz x yi x y= + ∈
z
2 2| |z z=
z
z | | 1z i− = ( ),x y
sin , sin 28 3 4
1π πθ θ + = − = 若 则
2
9
− 2
9
7
9
− 7
9
( )5 0.5log 2, log 0.2, ln ln 2 ,a b c= = =
a b c< < a c b< < b a c< < c a b< <
,α β⊥①2
10．过抛物线 C： 的焦点 F 作直线与该抛物线交于 A，B 两点，若 3|AF|=|BF|，O 为坐标
原点，则
A． B． C．4 D．
11．函数 的部分图象如图中实线所示，图中的圆 C 与 的图象交于 M，N 两点，
且 M 在 y 轴上，则下列说法中正确的是
② 函数 的图象关于点( ,0)成中心对称：
②函数 上单调递增：;
③ 圆 C 的面积为 π
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
12．函数 的图象在点 处两条切线的交点
( )
2 2
2cos1 1. sin sin sin sinA h
α β
α β α β
−+ −
( )
2 2 \ si
2cos1 1. s n nin si sinB h
α β
α β βα
−+ +
( )
2 2 co
2cos1 1
c s sos co cosCh
α β
α β βα
−+ −
( )
2 2 co
2cos1
o s
1. cos c s cosD h
α β
α β βα
−+ +
( )2 2 0x py p= >
| |
|
AF
OF
=
4
3
3
4
5
4
( ) ( )sinf xx ϕω= + ( )f x
( )f x 4
3
( )f x 在 1 1,2 6
− −
31
36
( ) 2 )(mx mxf x e e x mx m−= + + − ∈R ( ) ( )( )111 1, ,( ,A x f x B x f x− −3
一定满足
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
13．已知双曲线 的离心率为 ，则双曲线的渐近线方程为▲
14．执行如图所示的程序框图，若输入 则输出 s 的取值范围是▲
15．已知向量 则△ABC 面积为▲
16．已知正方体 的棱长为 2，点 M，N 分别是棱 BC，CC1 的中点，则二面角
的余弦值为▲,若动点 P 在正方形 BCC1B1(包括边界)内运动，且 PA1∥平面 则线段 的长度范围是
▲.(本小题第一空 2 分，第二空 3 分).
三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题，每个试题考生都
必须作答．第 22~23 题为选考题，考生根据要求作答.
17．(12 分)(一)必考题：共 60 分
已知数列{an}是等比数列，且公比 q 不等于 1，数列{bn}满足 .
(Ⅰ)求证：数列{bn}是等差数列;
(Ⅱ)若 求数列 的前 n 项和 Sn.
18．(12 分)
如图，四棱锥 中，底面 ABCD 为梯形，AB∥ 点 E 为 PB 的中点，且
CD=2AD=2AB=4，点 F 在 CD 上，且 .
0 0( , )P x y
0. 0A x = 0.B x m= 0. 0C y = 0.D y m=
( )2 2
2 2 1 0, 0 1 1x y a ba b
− = > > < 2
[ ]1,3 ,t ∈ −
( )0,1 ,| | 7, 1,AB AC AB BC= = ⋅ =
1 1 11A AC BD CB D− C AM N− −
,AMN 1PA
2 nb
na =
1 2 432,3 2 ,a a a a= = +
2 1
1
logn nb a +
P ABCD− , 90 ,D ABC D °∠ =
1
3DF FC=4
(Ⅰ)求证：EF∥平面 PAD；
(Ⅱ)若平面 PAD⊥平面 //PD，求直线 PA 与平面 PBF 所成角的正弦值.
19．(12 分)
已知椭圆 C: 与 x 轴正半轴交于点 A，与 y 轴交于 B、C 两点.
(Ⅰ)求过 A，B，C 三点的圆 E 的方程
(Ⅱ)若 O 为坐标原点，直线 l 与椭圆 C 和(Ⅰ)中的圆 E 分别相切于点 P 和点 Q(P，Q 不重合)，求直线 OP 与
直线 EQ 的斜率之积。
20．(12 分)
武汉市掀起了轰轰烈烈的“十日大会战”，要在 10 天之内，对武汉市民做一次全员检测，彻底摸清武汉市的
详细情况。
某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有 份血液样本，有以下两种检验方式：
方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验 1000 次。
方案②：按 k 个人一组进行随机分组，把从每组 k 个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均
为阴性，则验出的结果呈阴性，这 k 个人的血就只需检验一次(这时认为每个人的血化验 次)；否则，若呈
阳性。则需对这 k 个人的血样再分别进行一次化验。这样，该组 k 个人的血总共需要化验 次。假设此
次检验中每个人的血样化验呈阳性的概率为 p，且这些人之间的试验反应相互独立。
(Ⅰ)设方案②中，某组 k 个人中每个人的血化验次数为 X，求 X 的分布列；
(Ⅱ)设 p=0.l．试比较方案②中，k 分别取 2，3，4 时，各需化验的平均总次数;并指出在这三种分组情况下，
相比方案①，化验次数最多可以减少多少次?(最后结果四舍五入保留整数)
21．(12 分)
已知函数 .
(Ⅰ)若函数 在 处有最大值，求 a 的值；
(Ⅱ)当 时，判断 的零点个数，并说明理由。
(二)选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分。
22．[选修 4-4 坐标系与参数方程](10 分)
, DABCD PA P PD PA= ⊥且
2
2 12
x y+ =
*)1 0 N00 n∈（
1
k
1k +
( ) 2
R, 2 ,ln
x
ex a x ef a= ∈−
( )f x 2
ex =
a e≤ ( )f x5
在平面直角坐标系 中，曲线 C1 的参数方程为 (α 为参数)，以坐标原点 O 为极点，x 轴
非负半轴为极轴建立极坐标系，点 A 为曲线 C1 上的动点，点 B 在线段 OA 的延长线上，且满足
点 B 的轨迹为 C2。
(Ⅰ)求曲线 C1，C2 的极坐标方程；
(Ⅱ)设点 M 的极坐标为 ，求△ABM 面积的最小值。
23．[选修 4-5 不等式选讲](10 分)
已知函数
(Ⅰ)解不等式 ：
(Ⅱ)设 时 的最小值为 M．若实数 a，b，c 满足 求 的最小值.
xOy 1 cos
sin
x
y
α
α
= +
=
| | | | 8,OA OB⋅ =
32, 2
π
( ) | 2 3| | 2 3|f x x x= − + +
( ) 8f x ≤
Rx∈ ( ), f x 2 ,a b c M+ + = 2 2 2a b c+ +6789
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