浙江省绍兴市诸暨市2020届高三数学适应性考试试题（扫描版附答案）

2020 年 6 月诸暨市高中毕业班质量检测数学试题答案 一、选择题 AACAD CABDB 二、填空题 11. 12. 或 ， 13. 14. 15. 16. 17. 三、解答题 18.（1）由正弦定理 或 ……4′ ……2′+ 1′ （2）由余弦定理 ， ……2′+ 2′ ……2′+ 1′ 19.（1） ……2′ 所以 平面 ……2′ 所以平面 平面 ……2′ （2）法一（定义法） 作 于 ，作 于 ，连 ，则由 平面 及三垂 线定理知 即所求二面角的平面角 ……3′+ 2′ ……2′ ……1′+ 1′ 法二（坐标法） 以 为 轴建立空间直角坐标系，则 ……2′ 2, 7− 3 3− 1a ≤ 3, 35 − − 15, 76 1 6 1(0, )4 7 21 14 − ,sin2 sin sin sin AM AB CM CB AMB CMBθ θ= =∠ ∠ ,sin2 sin sin sin AM BM CM BM A Cθ θ= = sin2 2 sin , 4 πθ θ θ= = 2 2 345 2 2 2 cos 4a a a a π= + − ⋅ ⋅ ⋅ 3a = 1 3 93 3 2 sin2 4 2ABCS π ∆ = ⋅ ⋅ ⋅ = ,AD BM AD PM⊥ ⊥ AD ⊥ MPB MPB ⊥ PBC BE MC⊥ E EF MN⊥ F BF BE ⊥ PMC BFE∠ 2 3 3 2 3 33, , ,27 7 14 14 BE ME EF ME BF= = = = = 33cos 11 EFBFE BF ∠ = = , ,MA MB MP , ,x y z 3 7(0, 3,0), ( 2, 3,0), (0,0, 7), ( 1, , )2 2B C P N− − 设平面 的法向量为 ，则 ……2′ 解得其中一个解为 ……1′ 类似可以求得平面 的一个法向量为 ……2′ 二面角 的余弦值 ……1′+ 1′ 20.（1） ……2′+1′+ 1′ ……1′ 当 时， ， 综上 ……3′ （2）法一： ……2′ ……1′ 记 ，则 当 时， ……:3′ 所以 对一切 恒成立 ……1′ 注：也可以证明 当 时， 法二： ……2′ 记 BMN ( , , )x y z 0 3 7 02 2 y x y z =− + + = ( 7,0,2) MNC ( 3,2,0) B MN C− − 21 33 1111 7 = = ⋅ 2(3 3 ) (3 )(3 6 ), 1, 2nd d d d a n+ = + + = = + 1 1 23 2 3b b= ⇒ = 2n ≥ 12 2 2 2( ) (2 8) ( ) (2 10) ( ) (3 12 2 10), ( )3 3 3 3 n n n n n n na b n n n n b−= + − + = + − − = 2( )3 n nb = 1 2 3 2 2 2 2 2(1 )(1 )(1 ) (1 ) ( 1)( 2)n n c a a a a n n = − − − − = + + 1 1 2 2 3 3 1 1 1, ,3 3 3c b c b c b> > > 6 3( )1 ( 1)( 2) 2 3 nn n n ck n nb = = ⋅+ + 3n ≥ 1 ( 1) 3 2 6 3 1( 3) 2 2 6 n n k n n n k n n + + + + −= ⋅ = ≥+ + 1 3n nc b> n N ∗∈ 3n ≥ 1 0n nk k+ − ≥ 1 1 2 2 3 3 1 1 1, ,3 3 3c b c b c b> > > 1 3 n n n ck b =当 时， ……:4′ 所以 对一切 恒成立 ……:1′ 法三： ……2′ ……1′ 数学归纳法证明当 时， ……4′ 注 ： 如 果 完 全 用 作 差 比 较 ， 当 时 ， 令 ， 则 不 成 立 ； 若 令 ，则 成立 21. （1）将 点坐标代入得 ，抛物线方程为 ……2′ 设 ，则 ……1′ 又 ，得 ……1′ 所以 或 ，直线 方程为 ……2′ （2）先证明 三点共线， ……4′ （或设 方程为 ，与抛物线方程联立得 ，由韦达定理 ， ，结合（1）的结论得 ， ，即直线 过定点 ） 所以 三点共线， 得 3n ≥ 1 1 2 3 3 3 2 6 3(1 ) 12 2 6 2 6 n n n k n n n k a n n + + + + + −= − ⋅ = = ≥+ + 1 3n nc b> n N ∗∈ 1 2 3 2 2 2 2 2(1 )(1 )(1 ) (1 ) ( 1)( 2)n n c a a a a n n = − − − − = + + 1 1 2 2 3 3 1 1 1, ,3 3 3c b c b c b> > > 3n ≥ 1 3n nc b> 3n ≥ 1 3n n nc bδ = − 1 0n nδ δ+ − > 3 1 n n nb c δ = − 1 0n nδ δ+ − > P 1a = 2y x= 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 2 1 2 1 2 1 1 1 2 y y x x y y − = = −− + 1 1 1 1 1 1 11 1 y y x x − − = −− − 1 2 1 2 2 0y y y y+ + + = 1 0y = 2 0y = AB 1 2y x= − , ,A B Q 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 2)y x y x y y y y+ − − + − = + − − + − 2 1 1 2 1 2( )( 2) 0y y y y y y= − + + + = AB x my n= + 2 0y my n− − = 1 2m y y= + 1 2n y y= − 2 0n m− + + = 2 1 m n= − ⋅ + AB (2, 1)Q − , ,A B Q 4QA QB = 1 2 1 41 y y + =+ （舍去）或 所以 方程为 ……3′ ……2′ 法二： ……4′ 所以由 得 （舍去）或 所以 方程为 ……3′ ……2′ 22. （1） ……1′ 是方程 的两根， ……1′ 由题意得 ……2′ 记 ，则 ，即 ……2′ （2）记 ，本题要证明的是线段 恒在线段 的上方，我们只需先证明线段 在线段 的上方，再证明线段 在线 段 的上方 ……2′ 1 1 1 2 2 2 11 4, ( 1)( 1) 1, 31 2 yy y yy y =+ = − + + = − + = − 1 2 3 1 2 y y = − = − AB 7 3 2 2x y= − − 1 15 2 2PABS d AB∆ = ⋅ ⋅ = 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1( 2) ( 1) ( 2) ( 1) ( 1) 2 ( 1)1x y y y yy  − + + = − + + = + − + + +  2 2 2 2 22 2 2 14 4 2 2 (2 ) ( 2) ( 1)( 1)( 1) ( 1) y x yyy y − − + += + + =+ + 4QA QB = 2 2 1 4( 1)y =+ 1 1 2 2 1 ( 1)( 1) 1, 3 2 y y y y =+ + = −  = − 1 2 3 1 2 y y = − = − AB 7 3 2 2x y= − − 1 15 2 2PABS d AB∆ = ⋅ ⋅ = 1( )f x x ax ′ = + − 1 2,x x 1 0x ax + − = 1 2 1 22, 1,a x x x x a> = + = 2 0 0 0 0 0 1ln 2 1 x x ax b x ax  = − + −  = − +  2 2 0 0 0 0 0 1 1ln 1 ln2 2b ax x x x x= − − = + − 21( ) 1 ln2g x x x= + − 1 3( ) 0, ( ) (1) 2g x x g x gx ′ = − > > = 3 2b > 1 1 2 2( , ( )), ( , ( )), (1, (1)), ( , ( ))A x f x B x f x C f P m f m AB CP CB CP AB CB 记 ，则 又 ，所以 ，从而 ， 单调递增， 所以 下证 因为 ，及 只需证明 即 记 ， ， 所以 ，即 综上命题得证 ……7′ ( ) (1) ln 1( ) ( 1)1 1 2 f m f mh m m am m −= = + + −− − 2 2 2 1 1 1(1 ) ln (1 ) ln ( 1)1 2( ) ( 1) 2 ( 1) m m mm mh m m m − − − − + − ′ = + =− − 2 2 2 1 1 1 1 1(1 ) ln ( 1) ( 1) ( 1)(1 ) 02m m m mm m m m ′ − − + − = − + − = − − >   21 1( ) (1 ) ln ( 1) (1) 02y m m m ym = − − + − > = ( ) 0h m′ > ( )h m 2 2 ( ) (1) ( ) (1)( 1) (1) ( 1) (1)1 1 f x f f m fx f x fx m − −− + ≥ − +− − 2 1 2 1 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) (1)( ) ( ) ( 1) (1)1 f x f x f x fx x f x x fx x x − −− + > − +− − 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x f xx x f x x x f xx x x x − −− + = − +− − 2 2 2 2 2 2 2 ( ) (1) ( ) (1)( 1) (1) ( ) ( ), 01 1 f x f f x fx f x x f x x xx x − −− + = − + − ≤− − 2 1 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) (1) 1 f x f x f x f x x x − − 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 ln ln 1 ln 1 2 ln ln 1( ) ( ) ( 1)2 1 2 1 1 2 x x x t t t tt x x xx x x t t t ϕ − −= + + − − + = − −− − − − 22 ln 1 2 ( 1) t t t t t − += + 2(2 ln 1) 2 2ln 2 2 2( 1) 2 0t t t t t t t′− + = + − < + − − = 22 ln 1 2 ln1 1 1 0t t t− + < ⋅ − + = ( ) 0tϕ < 2 1 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) (1) 1 f x f x f x f x x x − −