浙江省学军中学2020届高三数学6月模拟试题（PDF版附答案）

高三数学 第 1页（共 9 页） 绝密★启用前 2020 年 6 月学军中学模拟测试 数学·试题卷 考生须知： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域内填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷． 第Ⅰ卷·选择题部分(共 40 分) 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的) 1．已知集合  lgA x y x  ，  1,0,1,2B   ，则 ( )B A B ð A． 1,0,1 B． 2 C． 1,0 D． 1,2 2．焦点位于 x 轴，离心率为 3 的双曲线的渐近线方程为 A． y x  B． 2y x  C． 3y x  D． 2y x  3．已知实数 ,x y 满足约束条件 2 2 0 4 0 3 0 x y x y x y           ，则 3 2z x y  的最大值是 A．3 B． 4 C． 5 D． 6 4．已知某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为 A． 360cm B． 380cm C． 3100cm D． 3120cm 5．已知函数 ( ) sin(2 )f x x   ，则 A．存在 R ，使得 ( )f x 是奇函数，且在 0, 2      内单调递减 B．存在 R ，使得 ( )f x 是偶函数，且在 0, 2      内单调递增 C．存在 R ，使得 ( )f x 是奇函数，且在  0, 内单调递增 D．存在 R ，使得 ( )f x 是偶函数，且在  0, 内单调递减 (第 4 题图)高三数学 第 2页（共 9 页） 6．已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，则“ 1n na a  *( )nN ”是“ 1 1 n nS S n n   *( )nN ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．设 10 2p  ，随机变量 的分布列如下表所示，则当 p 在 10, 2      内增大时，  0 1 2 P 1 2 p p p A． ( )E  先减小后增大 B． ( )E  先增大后减小 C． ( )D  先减小后增大 D． ( )D  先增大后减小 8．设 1 2,l l 是平面 内所成角为 6  的两条直线，过 1 2,l l 分别作平面 ,  ，且锐二面角 1l   的大小为 4  ， 锐二面角 2l   的大小为 3  ，则平面 ,  所成的锐二面角的平面角的余弦值可能是 A． 3 6 B． 2 8 C． 1 4 D． 1 3 9．已知 0a  ，记函数 3 2( ) 2 (3 1) 1f x ax a x    在区间 0,5a 上的最大值和最小值分别为 ,M N ，则 A．当 (0)M f 时， (5 )N f a B．当 (5 )M f a 时， (0)N f C．当 (0)N f 时， (0) (5 )f f a D．当 (5 )M f a 时， (0) (5 )f f a 10．已知非零平面向量 , ,a b c    满足 4a  ， 2b c  ，且     3a c b c       ，则 a b  的最小值是 A． 2 6 3 B． 3 5 5 C． 2 D．3 第Ⅱ卷·非选择题部分(共 110 分) 二、填空题(本大题共 7 小题，多空题每小题 6 分，单空题每小题 4 分，共 36 分) 11．已知复数 4 3iz   (i 是虚数单位)，则其共轭复数 z  ▲ ， 3z z z z   ▲ ． 12．已知 aR 且 0a  ，二项式 5 2 1 2 ax x     的展开式中第二项与第四项的系数相等，则 a  ▲ ，常 数项是 ▲ ． 13．在锐角．．△ ABC 中，角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ， 3A  ， 7a  ， 3c  ，则 b  ▲ ，sin B sinC  ▲ ． 14．若某四位数 abcd 满足 a b c d   ，则称该四位数为“收敛四位数”，则所有“收敛四位数”的个数是 ▲ ．(用数字作答)高三数学 第 3页（共 9 页） 15．已知 0x  ，设 2 2 1 3 4 xyt x y y     ． ①当 1y  时， t 的最大值为 ▲ ， ②当 0y  时， t 的最大值为 ▲ ． 16．已知 ,F A分别是椭圆 2 2: 12 x y   的左焦点和下顶点， 0 0( , )M x y 是椭圆  上位于第一象限内的点，点 N 的坐标为 0 10, y       ，若线段 FM 上存在点 H 同时满足 FH AH  ， 0FH NH   ，则 0 0x y  ▲ ． 17．已知在数列 na 中， 0 1na  *( )nN ，若对任意数列 nb 满足 2 2 11 1n n nb a a    且 1 2b b    1 2kb  *( )k N ，均有 2 1 3 2 1k ka b a b a b      成立，则实数  的取值范围是 ▲ ． 三、解答题(本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18．（本小题满分 14 分）已知函数 2 1( ) sin 2 sin cos26 2f x x x x       ，其中 3.14  ． (Ⅰ)求 ( )f x 的单调区间； (Ⅱ)求 ( )f x 在 20,20 内的零点个数． 19．（本小题满分 15 分）如图，已知多面体 EF ABCD ，其底面 ABCD 是等腰梯形，且 2 2AB AD BC  2 2CD  ， DE  平面 ABCD ， BD EF 且 2BD EF ． (Ⅰ)证明：平面 ADE  平面 BDEF ； (Ⅱ)若二面角 C BF D  的大小为 3  ，求 CF 与平面 ABCD 所成角的正弦值． (第 19 题图)高三数学 第 4页（共 9 页） 20．（本小题满分 15 分）已知等比数列 na 的公比 0q  ，前 n 项和为 nS *( )nN ．数列 nb 是等差数列， 且满足 1 1a  ， 3 2 2a a  ， 4 3 5a b b  ， 5 4 62a b b  ． (Ⅰ)求数列 na 和 nb 的通项公式； (Ⅱ)记 2 2 4 (4 3 2) ( 1) n n n bc n n S      ，证明：当 *nN 时， 1 2 1 112 12n nc c c c      ． 21．（本小题满分 15 分）已知抛物线 2: 2E y px ( 0)p  和直线 : 4 0l x y   ，P 是抛物线 E 上的点，且点 P 到 y 轴的距离与到直线 l 的距离之和有最小值 5 2 12  ． (Ⅰ)求抛物线 E 的方程； (Ⅱ)设 Q l ，过点 Q 作抛物线 E 的两条切线，切点分别记为 ,A B ，抛物线 E 在点 P 处的切线与 ,QA QB 分别交于 ,M N 两点，求△ QMN 外接圆面积的最小值． 22．（本小题满分 15 分）已知函数 ( ) e (ln )xf x x x  ． (Ⅰ)证明：函数 ( )f x 仅有一个极值点； (Ⅱ)若不等式 2( ) ( 1) 0f x a x x    恒成立，求实数 a 的最大值．高三数学 第 5页（共 9 页） 2020 年 6 月学军中学模拟测试参考答案 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B D C B A D B D A 二、填空题(本大题共 7 小题，多空题每小题 6 分，单空题每小题 4 分，共 36 分) 11． 4 3i ， 4 13 25 12．1， 5 4 13． 2 ， 5 21 14 14．1884 15． 3 1 4  ，1 16． 2 3 17． 3, 6 8      三、解答题(本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18．（本小题满分 14 分） (Ⅰ) 3 1 1 cos2 1 3 1 1 1( ) sin 2 cos2 cos2 sin 2 cos2 sin 22 2 2 2 2 2 2 6 2 xf x x x x x x x              （2 分） 令 2 2 , 26 2 2x k k            ， k Z ，解得 ,6 3x k k          （4 分） 令 2 2 , 26 2 2x k k           ， k Z ，解得 ,3 6x k k         （6 分） 综上， ( )f x 的单调递增区间是 ,6 3k k         ，单调递减区间是 ,3 6k k        ， k Z （7 分） (Ⅱ)令 ( ) 0f x  ，即 1sin 2 6 2x       ，即 2 26 6 72 26 6 x k x k              ，其中 k Z （9 分） 解得 x k  或 2 3k   ，其中 k Z （10 分） 又    ，故当 x k  时， 6, ,6k    满足题意，当 2 3x k    时， 7, ,5k    满足题意 （12 分）高三数学 第 6页（共 9 页） 综上， k 的取值有 26 种，即 ( )f x 在 20,20 内的零点个数为 26 个 （14 分） 19．（本小题满分 15 分） (Ⅰ)由于底面 ABCD 是等腰梯形，由几何关系得 60BAD   因此在△ ABD 中，根据余弦定理，有 2 2 2 1cos 2 2 AB AD BDBAD AB AD      ，代入解得 3BD  于是 2 2 2AD BD AB  ，即 AD BD （1 分） 又因为 DE  平面 ABCD ，故 DE AD （2 分） 结合 AD BD AD DE    ，则 AD  平面 BDE （4 分） 又 AD  平面 ADE ，故平面 ADE  平面 BDEF （6 分） (Ⅱ)方法一： 过点 C 作CH BD 交 AB 于点 H ，交 BD 于点 G ，连接 FG ，过点 G 作GI BF 于点 I ，连接 CI 易知 BF CG ，于是 BF  平面 CGI ，故 BF CI ，所以 GIC 即为二面角 C BF D  的平面角 （9 分） 易知 CG  平面 BDEF ，于是CG GI ，故在直角△CGI 中， 3CG GI 由题意，△ BCD 是底角为 30 的等腰三角形，于是 33 3 2BG CG GI   不妨设 DE FG x  ，于是△ BFG 的面积 21 3 1 3 3 2 2 2 6 4S x x       解得 6 8x  ，故在直角△CFG 中， 22 8CF  ， 33sin 11FCG  ，即 CF 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 33 11 （15 分） 方法二： 以 D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 D xyz （7 分） 设 DE h ，则 (0,0,0)D ， (0, 3,0)B ， 1 3, ,2 2C h       ， 1 3. ,02 2BC         ， 30, ,2BF h        （9 分） 设平面 BCF 的法向量 ( , , )m x y z ，则 0 0 m BC m BF          取 3x  ，于是 30, ,2m h        ，取平面 BDEF 的法向量 (1,0,0)n  （11 分） 故 cos60 m n m n        ，解得 6 8h  ，此时 1 6,0,2 8CF        （13 分）高三数学 第 7页（共 9 页） 于是 22 8CF  ， 33sin 11FCG  ，即 CF 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 33 11 （15 分） 20．（本小题满分 15 分） (Ⅰ)由题意， 1 2 1 1 1 2 0 a a q a q q       ，解得 2q  ，故 12n na  （3 分） 设数列 nb 的公差为 d ，则此时 4 3 5 1 5 1 2 6 8 3 13 16 a b b b d a b d          ，解得 1 1b d  ，故 nb n （6 分） (Ⅱ)由等比数列求和公式， 1(1 ) 2 11 n n n a qS q    （8 分） 于是 2 2 4( 2) 2 3 1(4 3 2) 2 24 2 n n n n nc n n n n            （9 分） 当 1n  时， 1 2 3c  当 1n  时， 2 23 1 ( 1)4 2n n n n n n      ，于是 1 2 1 1 ( 1) 2 2 ( 1) 2n n n n nc n n n n        （12 分） 因此 1 2 1 2 2 3 1 2 1 1 1 1 1 12 3 2 2 3 2 3 2 4 2 ( 1) 2 ( 2) 2n n n nc c c c n n                          1 1 1 1 3 2 1 1 3 11 2 11 ( 1)( 2) 2 3 4 ( 2) 2 ( 1)( 2) 2 12 ( 1)( 2) 2 12n n n n n n n n n n n n n                       ，得证 （15 分） 21．（本小题满分 15 分） (Ⅰ)设 F 是抛物线的焦点， P 到 y 轴的距离为 1d ，到直线 l 的距离为 2d ， F 到直线 l 的距离为 3d 根据抛物线的定义， 1 2 pPF d  ，故 1 2 2 3 0 4 5 22 12 2 2 22 p p p pd d PF d d             解得 2p  ，故抛物线 E 的方程为 2 4y x （5 分） (Ⅱ)设 2 ,4 cP c      ， 2 ,4 aA a      ， 2 ,4 bB b      若在点 A 处的切线斜率存在，设抛物线在点 A 处的切线方程为 2 4 ay a k x       与抛物线联立，即 2 2 4 4 y x ay a k x            ，整理得 2 24 4 0ky y a k a   高三数学 第 8页（共 9 页） 由于 0  ，代入得 216 4 ( 4 ) 0k a k a    ，解得 2k a  ，于是 2 : 2 02QA ay x ay   （6 分） 若在点 A 处的切线斜率不存在，则 (0,0)A ，抛物线在点 A 处的切线方程为 0x  ，亦满足上式 同理可得切线 ,QB MN 的方程为 2 2 : 2 0, : 2 02 2QB MN b cy x by y x cy      联立直线 ,QA QB ，即 2 2 2 02 2 02 ax ay bx by         ，解得 4 2 abx a by     ，于是 ,4 2 ab a bQ      （7 分） 同理可得 ,4 2 ac a cM      ， ,4 2 bc b cN      于是 ( ) ,4 2 a c b c bQM        ， ( ) ,4 2 b c a c aQN        ， ( ) ,4 2 c b a b aMN        因此 2 4 16 aQM b c    ， 2 4 16 bQN a c    ， 2 4 16 cMN a b    （8 分） 故△ QMN 的面积 21 1sin 1 cos2 2S QM QN MQN QM QN MQN            2 2 21 112 2 QM QNQM QN QM QN QM QN QM QN                   2 2 2 2 21 ( ) ( ) [( 4)( 4) ( 4) ] 2 256 16 a b a c b ca c b c a b ab          （11 分） 设△ QMN 外接圆的半径为 R ，则 16 4 QM QN MNa b a c b c R        因此 2 2 2 2 24 4 4 4 4 16 8 a b c a bR          （13 分） 又点 Q 在直线 : 4 0l x y   上，故 44 2 ab a b  ，即 82 aba b   代入可得 2 2 2 2 22 2 2 24( ) 16 2( 6) 2004 4 2 24 272 8 8 8 8 a b a b aba b a b abR             200 5 2 8 4   ，当且仅当 1 6 0 a b c       或 6 1 0 a b c       时取等号，此时△ QMN 外接圆面积的最小值为 25 8  （15 分） 22．（本小题满分 15 分） (Ⅰ)由题意， 1 1( ) e (ln ) e 1 ln 1 ex x xf x x x x xx x                   （2 分）高三数学 第 9页（共 9 页） 令 1( ) ln 1g x x x x     ， 2 2 2 1 1 1( ) 1 0x xg x x x x        ，于是 ( )g x 单调递减 （3 分） 又 1 1 5 2 1e 2 2 0e e 2 5 10g             ， (1) 1 0g    ，故 ( )g x 在 1 ,1e      内存在唯一零点 0x （4 分） 此时 ( )f x 在 0 1 ,e x     内单调递增，在 0 ,x  内单调递减，因此 ( )f x 仅有一个极大值点 0x （5 分） (Ⅱ)原题即为不等式 2e (ln ) ( 1) 0x x x a x x     恒成立 取 1x  ，则 e 2 1 0a    ，解得 e 1 2a  ，下证其充分性 （6 分） 令 2( ) ( 1) e (ln )xa x a x x x      ，易知 ( )a 单调递增，于是 e 1( ) e (ln )2 xa x x        2e 1( 1)2 x x   ，将其记为 ( )p x ，下证 ( ) 0p x  恒成立 （8 分） 1( ) ln 1 e (e 1) 1xp x x x xx            ，可分  0,1x 和  1,x  进行讨论 当  0,1x 时，由 1ln 1x x   得 ( ) e (e 1) 1xp x x x      （9 分） 记 ( ) e (e 1) 1xm x x x     ， ( ) ( 1)e e 1xm x x      易知 ( )m x 单调递减，又 (0) e 2 0m    ， (1) e 1 0m     ，故 ( )m x 在  0,1 内存在唯一零点 1x 此时 ( )m x 在  10, x 内单调递增，在  1,x  内单调递减 所以  ( ) min (0), (1) 0m x m m  ，即 ( ) 0p x  ，因此 ( )p x 在 0,1 内单调递增， ( ) (1) 0p x p  （12 分） 当  1,x  时，由 ln 1x x  ， e ex x 得 1 1( ) 2 e (e 1) 1 2 e (e 1) 1xp x x x xx x                     (e 1)( 1) 0x     ，因此 ( )p x 在  1, 内单调递减， ( ) (1) 0p x p  综上， e 1 2a  的充分性成立，即实数 a 的最大值为 e 1 2  （15 分）