2020北京市高考数学压轴卷（Word版附解析）

2020 北京高考压轴卷数学 一、 选择题（本大题共 10 小题. 每小题 45 分，共 40 分在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的） 1．设复数 z 满足 ，则 （ ） A． B． C． D． 2．设集合 ， 则 （ ） A． B． C． D． 3．已知定义域为 的奇函数 满足 ，且当 时， ，则 （ ） A． B． C． D． 4．函数 图象的大致形状是（ ） A． B． C． D． 5．已知坐标原点到直线 的距离为 ，且直线 与圆 相切，则 满足条件的直线 有（ ）条 A． B． C． D． 6．函数 的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ） 1 3iz z+ = | |z = 10 10 5 5 5 10 { }1,0,1,2,3A = − 2{ | 2 0},B x x x= − > ( )RA B =  { }1,3− { }0,1,2 { }1,2,3 { }0,1,2,3 R ( )f x ( 2) ( )f x f x+ = 0 1x≤ ≤ 3( )f x x= 5 2f  − =   27 8 − 1 8 − 1 8 27 8 ( ) 2 1 cos1 xf x xe  = − +  l 2 l ( ) ( )2 23 4 49x y− + − = l 1 2 3 4 ( ) sin(2 )6f x x π= + ( )2, ,6 3k k k Z π ππ π + + ∈   ( ), ,2k k k Z ππ π + ∈   ( ), ,3 6k k k Z π ππ π − + ∈   ( ), ,2k k k Z ππ π − ∈  A．20 B．10 C．30 D．60 8．已知点 在抛物线 C： 的准线上，记 C 的焦点为 F，则直线 AF 的 斜率为（ ） A． B． C． D． 9．已知 ，则“ ”是“ ”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 10．已知随机变量 ξ 的分布列，则下列说法正确的是( ) A．存在 x，y∈(0，1)，E(ξ)> B．对任意 x，y∈(0，1)，E(ξ)≤ C．对任意 x，y∈(0，1)，D(ξ)≤E(ξ) D．存在 x，y∈(0，1)，D(ξ)> 二．填空题（本大题共 5 小题.每小题 5 分，共 25 分） 11．已知曲线 的一条切线的斜率是 3，则该切点的横坐标为 ____________. 12．函数 的最小正周期等于_____. 13．在△ 中，若 ， , ,求△ 的面积 14．已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝1，a3＝100，则{an}的通项公式 an＝_____； 设数列{lgan}的前 n 项和为 Tn，则 Tn＝_____. ( 2,3)A − 2 2y px= 4 3 − 1− 3 4 − 1 2 − 1a = ( )a a b⊥ +   1a b⋅ = −  1 2 1 4 1 4 ( ) 21 2f x x x= + 2cos2 siny x x= − ABC 30B =  2 3AB = 2AC = ABC15．已知函数 ，下列命题正确的有_______．（写出所有正确命题的编号） ① 是奇函数； ② 在 上是单调递增函数； ③方程 有且仅有 1 个实数根； ④如果对任意 ，都有 ，那么 的最大值为 2. 注：本题给的结论中，有多个符合题目要求，全部选对得 5 分，不选或有选错得 0 分， 其他得 3 分. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 85 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步 骤） 16．已知函数 （k 为常数， 且 ）． （1）在下列条件中选择一个________使数列 是等比数列，说明理由； ①数列 是首项为 2，公比为 2 的等比数列； ②数列 是首项为 4，公差为 2 的等差数列； ③数列 是首项为 2，公差为 2 的等差数列的前 n 项和构成的数列． （2）在（1）的条件下，当 时，设 ，求数列 的前 n 项和 . 17．在四棱锥 中， 平面 ，底面四边形 为直角梯形， ， ， ， ， 为 中点． （1）求证： ； （2）求异面直线 与 所成角的余弦值． 18．已知函数 . ( ) logkf x x= 0k > 1k ≠ { }na ( ){ }nf a ( ){ }nf a ( ){ }nf a 2k = 1 2 2 4 1 + = − n n na b n { }nb nT P ABCD− PA ⊥ ABCD ABCD / /AD BC AD AB⊥ 2PA AD= = 1AB BC= = Q PD PD BQ⊥ PC BQ ( ) ( )2 2ln Rf x a x x ax a= − + ∈（Ⅰ）求函数 的单调区间； （Ⅱ）当 时，若 在 上有零点，求实数 的取值范围. 19．自由购是通过自助结算方式购物的一种形式. 某大型超市为调查顾客使用自由购的 情况，随机抽取了 100 人，统计结果整理如下： 20 以下 70 以上 使用人数 3 12 17 6 4 2 0 未使用人数 0 0 3 14 36 3 0 （Ⅰ）现随机抽取 1 名顾客，试估计该顾客年龄在 且未使用自由购的概率； （Ⅱ）从被抽取的年龄在 使用自由购的顾客中，随机抽取 3 人进一步了解情况， 用 表示这 3 人中年龄在 的人数，求随机变量 的分布列及数学期望； （Ⅲ）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送 1 个环保购物袋.若 某日该超市预计有 5000 人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋. 20．已知椭圆 （1）求椭圆 的标准方程和离心率； （2）是否存在过点 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，且满足 ．若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由． 21．对于 n∈N*（n≥2），定义一个如下数阵： ，其中对任 意的 1≤i≤n，1≤j≤n，当 i 能整除 j 时，aij＝1；当 i 不能整除 j 时，aij＝0．设 ． （Ⅰ）当 n＝6 时，试写出数阵 A66 并计算 ； （Ⅱ）若[x]表示不超过 x 的最大整数，求证： ； ( )f x 0a > ( )f x ( )1,e a [ )20,30 [ )30,40 [ )40,50 [ )50,60 [ ]60,70 [ )30,50 [ ]50,70 X [ )50,60 X 2 2: 2 4C x y+ = C ( )0,3P l C A B 2PB PA=  l 11 12 1 21 22 2 1 2 n n nn n n nn a a a a a aA a a a      =              ( ) 1 2 1 n ij j j nj i t j a a a a = = = + + +∑  ( )6 1j t j = ∑ ( ) 1 1 n n j i nt j i= =  =   ∑ ∑（Ⅲ）若 ， ，求证：g（n）﹣1＜f（n）＜g（n） +1． ( ) ( ) 1 1 n j f n t jn = = ∑ ( ) 1 1n g n dxx = ∫2020 北京高考压轴卷数学 Word 版含解析 参考答案 1．【答案】A 【解析】 ， ， . 故选:A. 2．【答案】B 【解析】 由 ，得 或 ，即 或 ， ， 又 . 故选：B. 3．【答案】B 【解析】 由 满足 ， 所以函数的周期 ， 又因为函数 为奇函数，且当 时， ， 所以 . 故选：B 4．【答案】B 【解析】 ， ，故 为奇函数，排除选项 A、C；又 ，排除 D，选 B. 1 3iz z+ = 1 1 3 1 3 1 3 10 10 10 iz ii += = = +− 10| | 10z = 2 2 0x x− > 0x < 2x > { | 0B x x= < 2}x > ={ | 0 2}R B x x∴ ≤ ≤ { }1,0,1,2,3A = − ( )={0,1,2}RA B∴   ( )f x ( 2) ( )f x f x+ = 2T = ( )f x 0 1x≤ ≤ 3( )f x x= 5 1 1 1 2 2 2 8f f f     − = − = − = −           ( ) 2 1 e1 cos cos1 e 1 e x x xf x x x − = − = + +  ( ) 1 e cos( )1 e x xf x x − − −− = − =+ e 1cose 1 x x x − + ( )f x= − ( )f x 1 e(1) cos1 01 ef −= ( ) ( ), ,x f x f x′ ( )f x ( )0,a ( ),a +∞ 0a < ( ) ( ), ,x f x f x′ ( )f x 0, 2 a −   ,2 a − +∞   0a > ( )f x ( )0,a ( ),a +∞ ( )f x ( )1,e ( ) 0f a ≥ 2ln 0a a ≥ 1a ≥ ( )1 1f a= − ( )1 0f ≥ 1a = ( )f x ( )1,e ( )1 0f = ( )f x ( )1,e 1a > ( )1 0f > ( )f x ( )1,a ( ),a +∞所以 在 上有零点等价于 ， 即 ，解得 . 综上所述，实数 的取值范围是 . 19．【答案】 ；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）2200 【解析】 （Ⅰ）在随机抽取的 100 名顾客中，年龄在[30,50)且未使用自由购的共有 3+14=17 人， 所以，随机抽取 1 名顾客，估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率为 ． （Ⅱ） 所有的可能取值为 1,2,3， , , . 所以 的分布列为 1 2 3 所以 的数学期望为 . （Ⅲ）在随机抽取的 100 名顾客中， 使用自由购的共有 人， 所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为 . ( )f x ( )1,e ( )e 0 1 e f a  <  <