2020江苏省高考数学压轴卷（Word版附解析）

绝密★启封前 2020 江苏省高考压轴卷 数 学 一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分． 1．已知集合 ， ，则 ______ 2．已知复数 则｜z｜＝ ． 3．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有 30 名，高二年级有 40 名．现用分层抽样的 方法在这 70 名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了 6 名，则在高二年级 的学生中应抽取的人数为______. 4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果 为____． 5．在平面直角坐标亲 中，若双曲线 （ ， ）的离心率为 ，则 该双曲线的渐近线方程为______. 6．某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在 同一个食堂用餐的概率为__________． 7．已知点 在抛物线 上运动， 为抛物线的焦点，点 的坐标为 ，则 的最小值是______． 8．已知 都是锐角， ，则 =_____ 9．在体积为 9 的斜三棱柱 ABC—A1B1C1 中，S 是 C1C 上的一点，S—ABC 的体积为 2， 则三 棱锥 S—A1B1C1 的体积为___． { | 0 2}A x x= < < { | 1}B x x= > A B = (1 )(2 ),z i i= + − S xOy 2 2 2 2 1x y a b − = 0a > 0b > 3 2 P 2 8y x= F A (5,2) PA PF+ ,α β 4 5sin ,cos( )5 13 α α β= + = sin β10．在等差数列 中， ，则数列 的前 11 项和 ____________. 11．三棱锥 中，已知 平面 ， 是边长为 的正三角形， 为 的中点，若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，则 的长为_____. 12．如图，在四边形 中， ，点 分别是边 的中点，延长 和 交 的延长线于不同的两点 ，则 的值为_________． 13．已知函数 ，若 有两个零点 ，则 的取值范围______. 14．在 中，记角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，面积为 ，则 的最大值为______. 二、 解答题：本大题共 6 小题，共 90 分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤． 15．在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ， . （1）求 的值； { }na 9 12 1 62a a= + { }na 11S = P ABC− PA ⊥ ABC ABC 2 E PC AE PBC 42 7 PA ABCD 1AB CD= = ,M N ,AD BC BA CD NM ,P Q ·( )PQ AB DC−   ( ) ln , 1 1 , 12 x x f x x x ≥=  − > 1F 2F 1 2 P C 1 2PF F∆ 3 C 2PF C Q PQ y 1(0, )8T PQ19．已知数列 的前 项和记为 ，且 ，数列 是公比为 的等比 数列，它的前 项和记为 .若 ，且存在不小于3的正整数 ， ，使得 . （1）若 ， ，求 的值； （2）求证：数列 是等差数列； （3）若 ，是否存在整数 ， ，使得 ，若存在，求出 ， 的值；若不 存在，请说明理由. 20．已知 ， . （1）当 时，求函数 图象在 处的切线方程； （2）若对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围； （3）若 存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求 的取值范围. { }na n nA ( )1 2 n n n a aA += { }nb q n nB 1 1 0a b= ≠ k m k ma b= 1 1a = 3 5a = 2a { }na 2q = m k 86k mA B= m k ( ) 2 2ln 1 2 xf x x x a −= − − + 0a > 2a = ( )f x 1x = [ )1,x∈ +∞ ( ) 0f x ≥ a ( )f x a数学附加题 (满分 40 分，考试时间 30 分钟) 21. 【选做题】 在 A，B，C 三小题中只能选做两题，每小题 10 分，共 20 分．若多做， 则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． A. (选修 42：矩阵与变换) 求椭圆 在矩阵 对应的变换作用下所得曲线 的方程. B. (选修 44：坐标系与参数方程) 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ，（θ 为参数），以原点为 极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线 C 的极坐标方程； （2）在平面直角坐标系 xOy 中，A（﹣2，0），B（0，﹣2），M 是曲线 C 上任意一点，求 △ABM 面积的最小值． C. (选修 45：不等式选讲) 已知 x，y，z 均为正数，且 ，求证： . 【必做题】 第 22，23 题，每小题 10 分，共 20 分．解答时应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤． 22．厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定 也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品． （1）若厂家库房中（视为数量足够多）的每件产品合格的概率为 从中任意取出 3 件 进行检验，求至少有 件是合格品的概率； （2）若厂家发给商家 件产品，其中有 不合格，按合同规定 商家从这 件产品中任 取 件，都进行检验，只有 件都合格时才接收这批产品，否则拒收．求该商家可能检验 出的不合格产品的件数 ξ 的分布列，并求该商家拒收这批产品的概率． 2 2 : 116 4 x yC + = 1 04 10 2 A     =        C′ 3 2 4 2 x cos y sin θ θ = +  = + 1 1 1 3 1 1 2x y y z + + ≤+ + + 4 9 10x y z+ + ≥ 0.7， 2 20 4 20 2 223．已知数列 满足 ，其中 为常数， . （1）求 的值 （2）猜想数列 的通项公式，并证明. { }na 1 2 3 *1 2 3 2 3 , N2 2 2 2 n n n n n n n n C C C Ca m n+ + + += + + + +…+ ∈ m 2 4a = 1, m a { }na参考答案及解析 1.【答案】 【解析】 因为集合 ， ， 所以 . 故答案为： 2．【答案】 【解析】 ． 3．【答案】8 【解析】 设样本容量为 ，则 高二所抽人数为 . 故答案为：8 4．【答案】205 【解析】 模拟程序语言，运行过程，可得 , 满足条件 ，执行循环体 ； 满足条件 ，执行循环体 ； 满足条件 ，执行循环体 ； 满足条件 ，执行循环体 ， 此时，不满足条件 ，退出循环，输出 S 的值为 ， 故答案为 205. 5．【答案】 { |1 2}x x< < { | 0 2}A x x= < < { | 1}B x x= > { |1 2}A B x x= < 1 2 1a− < 24 4 0a a− ≥ 1a ≥ ( )' 0f x > ( )1,+∞ ( )f x ( )1,+∞ [ )1,x∈ +∞ ( ) ( )1 0f x f≥ = 1a ≥ 24 4 0a a− < 0 1a< < ( )' 0f x = ( )2 1 1 2 0,1x a a= − − ∈ ( )2 2 1 2 1,x a a= + − ∈ +∞ ( )21,x x∈ ( )' 0f x < ( )f x ( )21, x ( )21,x x∈ ( ) ( )1 0f x f< = [ )1,x∈ +∞ ( ) 0f x ≥ 0 1a< < a [ )1,+∞ 1a ≥ ( )' 0f x ≥ ( )0,+∞ ( )f x ( )0,+∞ ( )f x 1a ≥ 1 12 a< < 1 2 0a− < ( )f x ( )0,+∞ ( )' 0f x = ( )2 1 1 2 0,1x a a= − − ∈ ( )2 2 1 2 1,x a a= + − ∈ +∞ x ( )10, x 1x ( )1 2,x x 2x ( )2 ,x +∞ ( )'f x + 0 - 0 +↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 由于 在 是单调减函数，此时极大值大于极小值，不合题意， 所以 不满足条件. ③当 时，由 ，得 . 列表如下： ↘ 极小值 ↗ 此时 仅存在极小值，不合题意， 所以 不满足条件. ④当 时，函数 的定义域为 ， 且 ， . 列表如下： ↗ 极大值 ↘ ↘ 极小值 ↗ ( )f x ( )f x ( )1 2,x x 1 12 a< < 1 2a = ( )' 0f x = 2x = x ( )0,2 2 ( )2,+∞ ( )'f x - 0 + ( )f x ( )f x 1 2a = 10 2a< < ( )f x ( ) ( )0,1 2 1 2 ,a a− ∪ − +∞ 2 10 1 2 1 2x a a a< = − − < − 2 2 1 2 1 2x a a a= + − > − x ( )10, x 1x ( )1,1 2x a− ( )21 2 ,a x− 2x ( )2 ,x +∞ ( )'f x + 0 - - 0 + ( )f x所以 存在极大值 和极小值 ， 此时 因为 ， 所以 ， ， ， ， 所以 ，即 ， 所以 满足条件. 综上，所以 的取值范围为 . 21．【答案】 【解析】 设 是曲线 上的任一点，它是椭圆 上的点 在矩阵 对应变换作用下的对应点，则 ， 即 ， ，代入 得： . 即曲线 的方程为 . 22．【答案】（1）ρ2﹣6ρcosθ﹣8ρsinθ+21＝0．（2）9﹣2 ． 【解析】 （1）∵曲线 C 的参数方程为 ,（θ 为参数）,有 . ( )f x ( )1f x ( )2f x ( ) ( )1 2f x f x− = 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2ln ln1 2 1 2 x xx xx a x a − −− − +− + − + ( ) ( )( )1 21 2 1 2 4ln 1 2 1 2 a x xx x x a x a −= − − + − + 1 20 1 2x a x< < − < 1 2 ln 0x x < 1 2 0x x− < 1 1 2 0x a− + < 2 1 2 0x a− + > ( ) ( )1 2 0f x f x− < ( ) ( )1 2f x f x< 10 2a< < a 10, 2      2 2 1x y+ = ( ),P x y C′ 2 2 : 116 4 x yC + = ( )1 ,P x y′ ′ 1 04 10 2 A            1 04 4 10 2 2 x x x y y y ′       ′   = =      ′ ′              4 2 xx yy  = ′ ′ = 4 2 x x y y ′ =∴ =′    2 2 116 4 x y+ = 2 2 1x y+ = C′ 2 2 1x y+ = 2 3 2 4 2 x cos y sin θ θ = +  = + 3 2 4 2 x cos y sin θ θ − =  − =上下平方相加得曲线 C 的直角坐标方程为 , 化简得 将 与 ,代入得曲线 C 的直角坐标方程有： ． （2）设点 到直线 AB：x+y+2＝0 的距离为 d, 则 , 当 sin（ ）＝﹣1 时,d 有最小值 , 所以△ABM 面积的最小值 S 9﹣2 ． 23．【答案】见证明 【解析】 因为 x，y，z 均为正数，所以 均为正数， 由柯西不等式得 ， 当且仅当 时，等式成立. 因为 ， 所以 ， 所以 . 24．【答案】（1） ； （2）分布列见解析， 【解析】 2 2( 3) ( 4) 4x y− + − = 2 2 6 8 21 0x y x y+ − − + = x cos y sin ρ θ ρ θ =  = 2 2 2x y ρ+ = 2 6 cos 8 sin 21 0ρ ρ θ ρ θ− − + = (3 2 ,4 2 )M cos sinθ θ+ + 2 2 92 2 9 4 2 2 sinsin cosd πθθ θ  + + + +  = = 4 πθ + 9 2 2 2 − 1 2 AB d= × × = 2 1, 1, 1x y z+ + + ( ) ( ) ( ) ( )21 1 11 4 1 9 1 1 2 3 361 1 1x y z x y z   + + + + + + + ≥ + + =   + + +  ( ) ( ) ( )2 2 21 4 1 9 1x y z+ = + = + 1 1 1 3 1 1 1 2x y z + + ≤+ + + ( ) ( ) ( ) 21 4 1 9 1 36 =243x y z+ + + + + ≥ × 4 9 10x y z+ + ≥ 0.784 7 19（1）“从中任意取出 3 件进行检验，至少有 2 件是合格品”记为事件 A， 其中包含两个基本事件“恰有 2 件合格”和“3 件都合格”， ； （2）该商家可能检验出不合格产品数 ， 可能的取值为 0，1，2， ， ， ， 的分布列为： P 因为只有 2 件都合格时才接收这批产品， 故商家拒收这批产品的对立事件为商家任取 2 件产品检验都合格， 记“商家拒收”为事件 B， 则 ， 商家拒收这批产品的概率为 . 25．【答案】（1） ， ；（2）猜想： ，证明见解析 【解析】 （1） ， ，解得： ， . （2）由 ， ， 可猜想： . 证明：①当 时，由（1）知结论成立； 2 2 3 3( ) (0.7) 0.3 (0.7) 0.784P A C∴ = × × + = ξ ξ 2 16 2 20 12( 0) 19 CP C ξ = = = 1 1 4 16 2 20 32( 1) 95 C CP C ξ = = = 2 4 2 20 3( 2) 95 CP C ξ = = = ξ ξ 0 1 2 12 19 32 95 3 95 7( ) 1 ( 0) 19P B P ξ= − = = ∴ 7 19 1m = 1 2a = ( )2n n Na n ∗= ∈ 1 2 3 1 2 3 2 32 2 2 2 n n n n n n n n C C C Ca m + + + += + + + +⋅⋅⋅+ 1 2 3 4 2 3 42 4 C Ca m m∴ = + + = + = 1m = 1 2 1 1 22 Ca m m∴ = + = + = 1 2a = 2 4a = 3 8a = ( )2n n Na n ∗= ∈ 1n =②假设 时，结论成立，则有 ， 那么当 时， . 由 得： = 又 ， 于是 ， ，故 时结论也成立. 由①②得， . n k= 1 2 3 1 2 3 2 31 22 2 2 2 k kk k k k k k k C C C Ca + + + += + + + +⋅⋅⋅+ = 1n k= + 1 2 3 1 1 1 1 2 1 3 1 1 1 2 3 11 2 2 2 2 k k k k k k k k C C C Ca + + + + + + + + + + + += + + + +⋅⋅⋅+ 1 1 1 k k k n n nC C C+ + + = + 1 0 2 1 3 2 1 1 1 1 2 2 3 3 1 1 1 2 3 11 2 2 2 2 2 k k k k k k k k k k k k k k k k k k C C C C C C C C Ca − + + + + + + + + + + + + + + + + + += + + + +⋅⋅⋅+ + 0 1 2 1 1 1 2 3 1 1 2 3 12 2 2 2 2 2 k k k k k k k k k k k k C C C C C− + + + + + + + + += + + + +⋅⋅⋅+ + 1 2 1 1 0 2 3 1 1 1 1 2 1 12 2 2 2 2 2 k k k k k k k k k k k k C C C CC − + + + + + + + + −  + + + +⋅⋅⋅+ +    1 2 1 1 0 2 3 1 1 1 1 1 1 2 1 12 2 2 2 2 2 k k k k k k k k k k k k k k k C C C C CC − + + + + + − + + + + + −  += + + + +⋅⋅⋅+ +    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 2 1 ! 2 22 1 ! 2 1 ! 1 12 ! 1 ! 1 ! 1 ! 1 ! 1 ! 2 k k k k k k k kk k kC Ck k k k k k k + + + + + + + + ++ + += = = =+ + + + + 1 2 1 1 0 2 3 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 12 2 2 2 2 2 2 k k k k k k k k k k k k k k k k C C C C CC − + + + + + − + + + + + + − +  = + + + +⋅⋅⋅+ + +    1 1 12 2 k k ka a+ += + 1 1 2k ka + +∴ = 1n k= + ( )2n n Na n ∗= ∈